Круговые периодические траектории

Круговая частота со = к к АВу -, период Т = 2л/со. В фазовом пространстве X, У траектории движения такого осциллятора представляют собой концентрические эллипсы в окрестности точки Х°, У°. Для конечной амплитуды колебаний около точки X , К траектории деформируются, но остаются замкнутыми с непрерывно изменяющимся периодом. Таким образом, модель Лотка — Вольтерра связана с существованием бесконечного числа периодических траекторий, из чего следует отсутствие затухания флуктуаций. Наложение малых возмущений приводит к переходу системы от одной орбиты к другой с разными частотами, при этом отсутствует какая-либо предпочтительная орбита. [c.79]

Пусть Г — гладкая регулярная кривая на поверхности кругового цилиндра И и — круговое сечение этого цилиндра, ортогонально пересекающее Г ровно в одной точке. Рассмотрим биллиард на И с границей Г ясно, что — одна из периодических траекторий этого биллиарда. Может ли она быть эллиптической [c.82]

Квадратичная парабола, отвечающая задаче Кеплера (при б = 0), изображена на графике штриховой линией (рис. 3.11). Если м2< ыо-<М1. то ы(ф) будет периодической, функцией полярного угла ф, колеблющейся в пределах от г до 1. Если о мз, то при ф- -оо будет - -оо, а значит г->0. В этом случае траектория имеет вид спирали, стягивающейся к центру. Если же М1=Ыз (штрихпунктирная кривая на рис. 3.11) и г< то - - 1 при ф->оо. Это случай захвата точки на круговую орбиту — траектория будет навиваться на окружность-радиуса Гх. [c.149]

Таким образом, периодическое движение конца вектора кинетического момента L в случае круговой орбиты происходит по эллипсу (6.6.4). Поскольку еще имеет место и вековое движенце, то эллипс (6.6.4) перемещается по сфере, причем его центр движется по параллели, соответствующей р = р0 В результате этих двух движений получается траектория (рис. 39), имеющая, как было показано в 3, точки возврата. [c.219]

При обычных условиях скорость резания и=15—30 м/сек. При круговом движении шкурки барабану придают дополнительное (вдоль его оси) периодическое перемещение, которое изменяет траекторию движения зерна в древесине. Эта траектория показана на рис. 12.1 при различном соотношении составляющих скоростей. [c.192]

Замечание 2. Если рассматривать возмущения задачи Эйлера-Пуансо при условиях Гесса, то оказывается, что пара сепаратрис, исходящих из неустойчивых перманентных вращений, не расщепляется при возмущении [92] (см. рис. 70f, 71 h). При этом интеграл (3.4) и определяет особый тор, заполненный двоякоасимптотическими траекториями, приближающимися к некоторым неустойчивым периодическим решениям, которые при Д О переходят в перманентные вращения вокруг средней оси. Такое описание динамики приведенной системы не противоречит результату Жуковского о квазипериодическом движении центра масс тела (3.9), так как система, описывающая движение центра масс, получается редукцией не по углу прецессии, а по углу собственного вращения вокруг оси, перпендикулярной круговому сечению. [c.244]

На рис. 31, б показана проекция на плоскость орбиты Луны траектории материальной точки, помещенной в начальный момент без относительной скорости в точку либрации bi, под действием солнечных возмущений. Принято, что орбиты Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли — круговые, учтен взаимный наклон плоскостей орбит и предполагается, что в начальный момент все три небесных тела были на одной прямой (момент затмения Солнца). Мы видим, что происходит в течение первых 250 суток (цифры указывают счет месяцев от начала движения, ось х параллельна линии Земля — Луна, пунктирные участки помогают лучше разглядеть кривую). Читатель поверит, что происходит дальше (считала ЭВМ ). Петляя, объект к исходу 850 сут удалится на 190 ООО км от точки Li, затем начнет приближаться, достигнув расстояния 24 ООО км к моменту 1460 сут, и т. д. Петли делаются более правильными (особенно крупные), хотя периодически увеличиваются и сокращаются [2.6]. [c.105]

Тор (инвариантный) Движение двух связанных осцилляторов без затухания в воображаемом конфигурационном пространстве, происходит по поверхности тора. Круговое движение по окружности меньшего радиуса (меридиану) соответствует колебаниям одного осциллятора, круговое движение по окружности большего радиуса (параллели) — колебаниям другого осциллятора. Если движение периодическое, то траектория на поверхности тора после нескольких витков замыкается. Если движение квазипериодическое, то траектория проходит сколь угодно близко от любой точки на торе. [c.274]

Поскольку состояния (8 - - 21Т, у) и (8, у) являются состояниями физически тождественными (правые части уравнений (7.14) являются периодическими функциями угла 8 с периодом 2т ), мы должны взять в качестве фазовой поверхности круговой цилиндр (по его образующей будем откладывать величину у, пропорциональную скорости V, а по направляющей — угол 8). Исключив случай полета планера хвостом вперед , мы ограничимся рассмотрением фазовых траекторий только на верхней половине цилиндра (только при / гО). Уравнение интегральных кривых на цилиндре, очевидно, может быть записано в виде [c.498]

В то время как линейный осциллятор, получающийся из заданной нелинейной системы при (л = О, обладает целым континуумом замкнутых круговых траекторий, изображающих множество возможных в ней периодических движений, нелинейная система (12.29) только некоторые из этих окружностей будет иметь в качестве фазовых траекторий, изображающих ее периодические движения, а именно окружности радиусов равных корням уравнения [c.511]

Поэтому вывод о том, что свободно движущиеся наблюдатели всегда старятся быстрее, чем любые другие наблюдатели, подвергающиеся действию механических, электромагнитных или каких-либо иных негравитационных сил, является законом природы. Интересен сам факт, что скорость старения зависит от природы сил, сообщающих ускорение космическому кораблю. Если мы свободно вращаемся вокруг Земли по спутниковой орбите, мы старимся при этом быстрее, чем наблюдатель, находящийся на вершине высокой башни, мимо которого мы периодически пролетаем. Если же, однако, мы будем двигаться в свободном от поля тяжести пространстве под действием силы тяги корабля, по круговой траектории, то мы будем стареть медленнее, чем инерциальный наблюдатель, мимо которого мы будем периодически пролетать. [c.335]

Случай ropИJOнтaльнoй плоской поверхности, совершающей поступательные колебания в горизонтальной п.поскости, близкие к круговым. Если горизонтальная поверхность помимо круговых совершает дополнительные малые поступательные колебания в горизонтальной плоскости (рис. 23, г), то в (64) можно положить jxX = = n/.v (шО. = Ц/у где fx (wO и f,j (ai) — периодические функции i с периодом 2я/со. В частности, если траектории результирующих колебаний — аллипсы с относительно малым жсцентриситетом, то можно принять (а и Ь — полуоси эллипса, причем большая ось параллельна оси Ох) [c.45]

В настоящее время знание периодических решений уравнения (1) еще весьма ограничено. Мы не будем обсуж-дать хорошо известные классические решения, которые характеризуют 1) траектории либо близкие к либрационным точкам, либо близкие к круговым решениям для малых [X >0 2) траектории для произвольных х, когда точка находится близко от одного из тел или на большом удалении от обоих тел 3) траектории, находящиеся внутри замкнутого овала нулевой скорости вокруг более тяжелого тела, которые сходятся только после многих оборотов, и т. д. Здесь мы рассмотрим некоторые недавно обнаруженные периодические решения и принципы, которые можно использовать для доказательства их существования. Эти новые решения характеризуются своей связью с кеплеровы-ми эллиптическими движениями при больших эксцентриситетах и представляют по отношению к уравнению (1) ситуацию, которую классики небесной механики безуспешно пытались решить, хотя и разработали мощные методы в ходе исследования таких проблем. [c.94]

Рассматривая классическую ограниченную круговую задачу трех тел при определенном соответствии конечных масс, Г. Дарвин и ученые копенгагенской школы под руководством Э. Стремгрена установили классификацию всех существуюпщх простых периодических решений задачи, которая позволяет проследить процесс исчезновения определенных классов периодических орбит при изменении начальных условий. Много работ посвящено также изучению траекторий вблизи лагранжевых частных решений, исследованию ограниченной задачи трех тел, устойчивости движения динамических систем и др. [c.108]

При больгиих значениях h фазовый портрет фактически весь состоит из регулярных траекторий и его вид определяется двумя — устойчивым и неустойчивым — двухзвенными периодическими движениями (рис. 18, h = 25). При h оо вся картина стремится к множеству горизонтальных прямых линий, что (как и в случае биллиарда в однородном поле) отвечает классическому кинематическому круговому биллиарду Биркгофа. [c.220]

Пр и меч анис. Существование [ ериоднческих и почти периодических решений, рассмотренных выше, обусловливается наличием точных круговых решений задачи Фату, орбитально устойчивых в смысле Ляпунова. Так как исходные круговые орбиты лежат в плоскости симметрии силового ноля, то близкие к ним траектории или также лежат в этой плоскости, или близки к ней. Так как для применения метода Ляпунова необходимо иметь исходное пернодическос решение задачи, а других частных решений мы указать не можем, то ие можем также [c.333]

Обобщенная задача двух неподвижных центров (см. ч. VI) также допускает круговые орбиты. Их устойчивость при постоянно действующих возмущениях исследована в работах [135], [136], [137], а для случая предельного варианта задачи двух неподвижных центров в [138]. Названная задача допускает в качестве частных рещений так называемые эллипсоидальные и ги-перболоидальные орбиты [47]. Эти орбиты лежат на эллипсоиде или на гиперболоиде вращения. Первые располагаются между двумя параллелями, и если являются периодическими, то после некоторого числа оборотов замыкаются, в противном случае имеем обмотку части эллипсопда. Гиперболоидальные траектории не являются спутниковыми орбитами, так как при оо материальная точка удаляется на бесконечность. С помошью связки интегралов В. Г. Демин [87] показал, что эллипсоидальные орбиты устойчивы по отношению к большой полуоси и эксцентриситету эллипсоида и гиперболоида, на которых происходит движение спутника. Устойчивость движения стационарных (или суточных) спутников рассмотрена в [89], [137]. [c.848]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...