Тема 11. Уравнения Эйлера—Лагранжа

Можно исключить какие-то m переменных q , выразив их через остальные переменные, и уменьшить тем самым число степеней свободы до п — т после этого становятся применимыми дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа. Однако исключение переменных может оказаться практически трудно выполнимым кроме того, связи между переменными могут быть даны в таком виде, который затрудняет разделение переменных на зависимые и независимые. В этих случаях хорошие результаты дает метод неопределенных множителей Лагранжа, описанный выше в п. 5. [c.86]

Другой подход к проблеме синтеза оптимальных игровых систем, опирающийся на вспомогательные конфликтные задачи о программном управлении, обладает тем преимуществом, что он не связан явно с интегрированием уравнений в частных производных, а использует соотношения принципа максимума или уравнения Эйлера — Лагранжа и т. д., т. е. базируется на аппарате обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако взамен этого здесь возникает трудность обоснования и осуществления перехода от решений вспомогательных программных задач к исходной проблеме игрового синтеза. Поясним сказанное. Пусть для системы (20.1)—(20.3) требуется решить задачу о преследовании при условии минимакса времени Т до встречи, т. е, требуется найти-управления и [у, z], v [y, z], обеспечивающие седловую точку для показателя г(т>] = [у (т), г(т)] м ,г при каждом возможном [c.225]

Смысл этого замечания состоит в том, чтобы еще раз подчеркнуть, что, производя вычисления в локальных координатах, мы тем не менее получаем результаты, не зависящие от их выбора. Это главное достоинство лагранжева формализма. В частности, требование обращения в нуль величины S F Tfi — R эквивалентно уравнению Эйлера — Лагранжа, которое, таким образом, является необходимым условием минимизации L на кривой с. [c.373]

Замечание 8.11.1. Система уравнений Эйлера в приведенном виде совпадает по форме с системой уравнений Лагранжа второго рода. Однако по смыслу в уравнениях Лагранжа функция Лагранжа должна удовлетворять обязательному условию невырожденности по обобщенным скоростям. Вместе с тем в уравнениях Эйлера, применяемых для решения задач на экстремум функционера, аналогичное условие невырожденности подынтегральной функции относительно первых производных может не выполняться. Кроме того, в уравнениях Эйлера под t следует понимать любую независимую переменную (не только время). [c.601]

Введение в механику понятия квазикоординат и обобщение уравнений Лагранжа на квазикоординаты интересно тем, что оно позволило объединить в одной и той же форме обычные уравнения Лагранжа, уравнения движения неголономных систем и такие уравнения, как, например, динамические уравнения Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой ). Чтобы сделать очевидным важность этого обобщения не только с формальной стороны, заметим, что при исследовании движения конкретных механических систем существенную роль играет удачный выбор неизвестных параметров (обобщенных координат и квазикоординат), определяющих движение. Как известно, с использованием квазикоординат была поставлена и исследована задача Эйлера о движении по инерции твердого тела с закрепленной точкой. В квази-координатах же исследованы С. А. Чаплыгиным задача о плоском неголономном движении и трудная задача о качении неоднородного шара по плоскости. Квазикоординаты как некоторые кинематические характеристики движения, определяющие скорости движения точек системы, употреблялись в механике очень давно. Однако лишь на рубеже двадцатого века обобщенные координаты и эти кинематические параметры были объединены в одном общем понятии квазикоординат, а в подытоживающей работе Гамеля были получены уравнения движения в квазикоординатах, по форме написания близкие к уравнениям Лагранжа и применимые как к голономным, так и к неголономным системам ). Хотя по своему [c.123]

Замечание 4. Случаи интегрируемости уравнений на алгебре е(3), дополнительный интеграл которых зависит лишь от переменных М, типа случаев Лагранжа и Гесса для уравнений Эйлера-Пуассона или типа случаев Кирхгофа, Чаплыгина (II) для уравнений Кирхгофа, очевидным образом переносятся на системы на пучке скобок (2.4), включающих при х = 1 алгебру во(4). Это связано с тем, что уравнения для М для всех скобок пучка совпадают (см. ниже). [c.186]

Однако Лагранж замечает, что составленные им уравнения весьма сложны. Поэтому он переходит от введенных им переменных посредством их преобразования к тем, которые в настоящее время называются переменными Эйлера. В результате Лагранж получает уравнения движения невязкой жидкости, которые теперь называются уравнениями Эйлера [74, с. 327]. [c.8]

Структурные аналогии ряда тем аналитической механики выступают ярче, если в основу выводов положить формулу первой вариации функционала. На этом пути структурно объединяются такие, казалось бы, разные вопросы, как вариационный принцип Гамильтона—Остроградского, принцип Эйлера—Лагранжа, законы сохранения мер движения в ньютоновской механике - сохранение количества движения, механической энергии и момента количества движения, закон сохранения обобщенного импульса и обобщенный закон сохранения энергии в аналитической механике, интегральные инварианты динамики, уравнения Гамильтона — Якоби и др. [c.281]

Рассмотрим элемент стержня (рис. 7.1) при движении. Он отличается от элемента стержня, используемого в статике (см. рис. 3.3), тем, что его центр тяжести имеет поступательную скорость V и угловую скорость (О. в общем случае на элемент стержня могут действовать распределенные силы и моменты (рис. 3.3). При исследовании движения стержня внутренние силовые факторы (векторы Q и М), а также и, v и (о являются функциями s и t, что приводит к уравнениям в частных производных. В гл. 3 рассмотрены два случая возможных переменных при описании кинематики сплошной среды (переменные Эйлера и Лагранжа). На элемент стержня, показанного на рис. 7.1, действует сила инерции [c.161]

Таким образом, в уравнениях равновесия обозначениям х, у, г по существу приписывается смысл переменных Эйлера (текущих координат), а в уравнениях сплошности тем же обозначениям приписывается смысл переменных Лагранжа (начальных координат). [c.204]

Лагранж, Жозеф Луи (25.1.1736-10.4.1813) — великий французский математик, механик, астроном. В своем знаменитом трактате Аналитическая механика (в 2-х томах), наряду с общим формализмом динамики, привел уравнения движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле, используя связанную с телом систему координат, проекции кинетического момента и направляющие косинусы (том II). Там же указан случай интегрируемости, характеризующийся осевой симметрией, который был доведен им до квадратур. Следуя своему принципу избегать чертежей, Лагранж не приводит геометрического изучения движения, а рисунки поведения апекса, вошедшие ранее почти во все учебники по механике, впервые появились в работе Пуассона (1815 г), который рассмотрел эту задачу как совершенно новую. Пуассон, тем не менее, систематизировал обозначения, усложняющие понимание трактатов Даламбера, Эйлера и Лагранжа и рассмотрел различные частные случаи движения (случай Лагранжа в некоторых учебниках называют случаем Лагранжа-Пуассона). В свою очередь Лагранж упростил решение для случая Эйлера и дал прямое доказательство существования вещественных корней уравнения третьей степени, определяющих положение главных осей. Отметим также вклад Лагранжа в теорию возмущений, позволивший Якоби рассмотреть задачу о возмущении волчка Эйлера и получить систему соответствующих оскулирующих переменных. [c.21]

Точная теория открытой органной трубы, включающая уравнения (11) и (12), была развита Гельмгольцем 1), метод которого, однако, значительно отличается от принятого здесь. Старые решения задачи, данные Лагранжем, Д. Бернулли и Эйлером, были основаны на допущении, что у открытого конца давление не может отклоняться от давления окружающей атмосферы —принцип, который, пожалуй, и в настоящее время допустимо применять к идеально открытому концу. Тот факт, что во всех обычных случаях энергия уходит в пространство, является доказательством того, что в трубе нигде пет абсолютной пучности, и можно было бы ожидать, что эффектом инерции воздуха непосредственно вне устья будет увеличение длины. Положения узлов в звучащей трубе были изучены экспериментально Саваром 2) и Гопкинсом ), с тем результатом, что интервал между устьем и ближайшим узлом всегда меньше половины интервала, разделяющего последовательные узлы. [c.197]

Первый член обращается здесь в нуль в силу закрепленности концов, а во втором в силу произвольности вариации 8gi t) надо будет потребовать обращения в нуль подинтегрального выражения. Тем самым требование принципа наименьшего действия приводит нас к уравнениям Лагранжа — Эйлера [c.17]

Учитывая, что в методе Эйлера описание движения отличается от принятого в теоретической механике, существуют некоторые отличия в определении ускорения, которое входит во второй закон Ньютона. В это уравнение входит ускорение материальной точки, которое для сплошной среды определяется, как и в теоретической механике, второй производной пути по времени только при использовании метода Лагранжа. В случае метода Эйлера ускорение, а также другие гидромеханические величины, которые меняются вместе с движением объёма жидкости, выражаются через специальный вид производной, которая определённым образом связана с полем скорости (3.2.2). Вместе с тем эта производная должна быть связана с движением частиц жидкости или газа (субстанции). Такую производную называют полной или субстанциальной. [c.27]

Принцип максимума и методы классического вариационного исчисления, рассмотренные выше, приспособлены прежде всего для решения задач о программном оптимальном управлении. Соответствующие дифференциальные уравнения, описывающие оптимальное движение и множители Лагранжа Я, (г), или вектор-функцию г) (0> являются уравнениями типа уравнений Эйлера — Лагранжа и Гамильтона. Они определяют управление в виде функции от времени . Во многих случаях, однако, ставится задача о синтезе оптимальной системы, работающей по принципу обратной связи, и тогда требуется, например, определение управления и в виде функции от текущих фазовых координат Хг 1) объекта. Здесь, конечно, возможен следующий естественный путь решения задачи. Для реализовавшегося в данный момент времени 1 х состояния х х х) решается вспомогательная задача о программном управлении (0[т, а (т)] (i>т), которое минимизирует тот же функционал и при тех же концевых условиях и ограничениях, какие заданы в исходной проблеме синтеза. Далее полагается, что [т, д (т)] = (т )[т, я (т)]7 и такие значения и = [т, X (т) ] при каждом = т > о используются в ходе реального процесса управления. В случае, если алгоритм вычисления ( )[г, д (т)] путем решения вспомогательных программных задач можно осуществлять значительно быстрее, чем протекание самого процесса х (т), такой путь может оказаться целесообразным, тем более, что по ходу процесса при т > 0 приходится на деле лишь корректировать величины (т)[т, а не решать в каждый момент = т заново всю программную задачу. Здесь, правда, еще остается нелегкая чисто математическая проблема, < остоящая в доказательстве того, вообще говоря, правдоподобного факта, что найденные таким путем функции [т, х (т)] при подстановке и = = [ , X ( )] в исходные уравнения (2.1) действительно разрешают проблему синтеза оптимальной системы. Это строгое обоснование того факта, что описанный переход [т, а (т) ] = (т)[т, а (т)] действительно дает оптимальный синтез, наталкивается, например, на следующую [c.202]

Уравнение Эйлера — Лагранжа эквивалентно требованию, чтобы его решение было критической точкой функционала F, определенного на множестве всех кривых [О, Т] —> М с данными граничными условиями, принадлежащих классу С . А priori такая критическая точка может не быть даже локальным, тем более глобальным миниумом. Ниже мы покажем, что если два граничных условия выбраны достаточно близкими, то существует единственное кратчайшее решение уравнения Эйлера — Лагранжа, которое на самом деле оказывается глобальным минимумом. Ситуация меняется, когда концы удалены друг от друга. Достаточно длинные отрезки решений уравнения Эйлера — Лагранжа, являющиеся траекториями, перестают быть минимумами. В 6 мы рассмотрим примеры орбит, которые являются глобально [c.373]

Общая концепция, связывающая наличие интеграла с определенными свойствами симметрии системы, принадлежит С. Ли (мы дадим предвтавление о ней в теме 17), а конкретный вид интеграла для систем, описываемых уравнениями типа Эйлера—Лагранжа и обладающих известной симметрией, получен Э. Нетер. [c.106]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

В мемуаре О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров , а затем в письме к Лиосковскому профессору Н. Д. Брашману, напечатанном ь 1866 г., Остроградский высказал сомнение в справедливости принципа наименьшего действия Лагранжа. Основные возражения Остроградского сводятся к следующему. Для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проблему. Остроградский же замечает, что в принципе наименьшего действия переменные связаны законом живых сил и не являются поэтому независимыми, в отличие от переменных обыкновенной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчинены некоторому условию и не могут быть совершенно произвольными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа у Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственную формулировку в случае консервативной системы действительная траектория движения между двумя точками обладает тем свойством, что преобразование уравнений движения приводит к условию [c.218]

См. fl.Il, стр, 25, 30—36, 39-—40 [соответственностр. 37, 43—50, 54 русского перевода], Замечание. Основное ( отношение, связывающеё кривизну с изгибающим моментом, впервые было получено Яковом Бернулли, хотя ему не удалось найти правильное значение п<х тоянной, входящей в это соотношение. Тем не менее его работа должна рассматриваться как первый вклад в решение задач о больших прогибах балок. Следуя совету Даниила Бернулли, Эйлер вновь вывел дифференциальное уравнение линии прогибов и приступил к решению различных задач об эластике см. [1.1J, стр. 27 стр. 39 русского перевода], 1.2], т. 1, ip. 30 и 34, а также 1.3], стр. 3 [стр. 17 русского перевода]. В I6.20] приведена известная статья Эйлера о линиях прогиба. После этого задачей об эластике занимался Жозеф Луи Лагранж (1736—1813), выдающийся итальянский математик ), впервые сформулировавший принцип возможной работы и сделавший весьма существенный вклад в динамику. Он рассмотрел консольную балку с нагрузкой на незакрепленном конце (см. 1.1], стр. 39—40 стр. 54 русского перевода], и [1.2], т. 1, стр. 58—61, а также статью Лагранжа [6.21]) краткая биография Лагранжа приведена в[6.4] на стр. 133 и в 6.5] на стр. 250. К числу первых ученых, занимавшихся теорией упругости, относится и Джиованни Антонио Амадео Плана (1781—1864), племянник Лагранжа, исправивший ошибки в работах Лагранжа по теории упругих кривых (см. [1,2], т. I, стр. 89—90, а также работу Плана [6,22]) биографические сведения о нем можно найти в [6.5]. Макс Борн в своей диссертации 6.23] исследовал эластику при помощи вариационных методов (см. [1.13], стр. 927—928 и 932 [c.553]

Дальнейшее исследование свойств подобных дифференциальных форм высших порядков и уравнений движения, выражающихся через них, бесспорно может привести к новым интересным фактам. Лагранж, Эйлер и все другие классики были бы весьма удивлены новым видом уравнений динамики. Но уже и сейчас можно утверждать, что новая форма уравнений динамики является основой дальнейшего развития механики неголономных систем самого общего вида. Если на базе обычных уравнений Лагранжа удается выводить все существующие типы уравнений движения неголономных механических систем только с неголономными связями первого. порядка и 1при этом линейными относительно обобщенных скоростей, то уравнения новой формы могут быть непосредственно применены и для вывода из них уравнений движения с неголономными связями любого вида, т. е. любого дифференциального порядка и любой структуры в смысле линейности или нелинейности уравнений связей относительно производных от обобщенных координат. Уравнения движения для систем с неголономными связями второго порядка были выведены в середине шестидесятых годов тем же И. Ценовым. Уравнения движения с множителями Лагранжа при нелинейных неголономных связях перво- [c.11]

Первые серьезные для своего времени исследования колебаний восходят к XVII веку. Они были выполнены Г. Галилеем и затем X. Гюйгенсом и касались лишь маятника. В XVIII веке, с развитием математического анализа и теоретической механики, интерес к колебательным процессам уже подкрепляется основательной теоретической базой. Так, Л. Эйлер в России занимается изучением колебаний корабля в связи с вопросом о его устойчивости, а Ж. Даламбер во Франции работает над исследованием колебаний струны. В конце XVIII века Лагранж в своем замечательном труде Аналитическая механика создает мощный математический аппарат в виде хорошо известных теперь уравнений движения в обобщенных координатах. Рассмотрев с его помощью некоторые задачи теории колебаний, приводящиеся к интегрированию линейных дифференциальных уравнений, он тем самым заложил основы линейной теории колебаний. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...