Уравнение состояния ферми-газа

Этой есть уравнение состояния Ферми-газа при низких температурах. Таким образом, в этой области давление Ферми-газа не зависит от температуры. [c.160]

Задача 19.1. Уравнение состояния ферми-газа. [c.263]

Уравнение состояния Ферми — Томаса основывается на обобщении модели атома Ферми — Томаса [17]. Она применима к веществу при высоких плотностях и температурах. Рассмотрим газ, состоящий из Ма атомов, заключенных в сосуд объемом V. Каждый атом имеет г электронов и, как предполагается, имеет определенный радиус Го и объем т = (4л/3) г. Радиус и объем т связаны условием [c.252]

Второй член в скобках дает квантовую поправку к соответствующим уравнениям состояния классического идеального газа. Для бозе-газа эта поправка отрицательная, а для ферми-газа — положительная. [c.236]

Бозе-статистика дает нам ключ к устранению этого парадокса. Вспомним общее свойство. Когда температура понижается, равновесное распределение частиц стремится к энергетически наиболее выгодному распределению. В случае бозонов такое распределение соответствует накоплению частиц в самом нижнем энергетическом состоянии, которое мы (условно) примем за начало отсчета, = = 0. В этом заключается основное отличие от фермионного газа. В ферми-газе накопление частиц невозможно в силу принципа Паули. Наиболее выгодным энергетическим распределением является такое распределение, когда на каждом из самых низких уровней находится по одной частице. Ни один уровень не имеет макроскопически большого числа заполнения. Заметим теперь, что уравнение (5.7.2) не учитывает частиц, находящихся на уровне 8о = 0. Подынтегральное выражение в зтом уравнении содержит множитель следовательно, частицы с нулевой энергией не дают вклада. [c.202]

В этом параграфе в первую очередь будет рассмотрена статистическая механика газа, состоящего из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака (такие частицы называются фермионами). Эти результаты будут далее использованы при выводе уравнения состояния в приближении Ферми — Томаса 112—14], которое полезно при описании термодинамических свойств вещества, находящегося при высоких температурах и плотностях (где приближение идеального газа обычно уже несправедливо). [c.247]

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ФЕРМИ-ГАЗА [c.248]

Уравнение состояния идеального ферми-газа, состоящего из бесспиновых частиц, можно получить, исключая z из уравнений (9.67). Исследуем, во-первых, поведение z, определяемое вторым уравнением (9.67), а именно [c.248]

Уравнение состояния идеального ферми-газа [c.249]

Показать, что уравнение состояния идеального ферми-газа может быть записано в виде [c.275]

Фиг. 106. Поверхность уравнения состояния для идеального газа Ферми --Дирака (о), идеального газа Бозе — Эйнштейна (б) и идеального классического газа (в)

Так, средняя энергия системы взаимодействующих частиц представляется в виде суммы средних энергий идеальных газов квазичастиц, уровни энергии которых определяются собственными значениями эффективных волновых уравнений для функций 0 (дг, X В) и Оз. Сл . х В)-, величины Z В, V) и Z 2 B, V ) при этом играют роль плотностей состояний, отнесенных к единице объема и соответственно к интервалам йВ <1у и йВ й-о. Существенно, что хотя бы один из этих газов (второе слагаемое в формуле (12.38))— всегда бозевский, даже в системе ферми-частиц. [c.155]

Нарушение третьего закона не следует приписывать исполь-ованию непрерывного распределения (р(е, 0- Так, в теории идеальных газов Бозе — Эйнштейна или Ферми — Дирака та же амая функция <р(е, используется для описания плотности одночастичных уровней, но вследствие наложения ограничений на симметрию полной волновой функции газа уравнение (50) перестает быть справедливым, и плотность состояний р ( , 10 Для всего газа в целом существенным образом изменяется. В обоих случаях р не содержит множителя, являющегося только функцией от объема V, и третий закон выполняется. Значение температуры, ниже которой проявляется действие третьего закона, определяется температурой вырождения Т [c.33]

Иными словами, в идеальном газе частица вне сферы Ферми (р> >рр) живет бесконечно долго. То же самое относится и к дырке Р<Рр), но в нашем качественном рассмотрении мы сэкономим на формулах, рассматривая только частицу с р>рр. Если имеется затухание, т. е. отличная от нуля вероятность перехода частицы с импульсом р за секунду в какое-либо другое состояние вследствие взаимодействия ее с другими частицами то вероятность обнаружить частицу в этом состоянии Wp(t) удовлетворяет, грубо говоря (как в полуфеноменологической теории а-распада, Г. А. Гамов, 1928), уравнению [c.468]

Приравняем изменение тепловой энергии свободных электронов изменению потенциальной при их переходе с уровня Ферми Ер на более высокий [Л. 117]. При термическом возбуждении у величи- вается объем, занятый электронами, поскольку радиус электронных орбит увеличивается при этом от г до г + dr, где dr. В результате получим приближенное уравнение, состояния электронного газа В металле [c.188]

Леттер [14] опубликовал подробные таблицы результатов решения уравнения состояния Ферми — Томаса для газа. Эти таблицы иллюстрируются графиками зависимости давления от объема при фиксированной температуре, приведенными на фиг. 5.13. Здесь по оси ординат отложена величина х, [c.254]

КУПЕРА ЭФФЕКТ — образование связанных пар частиц в вырожденной системе фермионов при наличии сколь угодно слабого притяжения между ними. Решая Шрёдингера уравнение для двух частиц вырожденного ферми-газа (газа электронов), Л. Купер (L. ooper, 1956) показал, что слабое нрнтяженио между ними приводит к т. н. спариванию частиц, находящихся вблизи фермн-поверхности, т. е. к образованию связанных состояний двух частиц. [c.536]

Это соотношение справедливо для всех идеальных систем — больц-мановских, бозонных и фермионных. Этот факт весьма важен, поскольку, как мы видели, выражения для отдельных термодинамических функций в этих трех случаях имеют совершенно различный вид. В частности, уравнение состояния бозонного или фермионного идеального газа совершенно отлично от классического соотношения (5.2.26) ферми- и бозе-газы в термодинамическом смысле не являются идеальными газами . [c.188]

Точное уравнение состояния в аналитической форме для бозонного и ферм-ионного газов было получено в работах Leonard А., Phys. Rev., 175, 221 (1968). [c.207]

Это уравнение Сакура — Тетроде. Тот факт, что постояншя к — 2пЬ есть постоянная Планка, следует из (9.31), где впервые появляется квантовая постоянная. Уравнение состояния выводится из функции и (8, V), которая представляет собой энергию Е, выраженную в переменных 5 и V. Непосредственно получаем РУ — МкТ. Следует отметить, что выражение (9.54) не удовлетворяет третьему закону термодинамики. Это не должно вызывать беспокойства, так как газ Больцмана не является физической системой. Газ Больцмана—только модель, обладающая предельными свойствами газов Бозе и Ферми при достаточно высоких температурах. Это показывает, однако, что третий закон термодинамики не является автоматическим следствием общих принципов квантовой механики, а зависит от особенностей плотности состояний вблизи основного состояния. [c.219]

Во избежание недоразумений заметим следующее. При Т=0 можно найти такой оператор (зависящий от п), что С1Фо = Ф и, следовательно, 7(Х, Х Е) имеет дельтаобразную особенность (это есть просто определение оператора С . Однако нахождение таких операторов эквивалентно точному решению уравнения Шредингера для рассматриваемой системы многих тел и практически невыполнимо (в сколько-нибудь интересных случаях). Можно лишь с уверенностью утверждать, что (используемые в дальнейшем) простые комбинации типа С = а или — аа указанным свойством отнюдь не обладают и соответствующие функции К (х, х ) не осциллируют. а затухают со временем. Соответственно и особенности спектральных функций /(Х, X Е) имеют более сложный характер и. как правило, не сводятся просто к полюсам. При Т Ф О положение усложняется. Действительно, в этом случае усреднение производится не по основному состоянию, а по смешанному ансамблю. Поэтому в правой части (2.5) должна фигурировать вся совокупность матричных элементов (Ф , СгФ ) и функции К (х, х ) лишь в исключительных случаях могут оказаться осциллирующими. Например, так обстоит дело для идеальных бозе- и ферми-газов (в отсутствие внешнего поля) при С =а(р, 5), где а(р, ) — оператор порождения частицы с заданным импульсом р и спином 5. Действительно, состояния идеального газа свободно движущихся частиц полностью определяются заданием чисел заполнения п (/ , 5 ) одночастичных состояний с данными импульсами и спинами. Индексы п, п при этом обозначают всю совокупность чисел п (/ , 5), а собственные функции Ф суть [c.27]

Для системы электронов принцип Паули накладывает достаточно жесткие нединамические Офаничения на начальные и конечные значения импульсов. Расчет квадрата матричного элемента (р Р2 Ф1г1р Р2) лля процесса (р ,р2) (р Рг) дает множитель п(р )п(р2) для начальных состояний (они заняты этими взаимодействующими частицами) и (1 - п(р, ))(1 л р )) для конечных (переход на незанятые места) и наоборот при обратных переходах (р ррг) — (Р1,Р2)- Поэтому интефал столкновений в уравнении Больцмана для ферми-газа приобретает несколько более сложную структуру. [c.358]

Химический потенциал. Найти точное траисцендеитиое уравнение для XHNUi4e Koro потенциала i(T) газа Ферми в двумерном случае. Указание Плотность состояний свободного электронного газа в двумерном случае ие зависит от энергии ( ) = mjKtfi иа единицу поверхности (двумерного) об-р зца. [c.279]

В применяемом здесь обычном приближении электроны считаются независимыми частицами, подчиняюш 1шися статистике Ферми— Дирака. В приближении нулевого порядка твердое тело рассматривается как ящик или сосуд, внутри которого электроны движутся, как газ это так называемая модель Зоммерфельда. Более реалистично влияние кристаллической решетки учитывается в приближении первого порядка, где периодический потенциал решетки рассматривается как возмущение состояния почти свободных электронов. Можно исходить из противоположного допущения, а именно считать, что электроны достаточно жестко связаны с атомными ядрами в твердом теле, но способны двигаться через решетку благодаря некоторому перекрытию орбиталей, принадлежащих близко расположенным атомам. Как то, так и другое рассмотрение приводят к одним и тем же результатам в кристалле существуют области близко расположенных уровней энергии (энергетические зоны), разделенные запрещенными зонами (энергетическими щелями). Эти зоны соответствуют областям, для которых волновое уравнение Шредингера имеет или не имеет решения. Линия раздела между разрешенными и запрещенными уровнями носит название границы зоны. Волновые функции "ф всегда могут быть представлены как волновые функции свободных электронов, модулированные функцией, имеющей периодичность решетки. [c.457]

Теория ЗОННОЙ модели основывается на одноэлектронном уравнении Шредингера (3.20). Последнее отличается от уравнения Хартри—Фока (З.П) тем, что в нем взаимное кулоновское и обменное взаимодействие электронного газа было усреднено. Только благодаря этому электроны перестают быть связанными. Они движутся в поле под действием некоторого общего среднего потенциала. Блоховские состояния, заданные функцией Е к), не зависят от заполнения электронами спектра состояний. Электроны в этом приближении рассматриваются как невзаимодействующие квази-частпцы, которые в заданном спектре энергий располагаются согласно статистике Ферми. Возбуждение пары электрон — дырка имеет тогда энергию, равную разности энергий между блоховским состоянием электрона в зоне проводимости и блоховским состоянием дырки в валентной зоне. Для улучшения этого приближения вспомним следующее. В приближении Хартри —фока перед усреднением, которое приводит к уравнению (3.20) зонной модели, существует разница между энергией взаимодействия одного возбужденного электрона при взаимодействии со всеми электронами в основном состоянии (проблема (Л + 1)-го электрона) и энергией при взаимодействии с N — 1 электронами в с( ре Ферми или соответственно в валентной зоне (Л -электронная проблема). Эта разница как раз и есть взаимодействие электрон —дырка в картине квазичастиц зонной модели. [c.180]

Аналогично с (50.21), сдвиг одноэлектронных состояний при электрон-фононном взаимодействии можно найти, дифференцируя (50.20) по Пд.. Для единичного электрона при низкой температуре (Пд = 0) мы это выше уже обсуждали. Исходя из (50.20), расширим эти результаты на случай электронного газа (т. е. на какой-либо газ свободных ферми-частиц и произвольное возбуждение фононной системы). Одним из важнейших результатов для газа свободных электронов будет изменение E k), в особенности вблизи k = kp, т. е. вблизи поверхности Ферми. В то время как в точке k = kp не происходит изменения, энергии В ниже поверхности Ферми смещаются к более высоким, а выше поверхности Ферми — к более низким значениям. Величина dEldk, следовательно, там будет меньше. Другими словами, это означает, что скорость электронов вблизи поверхности Ферми уменьшается. Мы не будем останавливаться на этих поправках к одноэлектронному приближению зонной модели, тем более что по сравнению с этими поправками становится существенным рлияние электрон-электронного взаимодействия. Следовательно, электрон-электронное взаимодействие и электрон-фононное взаимодействие должны рассматриваться совместно. Укажем по этим вопросам на книгу Пайнса Г16]. Более глубокое сбсуждение уравнения (50.20) дает Тейлор [19]. [c.206]

Ввиду того что принцип Паули действует как принцип запрета только по отношению к ферми-частицам одного сорта, то, полагая электронный газ вблизи границы Ферми по отношению к самому себе идеальным газом и учитывая взаимодействие электронов только с другими частицами (тяжелыми ионами), мы со фЗняем классическую структуру кинетического уравнения, рассмотренного в п. а) и б) Заметим, однако, что при подсчете эффективного сечения Е (точнее, стоящей под интегралом величины а) принцип Паули сы1рает свою роль, так как в определение квантовомеханической вероятности рассеяния дважды входят состояния электрона состояния до и после столкновения. [c.339]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...