ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Периодические траектории из "Регулярная и стохастическая динамика " Хотя мера всех периодических траекторий равна нулю, они являются всюду плотными в фазовом пространстве. Наглядно периодические траектории соответствуют рациональным числам на отрезке, мера которых равна нулю, но которые тем не менее сколь угодно хорошо приближают любое иррациональное число. Поэтому на первый взгляд может показаться, что отыскание периодических траекторий эквивалентно получению вообще всех траекторий. На самом деле это не так, поскольку периодические траектории, вообще говоря, не ограничивают апериодические тр аекторнп. Даже если в начальный момент они близки, то позже могут оказаться произвольно далеко друг от друга в фазовом пространстве. В отличие от этого при двух степенях свободы инвариантные торы ограничивают близкие траектории и поэтому являются значительно более важными для описания динамики системы. Тем не менее и в общем случае периодические траектории могут оказаться весьма полезными по двум причинам. Во-первых, они могут выявлять некоторые особенности общей структуры движения, например резонансы различного уровня с определенным числом вращения. Во-вторых, можно исследовать их устойчивость, что будет использовано в 4.4 при определении глобальной устойчивости движения. [c.168] Этот прием, служащий фактически основой теории KAM, был предложен Колмогоровым [229] (см. также [И]).— Прим. ред. [c.168] Вектор основных частот со не имеет в данном случае определенного смысла [ср. (2.6.24) и (3.1.5)], полная же система частот определяется соотношением (2.6.23).— Прим. ред. [c.168] В практических расчетах используются исходные (Q), а не диа-гонализованные (с) переменные и конечные ряды Фурье. Были придуманы и различные другие приемы для сокраш,ения вычислений и ускорения сходимости подробности можно найти в цитированных выше оригинальных статьях. [c.171] Вп и оставшиеся два условия найти путем последовательных приближений. Поскольку, однако, для обеспечения периодичности траектории достаточно задать только г и 5, то можно фиксировать три начальных условия, а частоту со и четвертое условие найти с помощью рядов. Так как главными частотами в (2.6.39) являются, конечно, исходные частоты (2.6.36), то можно ожидать, что главными Б фурье-разложении (2.6.39) будут члены с амплитудами А- г и Выделение этих членов помогает достижению быстрой сходимости решения. [c.172] С помощью этой процедуры Баунтис 135 1 построил кривые зависимости начальных координат Хо, Уо при постоянном значении отношения а -- 5 г и непрерывно изменяющейся частоте со . Величины а выбраны так, чтобы наилучшим образом аппроксимировать значение а = 1 (отношение частот малых колебаний). Полученные результаты приведены на рис. 2.15. Каждая кривая постоянного а соответствует определенному диапазону непрерывного изменения со,.. Однако зависимость решения от а разрывна, т. е. малые изменения а приводят к совершенно другим значениям со , г и 5. [c.174] Следуя подходу создателей метода, мы использовали уравнения движения в форме Лагранжа. Однако все это можно было бы проделать и в канонической форме с помощью подстановки х р, хотя для периодических траекторий такая формулировка не дает каких-либо очевидных преимуществ. Что на самом деле желательно, так это иметь дело с лагранжианами, содержащими невысокие степени координат, в противном случае метод становится слишкол громоздким из-за необходилюсти перемножать сразу много рядов Фурье, что приводит к появлению многократных сумм в рекуррентных соотношениях для коэффициентов ). [c.174] В работе [473] предложен другой метод нахождения периодических траекторий, свободный от этих недостатков.— Прим. ред. [c.174] Вернуться к основной статье