Индекс периодической траектории

Существование замкнутых кривых из траекторий, стягиваемых по цилиндру в точку. В частности, существование неизолированных периодических траекторий или предельных циклов. Заметим, что в силу 2к-периодичности векторного поля системы по а, последняя задача сводится к отысканию замкнутых траекторий или замкнутых кривых из траекторий лишь вокруг точек покоя индекса 1. [c.220]

Итак, пусть известна вероятность того, что действие 8 Е) на замкнутом витке периодической траектории (индексы С и О в дальнейшем опускаются) принимает значения в интервале (5, 8+ (18) с плотностью вероятности Р(8 Е). Тогда плотность вероятности того, что собственное значение энергии лежит в интервале (Е, Е + йЕ), равна [c.224]

Свойства критических точек гладких функций характеризуются индексом Морса, а неподвижным точкам отображения Пуанкаре сопоставляют характеристические показатели, от которых зависит динамическая устойчивость траектории. Оставшаяся часть этой главы посвящена описанию связи между этими двумя характеристиками периодической траектории биллиарда. [c.67]

Любой невырожденной п-звенной периодической траектории <р°еТ" однозначно сопоставляется индекс Морса пдф — целое число, равное количеству отрицательных собственных значений матрицы Нп- [c.71]

Чтобы проиллюстрировать связь биллиарда с задачей о геодезических на римановом многообразии, рассмотрим гладкую замкнутую двумерную поверхность в Кз и будем деформировать ее так, чтобы она оставалась гладкой и стремилась к плоской области (ср. с [42, гл. 6]). Тогда геодезические на поверхности будут стремиться к траекториям соответствующего биллиарда. Замкнутая геодезическая на поверхности перейдет в периодическую траекторию биллиарда, имеющую тот же индекс Морса и четное количество звеньев (см. рис. 54). [c.156]

С учетом отмеченного выше эвристического предельного перехода из этого утверждения получаем следующий результат для биллиарда Биркгофа индекс Морса невырожденной эллиптической четно-звенной периодической траектории с упругими отражениями всегда нечетный. В главе 2 этот результат получен как следствие теоремы 2. [c.157]

В вариационном исчислении в целом имеется вариант понятия индекса Морса, относящийся к некоторым множествам критических точек ( невырожденные критические многообразия ). У нас этому соответствовало бы понятие индекса Морса для множества периодических траекторий (удовлетворяющего определенным условиям). Но для ТДС такой вариант является менее существенным, и я ограничусь приведенным выше простейшим и в то же время важнейшим вариантом, относящимся к отдельным траекториям. [c.178]

Индекс Кронекера—Пуанкаре. Этот индекс будет определен для изолированных периодических траекторий , включая положения равновесия потока. Во всех случаях определение связано с понятием вращения векторного поля v на сфере не обращающегося на ней в нуль, т. е. степени ее отображения j i->v(je)/l v(j ) ] в единичную сферу. Отображения и векторные поля здесь и далее подразумеваются непрерывными. [c.182]

Рассмотрим теперь замкнутую фазовую траекторию, которая, как уже говорилось, служит геометрическим образом периодического движения. Индекс такой замкнутой кривой, являющейся фазовой траекторией, равен +1 (рис. 2.20) направление вектора в каждой точке совпадает с направлением касательной к фазовой траектории. При однократном обходе вдоль траектории вектор поворачивается на угол 2к в положительном направлении. [c.63]

Для А -гомеоморфизмов меру максимальной энтропии можно связать с периодическими траекториями также и через марковское разбиение с использоваинем известных результатов про ТМЦ, приведенных выше (см. п. 4). Мы рассмотрим случаи А -гомеоморфизмов, следуя книге [А]. Результаты для А-потоков будут приведены в следующем разделе. Пусть / —транзитивный А -гомеоморфизм, ё" = = Яо, .., — марковское разбиение, (2 ,0-) — ТМЦ, соответствующая л 2,4— проекция, индуцироваииая разбиением Согласпо [Б1, предложение 3.19], (2, ,<т) — неразложимая ТМЦ. Пусть А —ее индекс цикличности, = = 21 и и 2л, а перемешивает. [c.231]

Известно, что динамика гамильтоновых систем (в том числе систем с упругими отражениями) подчиняется вариационным принципам. В связи с этим обстоятельством характеристики периодических траекторий гамильтоновых систем можно разбить на два класса динамические и геометрические. Первые определяются отображением Пуанкаре, соответствующим данному периодическому решению уравнений движения. К ним относятся величины характеристических показателей, свойства невырожденности (по Пуанкаре) и орбитальной устойчивости. Вторые являются характеристиками периодической траектории как критической точки функционала действия. К ним относятся индекс Морса, невырожденность по Морсу, а также введенный ниже определитель Хилла. [c.157]

Индекс Морса (морсовский индекс). Индекс Морса (М. Morse) определяется для гиперболической периодической траектории (включая положение равновесия) как размерность dim (L). В случае каскада точкам x L приписывается тот же индекс, что и L. (У некоторых авторов индекс Морса замкнутой траектории на 1 меньше, чем здесь.) Будем обозначать индекс Морса через и, и х), u L). Для положения равновесия потока или периодической траектории каскада индекс равен числу соответствующих собственных значений Л с КеЛ>0 при 1Я >1 для замкнутой траектории потока — увеличенному на 1 числу мультипликаторов Л с Я1>1. Хотя формулировки в терминах Л определяют некоторое число и в негиперболическом случае, оно нам не понадобится. [c.177]

Для положения равновесия х индекс Кронекера (L. Кгопе-скег)—Пуанкаре равен вращению поля фазовой скорости на малой сфере, охватывающей х (с помощью локальных координат поле и сфера переносятся в R ). В топологии в этом случае говорят об индексе нуля векторного поля. Индекс ind (а, f) изо-,. лированной неподвижной точки а непрерывного отображения -f -.(необязательно гладкого) равен, в терминах локальных координат, индексу соответствующего нуля поля смещения f(x)—x. (Топологи часто берут индекс для поля х—f(x) тогда пропадает множитель (—1)" в формуле Лефшеца см. в) ниже). Индекс периодической (с периодом I) точки а отображения f равен ind(a,f ). Оказывается, что все точки f a имеют такой же Индекс, так что его можно приписать соответствующей периодической траектории. (Это очевидно, если f в точках этой траектории является локальным диффеоморфизмом. В общем случае можно использовать аппроксимационные соображения, сочетая [c.182]

Определив индекс инвариантного множества, состоящего из нескольких периодических траекторий, как сумму их индексов, можно затем с номощью аппроксимацнонных соображений ввести индекс Пуанкаре—Кронекера для некоторых инвариантных множеств, состоящих нз периодических траекторий. Здесь это не понадобится, поэтому я не формулирую условий, рн которых это можно сделать. [c.182]

Пусть -ПОТОК- (х,е.. дюле фазовой -скорости - - а-замк утом-многообразии ЛГ непрерывно зависит от -параметра 0,-О<-0<1, причем при 0 = 0 и 0 = 1 изолированы все замкнутые траектории, периоды которых (необязательно минимальные) лежат в отрезке [ , pi, где а>0, Э<оо, и пусть ни при одном 0 поток не имеет замкнутых траекторий с периодами аир. Тогда сумма индексов Фуллера периодических траекторий с периодами т6[а, р1 —одна и та же при 0 = 0 и 0=1.. [c.186]

Критические точки f суть периодические точки потока, причем положения равновесия суть невырожденные критические точки с теми же индексами, а критические точки, лежащие на замкнутой траектории Ь, неизбежно вырождены (когда JfбL, то отвечает нулевому собственному значению оператора, задающего квадр атнчную форл у ио это вырождение— минимальное (ранг равен п—1). [c.192]

Для каскада М.—С. й тоже существует функция / класса С°°, которая имеет критические точки (притом невырожденные и того же индекса) в периодических тачках ц и убывает вдоль всех остальных траекторий, причем возле периодической точки а разность цх)— х) имеет порядок квадрата расстояния до а. Вследствие очевидной аналогии с функциями Ляпунова в теории устойчивости (статья I, гл. 1, п. 4.3), такую / называют функцией Ляпунова для системы М.—С. (а также функцней. эне№1ж) [б8]7-- V- / / [c.192]

При наличии замкнутых траекторий, неравенства (3) — для систем М.—С. они называются неравенствами Морса—Смейла— сохраняются со следующими модификациями под понимается сумма числа положений равновесия индекса i и числа замкнутых траекторий индексов i и i-hl если среди замкнутых траекторий имеются закрученные или обращающие ориентацию, то числа Бетти надо брать иад полем характеристики два. Если же замкнутых траекторий нет, то неравенства (3) и их уточнение (с 6i + < + i i) сохраняются дословно (т< теперь — число периодических точек индекса i). [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...