Лиувилля интегралы

Доказательство теоремы Лиувилля. Выберем в фазовом пространстве q, р замкнутую область S , соответствующую / = /о (рис. Vn.lO). Фазовое пространство имеет 2п измерений, и поэтому объем области выражается 2п-крат-ным интегралом [c.304]

Теорема 9.7.9. (Теорема Лиувилля об интегралах в инволюции). Пусть имеется п независимых, находящихся в инволюции первых интегралов /ь...,/ системы уравнений Гамильтона. Тогда существует каноническое преобразование, приводящее уравнения движ.ения к форме [c.694]

Все же важно уже теперь отметить, что на основании общей теоремы Лиувилля, которую мы уже упоминали в п. 10 и доказательство которой отложили до 7 гл. X, задача 6 движении тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, будет интегрироваться только в квадратурах во всех тех случаях, когда для системы уравнений (34 ), (35 ) возможно указать первый интеграл, отличный от первых интегралов живых сил и моментов. [c.104]

ТО обстоятельство, что переменная t не появляется ни в ни в одном из известных интегралов (86). При таком предположении теорема Лиувилля позволяет сделать два замечания, которые следует разъяснить. [c.314]

Прежде всего мы видим, что способ, использованный в предыдущем пункте для установления теоремы Лиувилля, приводит к пол-ному интегралу вида [c.314]

Перейдем теперь к другому упомянутому следствию из теоремы Лиувилля интегрирование канонической системы с характеристической функцией, не зависящей от времени, будет выполнимо одними только конечными операциями и квадратурами) всякий раз, когда известны п — 1 ее интегралов /j, Д . .., / i, которые находятся в инволюции и не содержат t, и функции Д, [c.314]

Теорема (Лиувилля). Пусть система уравнений (37) имеет п первых интегралов [c.368]

Теорема Лиувилля. Для уравнений Гамильтона дивергенция поля А равна нулю. Отсюда следует (см. 21.8, п. 3), что объем протяженность) фазового пространства является инвариантом преобразования, определяемого дифференциальными уравнениями. Иными словами, фазовая жидкость несжимаема . В этом состоит известная теорема Лиувилля, играющая важнейшую роль в кинетической теории газов. Как известно, множителями системы являются ее пространственные интегралы, они удовлетворяют условию [c.439]

Теорема Лиувилля. Если система уравнений Гамильтона имеет п первых интегралов в инволюции, то она интегрируется в квадратурах при помощи алгебраических операций, обращения функций, интегрирования и дифференцирования (для доказательства достаточно посмотреть, что делалось выше при эффективном пополнении). [c.266]

Еще раз о локальности. Теорема Лиувилля, равно как и предыдущие теоремы, формально носит сугубо локальный характер. Из доказательства теоремы Дарбу следует, что всякая гамильтонова система вполне интегрируема в окрестности любой неособой своей точки. На практике, однако, нас не интересует потенциальное и бессодержательное существование интегралов в малом. Нам важны случаи, когда явно предъявляются первые интегралы движения, определенные во всем или почти всем фазовом пространстве задачи. Вместе с тем, поскольку на практике мы всегда имеем дело с аналитическими функциями, поведение которых в целом, как известно, определяется поведением в малом, то, опираясь на локальные теоремы, мы сможем в конце концов получать заключения нелокального характера о фазовом потоке. [c.266]

Распределения Гиббса. Проведённые до сих пор рассуждения носили формальный характер, т. к. нахождение ф-ции распределения, согласно (1), требует знания всех X и р во все моменты времени, т. е. решения ур-ник движения с соответствующими нач. условиями. Осн. положением С. ф. является утверждение о возможности из общих соображений определить эту ф-цию для системы, находящейся в состоянии термодинамич. равновесия. Прежде всего, исходя из сохранения числа частиц при движении, можно показать, что ф-ция распределения является интегралом движения системы (см. Лиувилля теорема). [c.666]

Из теоремы Лиувилля следует, что для полной интегрируемости гамильтоновой системы достаточно знать N интегралов движения. Совокупности всех комплектов /( соответствует семейство инвариантных торов. Торы являются инвариантными, т. к. их положение и форма в фазовом пространстве не меняются со временем. [c.399]

Второй из написанных интегралов представляет функцию, аналитическую везде внутри контура и по условию ограниченную на расширяющемся в бесконечность контуре Следовательно, эта функция ограничена во всей плоскости. По теореме Лиувилля такая функция равна постоянной [c.35]

Итак, объем любой области фазового пространства сохраняется при движении именно в этом заключается знаменитая теорема Лиувилля. Отметим, что эту теорему можно обобщить на случай различных мер. Для этого еще больше ограничим определение функции F (х) [см. (П.5.3)]. Будем считать, что эта функция зависит от X только посредством зависимости от одного или большего числа изолирующих интегралов движения [c.375]

Приведенные выше рассуждения, основанные на законах механики и уравнении Лиувилля, не определяют однозначно равновесное распределение. Мы выяснили только, что равновесное распределение является функцией интегралов движения, но для построения конкретных распределений при заданных макроскопических условиях требуются дополнительные постулаты. [c.53]

В настоящей работе понятие эргодичности оставляется в стороне. Мы отказываемся от принятия эргодической гипотезы она одновременно и недостаточна и не необходима для статистики. Мы исходим из понятия движений размешивающегося типа. В работе показывается, что необходимое механическое условие для применимости статистики заключается в требовании того, чтобы в фазовом пространстве системы все области, начиная с некоторых, достаточно больших областей, деформировались с течением времени так, чтобы при сохранении объема — по теореме Лиувилля — их части распределялись по всему фазовому пространству (точнее, слою заданных значений однозначных интегралов движения) все более и более равномерно. Далее, устанавливается критерий, которому должна удовлетворять потенциальная энергия системы для того, чтобы осуществлялось такое размешивание и показывается, что во всех случаях практически важных сил взаимодействия этот критерий будет выполнен. [c.169]

Теорема Лиувилля [ 16, с. 519], [ 20, с. 354], (1855 г.) утверждает, что если система канонических уравнений (20) допускает интегралов А ) = Са, приводимых К ВИДУ [c.78]

Так как уравнениям движения (34), (35) можно придать Гамильтонову структуру, то в соответствии с теоремой Лиувилля в этих двух случаях наличие интегралов (36) и (37) позволяет довести интегрирование до квадратур. [c.95]

Содержательность теоремы Лиувилля заключается в том, что она показывает, как, зная п первых интегралов системы Гамильтона 2п-го порядка, можно свести всю задачу к квадратурам (обращение функций и взятие интегралов). Известно, что для системы 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для этой цели необходимо знание 2п - 1 первых интегралов. [c.301]

Теорема Лиувилля. Пусть система Гамильтона q = Tip, р = = —Tiq, (9, р) имеет п первых интегралов в инволюции Hk[q, р) (f = 1,. . ., п) (два первых интеграла находятся в инволюции, если их скобка Пуассона равна нулю). [c.301]

Канонические переменные действие-угол вводятся в случае компактного многообразия уровня первых интегралов "Нк и являются удобными при формировании в дальнейшем процедур приближенного интегрирования систем, близких к интегрируемым по Лиувиллю. [c.303]

Средние по времени и по ансамблю для макроскопически равновесной системы Sn построены на одном и том же множестве R=AB элементов 2,. .,, Л 6=1, 2,. .., В), и создается впечатление, что переход от средней по времени к средней по ансамблю есть чисто формальное преобразование, т. е. они равны между собой. Это было бы действительно так, если бы конкретные опыты приводили к тождественным результатам и в каждом из них за время т система совершала в фазовом пространстве один и тот же замкнутый цикл, т. е. множество MSn сводилось бы к множеству состояний в одном детерминированном движении 5v при точно заданных начальных условиях. Поскольку в этом случае р, q) однозначно определяются интегралами движения, то и /(р, q) определялась бы ими, т. е. удовлетворяла бы уравнению Лиувилля. Следовательно, средняя по времени равнялась бы статистической средней. Это впечатление ошибочно, так как все перечисленные условия не выполняются. На макроскопически равновесную систему наложены лишь очень слабые ограничения, и имеется множество допусков . (Для газ — допуски на температуру и объем баллона независимость 0 от вещества баллона и состояния его поверхности независимость от малых ошибок в параметрах ц и т. д.). В общем случае не существует и замкнутых циклов у детерминированных систем. [c.23]

Вместо задачи решения уравнения Лиувилля (1.21) для системы очень большого числа частиц Л , т. е. для отыскания функции очень большого числа 6Л +1 переменных (р , 7 , к=1, 2,. ... .., а=1, 2, 3), мы получили задачу решения бесконечной системы зацепляющихся кинетических уравнений (1.64) при 5=1, 2, со, причем уравнение для /1(Р1, Яь t), зависящей от семи переменных, содержит под интегралом по Й функцию /г уравнение для Ь(рь 41 Рг, Чг, О зависящей от тринадцати переменных, содержит, аналогично предыдущему, /з и т. д. Кажущееся усложнение задачи (замена одного уравнения для /лг бесконечным числом совместных уравнений для бесконечного числа [c.33]

К настоящему времени в динамике известно довольно много интегрируемых задач. Решение всех таких задач, имеющих п степеней свободы, основано на существовании п первых независимых интегралов в инволюции. В этих случаях согласно теореме Лиувилля [2] уравнения движения решаются в квадратурах. Можно показать Щ, что существование полного набора интегралов в инволюции влечет следующую картину поведения траекторий в 2п-мерном фазовом пространстве. Все фазовое пространство разбивается на области, расслоенные совместными уровнями первых интегралов на замкнутые п-мерные инвариантные многообразия. Если эти многообразия компактны, то они суть п-мерные торы, несущие на себе квазипериодические движения. [c.35]

Система канонических уравнений с гамильтонианом (3.1) предполагается интегрируемой по Лиувиллю существуют и+1 независимых первых интегралов в инволюции [c.211]

Таким образом, нами доказ "- следующая теорема. Теорема Лиувилля. / пность статистического ансамбля всегда является интегралом движения. [c.145]

Теоремы С. Ли и Лиувилля. Результаты, полученные в двух предыдущих пунктах, являются частными случаями основной теоремы теории канонических систем, которая формулируется следующим образом (теорема С. Ли) если для канонической системы порядка 2я известны т интегралов, независимых между собой, находящихся в инволюции и разрешимых относительно стольких же переменных р, то ранг системы, от которого зависит определение общего реигения, понижается на 2т единиц (вместо т) и интегрирование данной системы сводится к интегрированию другой системы, тоже канонической, с п — т парами сопряженных яе-ременных. [c.311]

С другой стороны, то обстоятельство, что в указанных выше случаях Лиувилля и Штеккеля приложимость метода разделения переменных связывается с существованием квадратичных относительно q первых интегралов, заставляло изучать условия, при которых динамическая задача допускает первые интегралы указанного выше вида. Известные типы таких задач были указаны, кроме Штеккеля, Ди Пирро б) и Пэнлевеб). И для этих динамических задач, [c.345]

Переход к хаосу. Гамильтонова система с N степенями свободы описывается системой 2N ур-ний движения. Имеет место теорема Лиувилля. Пусть система обладает /V независимыми интегралами движения Ji, Ij, коммутирующими между собой У,-, / = 0, i, к=, 2,. .., N ( ...)—скобки Пуассона). Тогда I) траектории лежат на yV-MepHOM торе (пример для N-2 показан на рис. 3) [c.398]

В связи с тем, что в случаях Лиувилля и Штеккеля возможность решения задачи в квадратурах связана с существованием квадратичного относительно обобщенных скоростей первого интеграла, были предприняты исследования условий, при которых динамические уравнения движения системы допускают подобные интегралы. В этом направлении в конце XIX в. ряд результатов получили Г. Пирро, П. Пенлеве, Т. Леви-Чивита Ж. Адамар 103 и П. Бургатти нашли новые случаи интегрируемости уравнений движения материальной системы (при наличии квадратичных относительно обобщенных скоростей первых интегралов), из которых ранее известные вытекают как частные случаи. Однако до настоящего времени не доказано, что эти случаи интегрируемости явля10тся самыми общими. Работы на эту тему появлялись [c.103]

Двухчастичный гамильтониан Я12 = pi- -pi)/2т- -Ф12 является интегралом движения, если эволюция описывается двухчастичным оператором Лиувилля zLi2, т. е. exp(z Li2) Я12 = Я12. С другой стороны, exp(z Li2) Ф12 О при t -оо. Отсюда следует, что [c.243]

Если бы удалось на21ти общее решение стационарного уравнения Лиувилля Р = Р(2) = P xi,li), то задача вычисления равновесного распределения, по-видимому, оказалась бы решенной. Нетрудно указать рецепт для нахождения этого общего решения, но этот рецепт невозможно практически использовать. Прежде всего заметим, что функция Р г) удовлетворяет уравнению (6.5) тогда и только тогда, когда она является интегралом [c.36]

Таким образом, если интегралы движения допускают представление в виде частного случая интегралов Нётер (14), то теоремы Пуассона и Лиувилля имеют простую теоретико-групповую трактовку. [c.79]

Результаты Брунса и Пенлеве в задаче трех тел и Пуанкаре, Лиувилля, Гюссона в динамике твердого тела, касающиеся отсутствия новых алгебраических интегралов. [c.11]

Отыскание случаев интегрируемости уравнений динамики было в основном делом XIX в. Якоби, Лиувилль, Ковалевская и др.). Но с появлением работ Пуанкаре стало ясно, что уравнения динамики в общем случае неинтегрируемы интегралы не только неизвестны, но и не существуют вовсе, так как траектории в целом не ложатся на инвариантные многообразия [9]. [c.35]

Данные преобразования содержат только алгебраические операции, вычисление интегралов от известных функций и обращение этих интегралов. Таким образом, уравнения (1.9), определяющие на двумерных инвариантных торах условнопериодическое движение, и есть те уравнения, которые должны существовать по теореме Лиувилля-Арнольда об интегрируемости. [c.205]

Докшевич A. И. Элементарное доказательство теоремы Лиувилля об алгебраических интегралах системы уравнений Эйлера-Пуассона. Механика твердого тела (респ. межведомств. сборник). Киев Наукова думка, 1974, вып. 6, с. 48-50. [c.233]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...