Лагранжа - Эйлера уравнения уравнения Эйлера-Лагранжа

По Лейбницу наш мир является наилучшим из всех возможных миров, и поэтому законы природы можно описать экстремальными принципами. Поскольку дифференциальные уравнения механики происходят из вариационных задач, они обладают инвариантными свойствами относительно некоторых групп преобразований координат. Так как это обстоятельство имеет особенное значение в небесной механике, то во вводных параграфах мы разовьем теорию преобразований уравнений Эйлера-Лагранжа и Гамильтона в объеме, желательном для наших целей. [c.15]

Эти уравнения носят название уравнений Эйлера — Лагранжа. Отметим, что коэффициенты не зависят от структуры и движения механической системы, а их значение зависит только от определения величин через обобщенные скорости qi, 2, . [c.85]

Применим уравнения Эйлера — Лагранжа (3.65) к выводу уравнений движения твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Положение тела будем определять углами Эйлера ). Примем [c.88]

Уравнения Эйлера — Лагранжа будут иметь вид [c.89]

Следовательно, уравнения Эйлера — Лагранжа при наличии неголономных связей будут иметь вид [c.185]

Дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа для твердого тела. [c.41]

Подстановка главного вектора количеств движения О (1.93) и кинетического момента (1.94), выраженных с помощью кинетической энергии, в равенства (1.85) и (1.86) приводит к уравнениям Эйлера — Лагранжа дня твердою тела [c.41]

Поэтому из теорем (1.85) и (1.86) получаем уравнения Эйлера -Лагранжа для движения осей системы в той же форме (1.96), (1.97) [c.43]

Методы решения двух последних групп являются приближенны ми лишь условно, так как с их помош,ью можно достигнуть любой точности результатов, если решение допускает уточнение в виде учета последующих членов разложения какой-либо величины или построено в форме последовательных приближений, или связано с малым интервалом при определении значения исследуемой функции. Вариационные методы могут оказаться и точными, если уравнения Эйлера—Лагранжа при исследовании экстремума функционала (например, Э) допускают точное решение или задача имеет конечное число степеней свободы (см. задачу 1.5). [c.9]

Для двухмерной задачи уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид [c.11]

Составив уравнение Эйлера — Лагранжа (1.9), получим разрешающее уравнение задачи [c.17]

Уравнения Эйлера — Лагранжа будут [c.228]

Для двухмерной задачи уравнение Эйлера—Лагранжа имеет вид [c.10]

Интеграл (a) примет экстремальное значение, когда функция w (.v, у) будет удовлетворять уравнению Эйлера—Лагранжа в форме [c.17]

Подобно тому, как уравнения движения классической механики являются дифференциальными уравнениями Эйлера—Лагранжа, соответствующими вариа- [c.198]

Общее решение. Необходимым условием экстремума одной из сумм (9.15), (9.16),.. . при данной формулировке задачи является удовлетворение требованиям теоремы правила множителей и, как следствия ее, соблюдение уравнений Эйлера — Лагранжа. Согласно теореме правила множителей и ее следствию [111] при наличии экстремума одной из сумм (9.15), (9.16),.. . необходимо, чтобы между узловыми точками соблюдались уравнения Эйлера — Лагранжа [c.179]

Уравнения Эйлера — Лагранжа переходят тогда в известные уравнения движения Лагранжа [c.51]

Тогда задачу получения лагранжиана можно будет рассматривать как задачу об отыскании такой функции L, для которой уравнения Эйлера — Лагранжа совпадают с известными релятивистскими уравнениями движения. [c.231]

Если исходить из ковариантного вариационного принципа для одной материальной точки, то уравнения Эйлера—Лагранжа, очевидно, будут иметь вид [c.234]

Например, электромагнитная сила Лоренца, действующая на частицу при наличии электрического и магнитного полей, порождается именно подобной силовой функцией. Из дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа (см. ниже, гл. И, п. 10) следует, что связь между силой и силовой функцией при этом задается уравнением [c.53]

Это фундаментальное уравнение было открыто независимо Эйлером и Лагранжем и обычно называется дифференциальным уравнением Эйлера — Лагранжа. Заметим, что оно было выведено элементарными средствами из условия стационарности суммы, заменяющей данный определенный интеграл. [c.76]

Резюме. Задача минимизации определенного интеграла, содержащего неизвестную функцию и ее производную, может быть сведена к элементарной задаче минимизации функции многих переменных. Для этого интеграл заменяется суммой, а производная — отношением приращений. Условия, при выполнении которых первая вариация обращается в нуль, принимают форму разностного уравнения, которое в пределе переходит в дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. [c.76]

II. Дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа 83 [c.83]

Дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа в случае п степеней свободы. В механике приходится иметь дело с вариационными задачами следующего вида. Требуется найти стационарное значение определенного интеграла [c.83]

Резюме. Если из условия стационарности определенного интеграла, содержащего не одну, а несколько неизвестных функций, требуется найти эти функции, то можно варьировать эти функции независимо друг от друга. Поэтому для каждой функции в отдельности можно написать дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. В результате получается система п дифференциальных уравнений второго порядка. Решение этой системы уравнений определяет п искомых функций, которые оказываются выраженными через независимую переменную (время t) и 2п констант интегрирования. [c.85]

Можно исключить какие-то m переменных q , выразив их через остальные переменные, и уменьшить тем самым число степеней свободы до п — т после этого становятся применимыми дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа. Однако исключение переменных может оказаться практически трудно выполнимым кроме того, связи между переменными могут быть даны в таком виде, который затрудняет разделение переменных на зависимые и независимые. В этих случаях хорошие результаты дает метод неопределенных множителей Лагранжа, описанный выше в п. 5. [c.86]

Замечательное свойство вариационных задач заключается в том, что в них всегда автоматически возникает нужное число граничных условий. Эти граничные условия, не обусловливаемые имеющимися внешними обстоятельствами, следуют из сути вариационной задачи. Для наличия стационарного значения эти дополнительные граничные условия существенны в такой же степени, как и выполнение дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа. Появление этих дополнительных условий связано с граничным членом в Ы. Наложенные извне (внешние) и естественные граничные условия, вместе взятые, обеспечивают единственность решения. [c.93]

Дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа в этом случае запишется, согласно (2.10.11), следующим образом [c.94]

Задача 1. Применить дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа к интегралу (3.4.14). Первое уравнение (связанное с переменной х) непосредственно интегрируется. Выразив из него X [c.106]

По форме уравнения Аппеля (10), как показывается ниже, ничем не отличаются от уравнений Эйлера—Лагранжа (1.13). Применение тех или иных уравнений— вопрос вычислительного удобства. Пользование уравнениями Эйлера — Лагранжа предполагает предварительное нахождение трехиндексных символов кинетическая энергия должна вычисляться без учета наличия неголономных связей, что усложняет структуру этого выражения само написание уравнений требует внимания в расстановке индексов. При применении уравнений Аппеля основная трудность состоит в вычислении энергии ускорений требуется внимание, чтобы не упустить слагаемых, содержащих квазиускорения. При рассмотрении неголономных систем дело облегчается возможностью учитывать наличие этих связей. Не следует переоценивать значения правил (4.10.4) и (4.10.12) составления энергии ускорений 5 по кинетической энергии Т, так как применение второго из них требует знания трехиндексных символов и выражения Г, вычисленного при отброшенных связях, а применение первого для составления уравнений Аппеля в форме (5.18) воспроизводит выкладки, которые надо проделать при написании уравнений Лагранжа второго рода (если неголономные связи отсутствуют). Важное значение имеют в задачах динамики твердого тела правила составления 5, данные в п. 4.11. Уравнения Аппеля легко запоминаемы, а процесс [c.397]

Введение вспомогательных переменных р, q, г ц использование уравнений Лагранжа в форме уравнений Эйлера (53)- -(60) имеет несомнен ые преимущества в тех частных случаях, когда главные моменты действующих сил относительно осей г), не зависят от эйлеровых углов и их производных например, когда эти моменты постоянны (в частности, равны нулю) или являются заданными функциями времени. В этих случаях систему (60) можно рассматривать как независимую систему дифференциальных уравнений относительно вспомогательных переменных р, q, г если эта система разрешена, то уравнения (53) затем определяют эйлеровы углы ф, г , 0 как функции времени. [c.194]

Пример 57. Составим уравнения Эйлера — Лагранжа плп сво-б Дного движения однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости. [c.185]

Данное пособие состоит из двух глав и приложения. В первой главе изложены методики, приведены примеры и программы получения с помощью системы аналитических вычислений REDU E, а также численных методов основных уравнений аналитической динамики (уравнений Лагранжа, Гамильтона, Рауса и др.). Рассмотрена задача вывода уравнений Эйлера - Лагранжа с использованием общих теорем динамики, а также уравнений относительного движения в обобщенных координатах. [c.3]

Решим эту задачу, исходя из уравнений Эйлера-Лагранжа, соответствующего вариационному условию (41.8), и воспользуемся затем соотношением — = onst. (43.3) [c.327]

Они называются дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа , а также, когда они встречаются в приложениях к механике, уравнеттями движения Лагранжа . [c.84]

Задача 2. Применить дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа к интегралу (.3.4.16). Если отонадествить " с I/, то дифференциальное уравнение для можно непосредственно проинтегрировать. Показать, что результат в обеих задачах совпадает. Во второй задаче л — константа и совершенно отличается от А из первой задачи. [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...