Матрица Ляпунова

Преобразование (2.38), матрица которого удовлетворяет перечисленным условиям, называется преобразованием Ляпунова, а соответствующая матрица L t)—матрицей Ляпунова. [c.106]

Две системы (2.37) и (2.39), или, что то же, (2.37 ) и (2.39 ), называют равносильными (эквивалентными) в смысле Ляпунова, если они переводятся друг в друга преобразованием Ляпунова. Матрицы коэффициентов Р и Q двух равносильных систем всегда связаны формулой (2.40), где матрица L есть матрица Ляпунова. [c.107]

Может случиться, что для данной системы (2.37) возможно подобрать такую матрицу Ляпунова L(0< что матрица Q преобразованной системы окажется постоянной, так что система (2.39) будет системой с постоянными коэффициентами. Тогда, следуя Ляпунову, первоначальную систему называют приводимой. Ясно, что если для приводимой системы известна матрица Ляпунова, то такая система немедленно интегрируется. [c.108]

Функция V определенно-положительная. Если нам удастся подобрать такие постоянные два числа С а D, при которых производная V будет определенно-отрицательной функцией в смысле Ляпунова, то невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво. Составим матрицу коэффициентов функции Т [c.226]

Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Пусть в системе (3) матрица Н является непрерывной 2тг-периодической по вещественной симметрической матрицей. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. [c.547]

Теорема (Ляпунова-Пуанкаре). Характеристическое уравнение (14) линейной гамильтоновой системы (3) с 2тт-периодической по t матрицей Н( ) возвратное. [c.548]

Алгоритм нормализации гамильтоновой системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу Н( ) вещественной и непрерывной 2тг-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система (3) приводима. Но матрица L( ) замены переменных (15), приводящей систему (3) к системе с постоянными коэффициентами, определяется неоднозначно. Опишем алгоритм построения такой матрицы L( ), чтобы соответствующее ей преобразование (15) было вещественным, каноническим, 2тг-периодическим по и приводило бы систему (3) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Л/, системы (3) чисто мнимые (Л/. = где [c.549]

Предварительные замечания. Свойства общего решения (8) уравнения (1) характеризуют поведение фазовых траекторий колебательной системы в окрестности ее положения равновесия и определяют свойство этого решения — устойчивость по отношению к малым возмущениям начальных условий, малым возмуш ениям коэффициентов и к добавлению малых внешних сил. Строгое определение устойчивости соответствует определению устойчивости по Ляпунову. Чтобы ввести это определение, запишем уравнение (1) относительно 2я-мерной матрицы-столбца фазовых переменных X [c.94]

Если Рз О, то правая часть будет положительной и, следовательно, х(0 —> при t—>o . Решение х(/)Ы) будет неустойчивым по Ляпунову. Если Рг<0, то это решение асимптотически устойчиво. В линейном приближении правые части уравнений не зависят от параметра Р2, а матрица 6 имеет чисто мнимые характеристические показатели А.] 3 = +з Р . Нулевое решение линейной системы устойчиво по Ляпунову. Следовательно, суждение об устойчивости решений нелинейной системы по уравнениям первого приближения не всегда приводит к верным выводам. [c.459]

Если хотя бы одно собственное значение матрицы О имеет положительную действительную часть, то положение равновесия х(/)=0 нелинейной системы (7.1.15) неустойчиво по Ляпунову. [c.459]

Положение равновесия х(/) = 0 линейной системы (7.2.3) с постоянной матрицей С устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда действительные части характеристических показателей неположительны, т.е. [c.463]

Допустим, что матрица Р является положительно-определенной. Тогда производная функции Ляпунова [c.92]

Теорема Пуанкаре-Ляпунова. Характеристический многочлен р ) матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы (1.4) возвратный р)Х = = ЛХ1/Л). [c.76]

Согласно теореме Ляпунова — Флоке [47], линейной заменой переменных у с 2тг-периодическими по х коэффициентами можно привести Q к постоянной матрице. Впрочем, этот результат нам в дальнейшем не понадобится. [c.219]

Оригинальное доказательство теоремы 4, данное самим Пуанкаре, основано на другой идее. Пусть f p) — Р—рЕ —характеристический многочлен матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы с п степенями свободы. Положим f p) = = (р — 1)д р). Согласно известной теореме Пуанкаре—Ляпунова, многочлен д возвратный р дО /р) = д р). Следовательно, если уравнение д р) = О имеет корень р = 1, то его кратность четна и не ниже двух. Таким образом, если уравнения Гамильтона допускают независимый интеграл F, то пара мультипликаторов становится равной единице, причем один из этих мультипликаторов равен единице из-за наличия нетривиального гамильтонова поля симметрий Vf. [c.225]

Системы уравнений, матрицы системы линейного приближения которых нильпотентны, могут быть изучены при помощи программы первого метода Ляпунова, описанной в п. 1. [c.93]

Экспоненциальную расходимость близких траекторий в среднем по времени можно количественно охарактеризовать так называемыми показателями Ляпунова, для чего в точках и( ) траектории с начальным условием и(0)=ио вводится касательный вектор w = w uo, О с начальным условием w(uo, 0)= о, так что w(uo, II характеризует проекцию на направление w расстояния в момент t между траекториями с близкими начальными точками ио и Uo+wo. Вектор w удовлетворяет линеаризированному относительно и(() уравнению (2.79), имеющему вид иг=Л[и( )]иг, где др /ди — матрица Якоби в точке и (О- Это уравнение имеет [c.129]

Используя функцию Ляпунова у[х) = показать, что нулевое решение системы х = Р 1)х, P t) = (011 5=1 устойчиво по Ляпунову, если матрица коэффициентов кососимметрична, т. е. [c.286]

Согласно теореме Флоке—Ляпунова, W — передаточная матрица с периодом 2л/0, поэтому выражение для W можно записать в виде [c.101]

Алгоритм нормалшшции гамильтоновой системы линейных уравнений с периоднческнмп коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу 11(0 вещественной и ненрерыи-пой 2л-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система [c.396]

Перейдем теперь к теореме Пуанкаре — Ляпунова. Ограничимся рассмотрением ТОЛЬКО таких преобразований, для которых удается диагонализовать матрицу Л линейного приближения. Теорема утверждает, что в этом случае вопрос об устойчивости решается на основе линейного приближения, за исключением критического случая, когда некоторые из чисел %, являются чисто мнимыми. Если все рг < то равновесие асимптотически устойчиво если хотя бы одно рг > О, то равновесие неустойчиво. [c.426]

Исключение быстрозатухающих решений. Для упрощения исследований устойчивости движения нелинейных систем нужно расщепить заданную систему нелинейных уравнений на блоки более низкого порядка. Разрабатываются конструктивные способы понижения порядка автономных и неавтономных систем нелинейных дифференциальных уравнений [34]. Эти способы основаны на принципе сведения Ляпунова. Понижение порядка систем уравнений выполняется путем исключения быстрозатухающих решений. Если среди решений имеются быстрозатухающие, то в спеьтре матрицы линеаризованной системы уравнений есть собственные числа, лежащие в левой полуплоскости далеко от мнимой оси. [c.412]

Наиболее труден для исследования случай устойчивости по Ляпунову при кратных показателях с нулевыми действительными частями. Техника установления структуры элементарных делителей связана с приведением матриц к нормальной форме Ж ордана и излагается в руководствах по линейной алгебре. Здесь ограничимся указанием на то, что неустойчивость при кратных чисто мнимых показателях iiwyj. с непростыми элементарными делителями связана с наличием у уравнения (1) частных решений вида Р (I) sin o/,/, Q(t) osoii,t, где P(t) и Q t) — полиномы, степень которых не больше, чем степень кратности показателя минус единица. Если матрицы А, В и С симметричные, то все кратные чисто мнимые характеристические показатели имеют простые элементарные делители. [c.95]

Для расширения области применения первого метода Ляпунова в том случае, когда коэффициенты линейной системы постоянны, а нелинейные члены не содержат времени, требовалось дополнить общие результаты Ляпунова исследованием особенных (критических) случаев. Ляпунову принадлежит анализ случая одного и двух нулевых корней (характеристического уравнения матрицы ) и двух чисто мнимых корней. Первые новые важные результаты были получены Г. В, Каменковым и И. Г. Малкиным Они в весьма широких предположениях провели анализ устойчивости при наличии двойного нулевого корня, затем нулевого корня любой кратности, нри наличии двух пар, затем любого числа мнимых корней (предполагается, что все остальные корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части). В тех же работах рассмотрены критические случаи для систем с периодическими коэффициентами в линейных членах и периодическими нелинейными членами (период предполагается одним и тем же для всех pgf и Zfe). Каменков и Малкин дополнили и в этом пункте результаты Ляпунова. [c.130]

Результаты Ляпунова, соответствующие случаю одной степени свободы, были обобщены М. Г. Крейном и В. А. Якубовичем на любой конечномерный случай. Можно сохранить прежнюю форму записи, считая у вектором (одностолбцовой матрицей) в пространстве любого числа измерений, р t) — матрицей соответствующего порядка. Однако, как ни существенно обобщение на многомерный случай, для анализа колебательных систем в механике сплошных сред оно недостаточно. Например, исследование динамической устойчивости jrnpyroro тела, находящегося под действием параметрического и периодически изменяющегося во времени возмущения, требует перехода от конечномерного случая к бесконечномерному. Первые результаты в этом направлении были получены В. И. Дергузовым. Выяснилось, что основные результаты, полученные в конечномерном случае, переносятся и на бесконечномерный случай Переход к бесконечномерному случаю потребовал существенного видоизменения методики интересно отметить, что новая методика позволила углубить теорию и для систем с конечным числом степеней свободы При этом полезным оказался переход от уравнения (d) к белее общему операторному уравнению вида [c.133]

Другим направлением практикума является исследование установившихся колебаний в нехшнейных системах. Здесь студенты должны привести предложенные системы с быкновенных дифференциальных уравнений к канонической форме при этом большое внимание уделяется приведению квадратной матрицы к нормальной форме Жордана и сведению матриц коэффициентов кинетической и потенциальной энергий к диагональной форме. Предлагаются работы, при выполнении которых используются метод Бубнова—Галеркина и метод Ляпунова построения периодических решений. [c.60]

Матрица К и условие целочисленности ее собственных значений впервые появились в работах Ковалевской по динамике тяжелого твердого тела [73]. Иошида предложил назвать числа р ,..., р показателями Ковалевской. Если решения (9.28) мероморфны и ряды (9.28) бесконечны, то р 0. Исследования Ковалевской были дополнены и усилены Ляпуновым [118], показавшим, что решения уравнений Эйлера—Пуассона ветвятся во всех случая, исключая интегрируемые задачи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. [c.122]

При к = 1 получаем уравнения (8.2). Как уже отмечалось в tr. 1 8, в этом случае линейной заменой координат у, 2тг-периоди-чески зависящей о г. т, О можно привести к постоянной матрице (теорема Ляпунова — Флокс). Однако при А,- > 1 такое приведение не всегда возможно (обсуждение этих воггросов можно найти, например, в [10]). Будем предполагать, что матрица U постоянна именно этот случай встретится в приложениях (см. н. 1 10). Линейные уравнения [c.233]

Рассмотрим линейную стационарную систему х = PqX, где Ро — гурвицева матрица. Для этой системы существует функция Ляпунова v = [c.392]

При исследовании случая одного нулевого корня Ляпунов предполагал правые части уравнений (1.1) возмущенного движения голоморфными функциями. В. С. Ведров (1937) обобщил результаты Ляпунова для случая, когда предполагается лишь дифференцируемость функций Xs в окрестности точки Ха = 0. Н. Н. Красовский (1955) показал, что в критическом случае одного нулевого корня об устойчивости можно судить также по поведению собственных чисел Я х ,. . ., х ) матрицы Якоби [c.58]

Из рис. 4-4, 4-5-1 - 4-5-3 можно заключить, что условия теорем 1, 2 в общем случае не являются достаточными для интегрируемости (исключая случай Ляпунова, удовлетворяющий этим условиям). Однако, при некоторых дополнительных ораничениях возможны новые случаи интегрируемости, в которых интеграл будет иметь более высокую степень, чем квадратичный. Но это укозывоют эксперименты с шаровой матрицей А (рис 4-8-1 - [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...