Классы операций симметрии

Классы операций симметрии 123, 127 Классическая трактовка инфракрасных и комбинационных спектров 259 (глава [c.602]

Точечную группу (класс) симметрии кристаллической решетки можно определить как совокупность операций симметрии, т. е. симметричных преобразований, осуществленных относительно какой-нибудь точки решетки, в результате которых решетка совмещается сама с собой. К симметричным преобразованиям относится также зеркальное отражение относительно плоскости, проходящей через выбранную точку решетки. Эта плоскость называется плоскостью зеркального отражения. Операция симметрии, называемая инверсией, состоит из поворота на угол я и последующего отражения в плоскости, перпендикулярной к оси поворота. [c.53]

ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ СИММЕТРИИ кристаллов (класс кристаллов)—совокупность операций симметрии, совмещающих кристалл с самим собой, при к-рых, по крайней мере, одна точка кристалла остаётся неподвижной. Т. г. с. описывают внеш. форму (огранку) кристаллов. Существует 32 Т. г. с. Подробнее см. Симметрия кристаллов. [c.150]

Точечную группу (класс) симметрии кристаллической решетки можно определить как совокупность операций симметрии, т. е. симметричных преобразований, осуществленных [c.27]

Перейдем теперь к оси Т (для обозначений ср. с рис. 24 и 41). Л-вектор вдоль оси Т имеет в качестве группы элементы Е и а. Они являются двумя классами и двумя одномерными представлениями. Вдоль оси Т, следовательно, имеются только простые зоны. В точке К (конечная точка оси Т) к имеет группу из операций симметрии Е, С, (2) и ст (3). Четыре из этих операций переводят к в другой угол, который удален на К . Это дает три класса и столько же неприводимых представлений (два — размер- [c.121]

Рассмотрим более подробно в качестве примера кристаллы типа СизО, которые относятся к наиболее симметричному классу кубической сингонии. Характеры неприводимых представлений группы О/, указаны в табл. IV (в обозначениях [69], см. приложение I). Во втором столбце этой таблицы указано, как преобразуются соответствующие волновые функции под действием операций симметрии из группы Так, например, из таблицы следует, что три волновые функции, соответствующие трижды вырожденному (при й = 0) [c.203]

Совокупность кристаллографически одинаковых граней (т. е. совмещающихся друг с другом при операциях симметрии данной группы) образует т. н. простую форму К. Всего существует 47 простых форм К., но в каждом классе могут реализоваться лишь нек-рые из них. К. может быть огранён гранями одной простой формы (рис. 2, о), но чаще комбинацией этих форм (рис. 2, б, в). [c.328]

Принцип перестановочной двойственности является представителем класса дискретных преобразований (см. Симметрия), оставляющих инвариантными М. у. Такого же сорта преобразованиями являются, в частности, операция обращения времени (7) I — —I, [c.37]

Операция 24. Шлифование отверстия. Отверстия у фрез класса точности С обрабатываются по 2-му, а у фрез класса точности А и В — по 1-му классам точности. Шероховатости по ГОСТ 2789—73 для фрез точности С — Ra 1,25—0,63, для фрез точности А и В — Ra 0,63—0,32. Конусность и эллипсность не более допуска на отверстие для т = 1,0 3,75 составляет 0,04 мм m = 4,0 — 8,0 Ч- 0,05 мм т = 9,0 12,0 — 0,06 мм. Допускаемое отклонение на диаметр отверстия должно быть выдержано на половине длины посадочных поясков отверстия. В зоне шпоночного паза допускается разбивание отверстия на центральном угле, не превышающем 30° от симметрии шпоночного паза в обе стороны. Задиры, забоины, сколы на поверхности фрезы не допускаются. [c.86]

Точечные группы. и Z).,,, — Если молекула обладает осью симметрии порядка р Ср или S , где р четное, то колебание или собственная функция может быть также антисимметричной по отношению к этой оси (см. стр. 96). Поэтому получается в два раза больше невырожденных типов симметрии, чем при нечетных р. Для точечной группы Ср , р плоскостей нужно разделить на два класса, р/2 плоскостей, обозначаемых символом о , и остальные р/2 плоскостей, обозначаемых символом (последние плоскости по отношению к первым являются диагональными плоскостями), гак как эти две совокупности плоскостей отличаются различными свойствами преобразования (имеют различные характеры). Сразу же видно (ср., например, фиг. , ж и 1,к), что отражение молекулы в плоскости можно заменить отражением в плоскости с последующим поворотом на угол 2тг/р вокруг оси Ср. Только ось симметрии Ср и р 2 плоскостей являются независимыми элементами симметрии, и четыре невырожденных типа симметрии соответствуют четырем комбинациям - -f-, -j---, ----------, отличаясь различным поведением по отношению к двум операциям Ср и Поведение по отношению к отражению в плоскости о , которое не всегда совпадает с поведением по отношению к отражению в плоскости о , получается, перемножением характеров для операций Ср и о . [c.127]

Если применить к этому набору собственных функций все операции поворотной симметрии (представители смежных классов группы / ), то мы получим полное приводимое представление для этой звезды. Другими словами, рассмотрим пространство, образуемое набором функций, выбранных из следующим образом [c.153]

В заключение этого пункта укажем, что макроскопические свойства симметрии ферромагнитных кристаллов нужно классифицировать в соответствии с 90 магнитными классами и, следовательно, разные особенности магнитных (материальных) тензоров (т. е. материальных тензорных коэффициентов из, например, разложения свободной энергии (6.4.47)), определяются их поведением относительно некоторых групп преобразований из Ж . Если операция 5 не влияет на свойства материала, то он принадлежит к одному из классических тридцати двух классов. [c.363]

Возможные сочетания симметрич. операций кристаллич. многогранников образуют 32 точечные группы, или 32 класса С. к., к-рые группируются в соответствии с наличием в них характерных элементов симметрии в семь сингоний (см. табл.) и три ка- [c.321]

Характеры одинаковы для всех операций одного и того класса, т.е. они являются функциями классов, а не отдельных ог раций симметрии. Действительно, если 5-САС , то - [c.66]

В группу С1 входят кристаллы, у которых среднее по времени значение плотности магнитного момента равно нулю (диамагнетики и парамагнетики). Остальные 90 классов имеют магнитную структуру. Среди них 32 класса (группа С) не содержат операции R — это полярные (одноцветные) классы. В качестве примера тип структур для этих классов показан на рис. 2.1,а и б. Оставшиеся 58 классов (группа G ) содержат операцию R в сочетании с другими операциями симметрии. [c.37]

Применяя операции симметрии к кристаллам, относящиеся к различным кристаллографическим классам , можно получить вид матрицы Xijk 2. Вид этой матрицы для всех кристаллографических классов, не обладающих центром инверсии, приведен, например, в [8]. Ниже приводится вид этой матрицы (в сокращенной записи) для двуосных кристаллов моноклинной и ром 1ческой сингоний, к которым относятся по гги все молекулярные кристаллы. Класс 1 (триклинный) не содержит элементов симметрии, и матрица имеет вид (19). Моноклинные классы 2 и w содержат одну ось второго порядка или одну зеркальную плоскость соответственно. Принято считать, что в этих классах ось симметрии параллельна, а плоскость симметрии перпендикулярна оси у. Класс 222 содержит три взаимно перпендикулярные оси второго порядка, класс т г2-ось второго порядка (ось z) и две проходящие через нее плоскости симметрии. [c.14]

Характерное время эксперимента сравнивается с временем туннелирования молекулы между различными равновесными конфигурациями [112]. Например, молекула PF5 имеет 20 равновесных конфигураций. Туннелирование молекулы между этими конфигурациями происходит таким образом, что в эксперименте ЯМР все ядра фтора выглядят тождественными (молекула туннелирует), а в электроннографическом и оптическом экспериментах аксиальные атомы F отличаются от экваториальных (молекула не туннелирует, и ее группа МС изоморфна точечной группе Озь). Именно группа МС и составляет основной момент нового подхода к теории симметрии молекул, изложенного в гл. 9. Автор подробно рассматривает построение группы МС для различных классов молекул, исследует свойства преобразований молекулярных переменных и различных волновых функций под действием операций симметрии группы МС, выводит правила отбора для возмущений и переходов, вычисляет ядериые спиновые статистические веса и т. д. [c.6]

ПРОСТЫЕ ФОРМЫ — многогранники с одинаковыми и симметрично расиоложенными гранями. Под одинаковыми разумеются как совместимо, так и зеркально равные грани, а нод симметричным — такое расположение, при к-ром каждая грань может совмещаться с любой другой одиой или неск. операциями симметрии той точечной группы силшетрии, к к-рой принадлежит данная П. ф. (см. также Классы кристаллов). Кристаллы могут иметь только те П. ф., к-рыо удовлетворяют Гаюи закону. В соответствии с этим П. ф. могут иметь только следующие числа граней [c.227]

По назв. принято различат ) всего 47 П. ф. (рис. на стр. 228). Назв. даются но ряду нризиаков числу граней, их очертанию и др. Различают общие и частные П. ф. В общей П, ф. каждая грань совмещается с любой flpyroit только одной операцией симметрии. В частной П. ф. каждая грань совмещается с любой другой неск. операциями симметрии. Одиа и та я е П. ф. может быть общей в одной группе симметрии (классе) и частной в другой. [c.227]

Суммируя результаты, полученные в предыдуш,их параграфах, отметим еш,е раз, что максимальное число независимых компонент тензора нелинейной восприимчивости второго порядка в условиях, когда равно 18, а в центросимметричных кристаллах нелинейная поляризация второго порядка тождественно равна нулю. Из 32 различных кристаллографических классов 21 является нецентросимметричным, но среди них лишь один вообще не имеет симметрии это класс 1 в триклинной системе. Для всех других классов существует одна или более операций симметрии, которые преобразуют кристалл сам в себя. Очевидно, что если для данного кристаллографического класса задана матрица восприимчивости и мы применяем к ней операцию симметрии, которая физически никак не изменяет кристалл, то матрица при этом не изменится. В результате некоторые компоненты матрицы должны быть равны нулю, а другие должны быть равны или численно равны друг другу, но противололожны по знаку. Применяя разрешенные операции симметрии к каждому кристаллографическому классу [89], можно найти матрицу заданной формы для каждого из 21 нецентросимметричного кристаллографического класса. Альфа-йодная кислота, например. [c.55]

Как влияет симметрия кристаллов на вид тензоров коэффициентов жесткости и податливости, пьезоэлектрических модулей и диэлектрической проницаемости видно из рис. 10.4, где для отдельных классов кристаллов приведены схемы упругопьезодиэлектрических матриц. Что касается пьезоэлектрических свойств, то существует только 16 независимых схем, если принять во внимание, что операции симметрии классов 4 и 6, 4шш и бтт, 422 и 622, 23 и 43 ш имеют одинаковое влияние на пьезоэлектрические схемы. [c.447]

В работе В. В. Лохина (1963) было отмечено удобство классификации анизотропных сред по их точечным группам симметрии. Показано, что любой тензор, инвариантный относительно данной точечной группы, можно представить в виде линейной комбинации тензоров, составленных при помощи тензорных операций из некоторого минимального набора тензоров. Л. И. Седов и В. В. Лохин (1963) выявили такие системы тензоров для 7 типов текстур и всех 32 классов кристаллов. Установлен общий вид формул для тензоров произвольного ранга, являющихся нелинейными тензорными функциями скалярных и тензорных функций произвольного ранга (см. также В. В. Лохин и Л. И. Седов, 1963). Показано, что для построения тензорных функций необходимо и достаточно знание полной системы функционально независимых совместных инвариантов рассматриваемых тензоров и тензорных аргументов. Выявлена структура тензорных функций, описывающих состояние текстур и некоторых классов кристаллов (В. В. Лохин, 1963). [c.74]

Каждая равновесная конфиг фацпя молекулы л[0-жет быть отнесена по своей симметрии к определенной точечной группе, т. е. к такой группе симметрии, все операции к-рой — повороты и отражения, переводящие равновесную конфигурацию саму в себя, — оставляют одну точку неподвижной в пространстве принадлежность к той или ипой группе соответствует наличию у молекулы тех или иных элементов симметрии — осей, плоскостей и центра спмметрии. При этом обычно, когда говорят о равновесной конфигурации молекулы, подразумевают ео равновесную конфигурацию в основном электронном состоянии. Точечные группы, к к-рым могут относиться равновесные конфигурации молекул, ириведены в табл. это — все 32 кристаллографич. точечные группы (см. Классы кристаллов), а также группы с осями симметрии порядка п= 5, 7, 8,... и и = оо и нкосаэдрич. группы. Отличный от нуля постоянный дипольный момент имеют только молекулы симметрии и эти же молекулы обладают чисто вращательными спектрами. Линейные молекулы относятся к группам и [c.292]

В табл. 15 приведены типы симметрии и характеры рассматриваемых точечных групп. В этой таблице цифры 2 и 3, стоящие перед символами С , и С.2, дают число операций определенного класса (см. выше). В предыдущих разделах мы видели, что поступательные движения в направлении осей X я у н повороты вокруг этих же осей представляют собой вырожденные ненастоящие колебания (последний столбец каждой части таблщы). [c.124]

Следовательно, для волновых векторов класса 1П операция обращения времени приводит к удвоению кратности существенного вырождения от значения 1т-з) до значения 21т-з). Матрицы копредставлений (97.7) и (97.8) отражают полную пространственно-временную симметрию и их структура важна в последующем рассмотрении при получении правил отбора для многофононных процессов. Резюмируя, видим, что процедура получения индуцированных представлений из группы % к) не зависит от оператора обращения времени К. Группа к) — это группа чисто унитарных операторов, и сначала мы переходим от представлений группы (А) к представлениям [c.270]

Операторы поворотов ф, входящие в определение элементов смежных классов, одинаковы для обеих групп, так как факторгруппы /г в обоих случаях изоморфны Он. В табл. 2 приведены операции поворотной симметрии группы Он. [c.102]

В п. 3.2.3 мы установили, что в объеме изотропных сред, а также кристаллов, принадлежащих к классам симметрии, содержащим операцию инверсии (т.е. в объеме центросимметричных кристаллов), квадратичные по полю нелинейно-оптические процессы запрещены в электродипольном приближении в силу правил отбора по симметрии. Другими словами, в объеме таких сред в электродипольном приближении восприимчивость [c.215]

Можно показать, что существует только 32 группы совмещающих операций, которые подчиняются законам симметрии кристаллов. Каждой из этих групп соответствует определенный кристаллографический клэсс. Упругий потенциал для каждого кристаллографического класса может быть найден на основании результатов 105 однако каждая из форм этой функции соответствует не только одному кристаллографическому класдг. Мы должны дать краткое описание характера симметрии всех классов. С этой целью мы сейчас изложим несколько определений и геометрических теорем, относящихся к осям симметрии. [c.167]

Классификация кристаллов. Характер симметрии каждого кристаллографического класса теперь мбжет быть описан путем ссылки иЯ те группы совмещающих операций, которые соответствуют каяИому из этих классов в отдельности. Первая группа состоит только из тождественной операции соответствующая фигура ие имеет симметрии, она называется асимметричной. Тождественная операция является одной иэ операций каждой группы. Вторая группа содержит кроме тождественной операции еще только Инверсию симметрию соответствующей фигуры мы назовем центральной. Третья группа содержит кроме тождественной операции еще только отражение в плоскости симметрию соответствующей фигуры мы назовем экваториальной. Кроме эТих трех групп существуют еще 24 группы, имеющие главную ось, это значит, что всякая ось симметрии, отлНчная от главной оси, перпендикулярна к главной оси, а всякая плоскость симметриа либо проходит через главную ось, либо перпендикулярна к ией. Остальные пять групп характеризуются наличием четырех осей третьего порядка, которые, подобно диагоналям куба, одинаково наклонены друг к другу. i [c.168]

Такая операция может быть проведена бесчисленно различными способами, и любой из них представит нам независимый параметр, время , для построения лагранжева формализма для системы материальных точек. С точки зрения выполнения релятивистской инвариантности и причинности все эти времена равноправны. Чтобы сузить класс времен , удобных для физики, уместно вспомнить, что лагранжев формализм служит основой для получения по теореме Нётер сохраняющихся величин, и что согласно замечанию 2 в 1.5.2 эти величины приобретают особенно простую—аддитивную — форму для тех преобразований симметрии, которые не затрагивают независимой переменной. Чтобы не упустить эту возможную выгоду, надо, очевидно, наложить на выбор семейства гиперповерхностей а то ограничение, чтобы — хотя бы для некоторых преобразований симметрии 4-пространства (т. е. — элементов неоднородной группы Лоренца)—соответствующие преобразования координат Xai X) частиц не затрагивали бы независимую переменную X. [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...