Интегрирование в квадратурах уравнений второго порядка

Интегрирование в квадратурах. Уравнение второго порядка иногда удаётся проинтегрировать квадратурами. [c.244]

Таким образом, задача сводится к интегрированию единственного дифференциального уравнения второго порядка с одной неизвестной функцией. Однако, вообще говоря, это уравнение не может быть проинтегрировано в квадратурах, так что решение задачи нельзя довести до конца, по крайней мере аналитическим путем. [c.454]

В самом общем случае аналитическое исследование движения диска приводится к интегрированию одного линейного дифференциального уравнения второго порядка и квадратурам. Чтобы показать это, заметим, что ф os в - -ф = г, и, рассматривая промежуток времени, на ко-тором в ф О, перейдем во втором и третьем уравнениях системы (36) [c.305]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Рассмотрим, например, орбиту, которую описывает планета вокруг Солнца. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые приходится интегрировать, можно свести к форме уравнений первого порядка, вводя в качестве новых переменных первые производные. Таким образом, определение орбиты планеты будет зависеть от интегрирования трех дифференциальных уравнений первого порядка между четырьмя переменными два интеграла этих уравнений получаются на основе принципа живых сил и принципа площадей, что сводит вопрос к интегрированию одного уравнения первого порядка с двумя переменными. Так вот, на основании моей общей теоремы это интегрирование может быть приведено к квадратурам. Итак, если угодно применять ее вместе с другими общими принципами механики, то можно сказать, что этих принципов оказывается достаточно, чтобы привести определение орбиты планеты к квадратурам. [c.294]

Таким образом, вся задача сводится к интегрированию одного-единственного линейного уравнения, определяющего зная которое мы найдем и простыми квадратурами. Решение линейного уравнения второго порядка с неизвестной рИ может быть написано сразу, в явном виде, опять-таки при помощи использования теоремы Пуанкаре. [c.639]

Если интегрирование дифференциальных уравнений движения точки сводится к квадратурам, как в приводимых ниже примерах, то будем вычислять эти квадратуры в соответствующих пределах, т. е. будем вычислять определенные интегралы, причем нижние пределы интегрирования определяются начальными условиями движения точки. Тогда отпадает необходимость определения произвольных постоянных. Заметим, что почти во всех задачах, помещенных в сборнике И. В. Мещерского и относящихся ко второй основной задаче динамики точки, имеются два типа дифференциальных уравнений или уравнения с разделяющимися переменными, или линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. [c.244]

По поводу различных задач, относящихся к движению системы материальных точек и рассмотренных до сего времени, можно сделать одно важное и интересное замечание Во всех случаях, когда силы являются функциями только координат движущихся точек и когда задачу удалось свести к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с двумя переменными, оказывается также возможным свести эту задачу к квадратурам. Мне удалось превратить это замечание в общее положение, которое, как мне кажется, дает новый принцип механики. Этот принцип, так же как и другие общие принципы механики, дает возможность получить интеграл, но с той разницей, что другие принципы дают только первые интегралы дифференциальных уравнений динамики, тогда как новый принцип приводит к последнему интегралу. Этот принцип обладает общностью, более высокой, нежели другие принципы, потому что он применим к случаям, когда аналитические выражения сил, а также уравнения, выражающие структуру системы, содержат координаты движущихся точек в любой форме. С другой стороны, принципы сохранения живых сил, сохранения площадей и сохранения центра тяжести во многих отнощениях имеют преимущество перед новым принципом. Прежде всего, эти принципы дают конечное уравнение между координатами движущихся точек и составляющими их скоростей, тогда как интеграл, получаемый на основании нового принципа, требует еще квадратур. Во-вторых, применение нового принципа предполагает, что уже найдены все интегралы, кроме одного, предположение, которое осуществляется лишь в очень небольшом количестве задач. Но это обстоятельство не может уменьшить- ценности нового принципа, в чем, я надеюсь, убедит применение его к нескольким примерам. [c.294]

Уравнения (II.83) образуют сиртему N уравнений второго порядка с N независимыми координатами. Определив эти координаты после интегрирования уравнений (11.83), можно найти остальные координаты из уравнений неголономных связей (11.80). В рассматриваемом случае нахождение координат после интегрирования уравнений (11.83) сводится к квадратурам. [c.164]

Сложнее обстояло с расчетом оболочек вращения на неосе-симметрнчные нагрузки. Наиболее важной из них является обратносимметричная нагрузка, иногда называемая также ветровой . Для сферической оболочки соответствующая задача была решена в диссертации Э. Шверииа [286], который (видимо, желая угодить своему учителю и оппоненту Г. Рейсснеру) преобразовывал дифференциальные уравнения в духе, типичном для цюрихской школы, стремясь получить решение в форме плохо сходящихся в данном случае гипергеометрических рядов, что ему и удалось. При этом были обнаружены две квадратуры, а также юзмож-ность комплексного преобразования, так что расчет сферической оболочки на ветровую нагрузку в итоге оказался сведенным к интегрированию одного уравнения второго порядка. Последний результат был обобщен затем в работе [126] для оболочек вращения произвольной формы. [c.186]

Интегрируемость в квадратурах. Лиувилль (J. Ь1оиу111) доказал, что линейные уравнения второго порядка, вообще говоря, не интегрируются в квадратурах решения не выражаются через коэффициенты с помощью арифметических действий, решения алгебраических уравнений, потенцирования и интегрирования . В частности, не интегрируется уравнение х- -1х=0. [c.133]

Р. у. удобно пользоваться, когда часть координат системы является циклическими координатами. Пусть qh — циклич. коор,динаты. Тогда они в выражение Д явно не входят. Следовательно, дR/дql = О и согласно второй совокупности ур-ний (2) р1 = щ, где a — постоянн ло интегрирования. В результате К = К (q , q , а , /) и ур-ния (1), как и обычные уравнения Лагранжа, дадут систему т дифференциальных ур-ний 2-го порядка относительно обобщенных координат 9 . Т. о., число дифференциальных ур-ний, к-рые надо проинтегрировать для нахождения закона движения системы, уменьшится па число циклич. координат. Если это интегрирование будет осуществлено, то q определяется в виде (г, с , с ), где С1, с 1 — нов1.те постоянные интегрирования. После этого можно вычислить В в виде К (I, j, с , щ) и остальные (циклические) координаты найдутся из первой рупны ур-пий (2) с помощью квадратур q — = дЛ/даи)(П. [c.377]

Аналитическую теорию движения спутника с учетом величин второго порядка малости можно найти, например, в работах М. Д. Кислика [5] и А. Страбла [17]. В обшем подходе к описанию возмущенного движения спутника А. Страбл следует, по существу, идее Ганзена разложения движения, хотя вывод уравнений движения им получен новым пзггем и в иной форме. Он при интегрировании уравнений применяет методы теории нелинейных колебаний, в частности метод асимптотической теории Н. М. Крылова— Н. Н. Боголюбова — Ю. Д. Митропольского [1, 7 им получен ряд интересных результатов. А. Страбл в своей работе не придерживается общепринятых в небесной механике классических определений, что, как нам кажется, не является вполне оправданным. Совершенно иначе подошел к задаче М. Д. Кислик. Положение спутника относительно основной системы он определяет эллиптическими координатами, а уравнения движения записывает в канонической форме интегрирование уравнений он проводит классическим методом Гамильтона — Якоби. Известно, что в большинстве случаев в задачах небесной механики уравнение Гамильтона — Якоби не интегрируется в квадратурах М. Д. Кислик, оставаясь в пределах точности до второго порядка малости включительно, преобразовал выражение земного потенциала и разрешил уравнение Гамильтона Якоби в квадратурах. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...