Пространство проективное

ГЕОМЕТРИЯ ПРОЕКТИВНАЯ. Геометрическая наука, изучающая свойства фигур, не изменяющиеся при проективных преобразованиях, Проективная геометрия рассматривает не метрические свойства геометрических образов, а свойства их взаимного расположения. Базируется она на законах центрального проектирования на наклонную плоскость. Пространство проективной геометрии отличается от эвклидова некоторыми дополнительными свойствами. В последнее время методы проективной геометрии нашли свое отражение в элементарной геометрии, начертательной геометрии и др. [c.25]

Контактная геометрия составляет математический базис геометрической оптики в таком же смысле, в каком симплектическая геометрия является базисом классической механики. Оптико-механическая аналогия Гамильтона позволяет интерпретировать проблемы и результаты симплектической геометрии на языке контактной геометрии и наоборот. Тем не менее, прямой подход в терминах контактной геометрии во многих случаях предпочтительнее, по крайней мере с точки зрения геометрической интуиции он демонстрирует геометрическое содержание формул симплектической теории. Связь между симплектической и контактной геометриями подобна связи между геометрией линейных пространств и проективной геометрией для того чтобы получить контактный аналог симплектического утверждения, необходимо заменить функции гиперповерхностями, аффинные пространства проективными и т. д. [c.59]

Проективная геометрия указывает, что такое взаимное положение плоскостей существует, что любые два треугольника, лежащие в разных плоскостях, можно расположить в пространстве так, что точки одного треугольника будут параллельными и даже ортогональными проекциями соответствующих точек другого треугольника, для чего может потребоваться предварительное преобразование одного из этих треугольников методом подобия (подобием увеличения или уменьшения) . Другими словами, два любых треугольника можно привести в перспективно-аффинное, родственное соответствие. Это положение устанавливает, что плоскость, в которой лежит горизонтальная проекция искомого треугольника, и плоскость, в которой лежит треугольник, подобный любому наперед заданному треугольнику, должны иметь одно, единственно возможное, вполне определенное взаимное положение, т. е. эта задача имеет однозначное, вполне определенное решение Теперь надо найти и научно обосновать метод решения этой задачи. В данной главе излагается метод, пользуясь которым, можно решить не только данную задачу, но и любую другую, аналогичную данной, в которой фигурируют любые многоугольники и фигуры с криволинейным очертанием. Решения задач, объединенных в I главе, являются основанием построений, излагаемых в последующих главах. [c.5]

Дополненные несобственными элементами евклидовы плоскость и пространство называют соответственно проективной плоскостью и проективным пространством. [c.17]

Пространство, включающее несобственные геометрические элементы (точку, прямую, плоскость), называется проективным. [c.26]

Проективная геометрия изучает инвариантные свойства и преобразование проективного пространства. Возникновение проективной геометрии как науки относят к 1822 году, когда вышел труд известного математика, француза по происхождению, Жана Виктора Понселе (1788 - 1867), написанный им в городе Саратове Трактат о проективных свойствах фигур, труд полезный для лиц, занимающихся приложениями начертательной геометрии . [c.27]

Какое пространство и какую геометрию называют проективными [c.36]

Более подробно свойства этого пространства изучают в курсах проективной геометрии. [c.24]

Некоторые сведения из геометрии. Представим себе, как это обычно делается в проективной геометрии, два совмещенных пространства /S и iS" и, относя их оба к одной и той же системе однородных декартовых координат (или даже, более общим образом, к проективным координатам), обозначим через % (А = 0, 1, 2, 3) и хп h —О, 1, 2, 3) координаты двух любых точек Р и Р, принадлежащих соответственно к -S и [c.181]

Преобразование (95) может быть истолковано как ортогональное аффинное преобразование координат в четырехмерном пространстве (так называемом проективном пространстве), определяемое оператором или тензором (см. гл. 8) с соответствующей матрицей 4-го порядка (см. гл. 4). [c.47]

Наибольшее значение в развитии неевклидовой механики имеет докторская диссертация А. П. Котельникова Проективная теория векторов (Казань, 1899). Котельников дал определение и метод сложения векторов, пригодных для всех неевклидовых пространств, определил эквивалентность систем векторов, показал, что всякая система векторов эквивалентна канонической системе , состоящей из двух векторов, направленных по двум взаимно полярным прямым, и нашел необходимое и достаточное условие эквивалентности двух систем векторов. Последнее условие состоит в равенстве определяемых системами векторов величин особого рода — винтов ( моторов , динам ), тесно связанных с комплексными числами различного вида. Котельников глубоко разработал алгебру винтов, аналогичную векторной алгебре, и ее применения к геометрии, в особенности линейчатой геометрии, и механике (теория винтовых интегралов). Уже в советское время А. П. Котельников дал изящное изложение своих идей в статье Теория векторов и комплексные числа (опубликована посмертно в 1950 г.). [c.255]

Соотношение (2.15), как и (2.6), описывает преобразование волновых аберраций третьего порядка при распространении сферической волны, но в отличие от (2.6) дает связь между аберрациями в оптически сопряженных плоскостях. В п. 2.1 при выводе формулы (2.6) предполагалось, что волна распространяется в. свободном пространстве, тогда как выражение (2.15) справедливо только при наличии оптического элемента между рассматриваемыми плоскостями, который и обеспечивает их оптическое сопряжение. Если в соотношении (2.6) при переходе в другую плоскость зрачковые координаты заменяются линейными комбинациями новых зрачковых координат и координат центра кривизны сферической волны, в результате чего происходит перераспределение аберраций по типам, то в (2.15) все сводится к изменению масштаба координат зрачка и предмета, а перераспределений аберраций по типам не происходит. Конечно, именно к такому результату для сопряженных плоскостей должно было привести проективное преобразование, которому подчиняется замена переменных в аберрациях третьего порядка. [c.56]

Проективные преобразования неевклидовых пространств, переводящие в себя их абсолюты, являются движениями этих пространств. Они сохраняют расстояния между точками и углы между прямыми проективные преобразования евклидова пространства, переводящие в себя его абсолют,— это. преобразования подобия, они сохраняют углы между прямыми, расстояния же между точками при этом умножаются на один и тот же множитель. [c.344]

В рамках изложенного подхода весьма важной является задача определения значений коэффициентов а, bi с учетом указанных ограничений, относящаяся к классу задач идентификации объектов на различных проективных изображениях. В этом случае для определения значений этих коэффициентов могут быть использованы, например, методы, основанные на линейных отображениях методы идентификации коэффициентов а , bi по набору характерных точек или элементов изображений методы непосредственного поиска значений коэффициентов ttj, bi путем последовательного перебора наборов этих коэффициентов в соответствующем пространстве и т. д. Все эти методы отличаются различной точностью и достоверностью идентификации и трудоемкостью вычислительного процесса. [c.177]

Однородные представления развивались в качестве инструмента для решения теорем проективной геометрии. Задача в п-мерном пространстве имеет соответствующий аналог в (п + 1)-мерном пространстве, но часто в (п + 1)-мерном пространстве результаты выглядят проще, чем при решении той же задачи в п-мерном пространстве. Выполненные доказательства в (п + 1)-мерном пространстве могут быть переведены в /г-мерное пространство путем проектирования условий п + 1)-мерной задачи в п-мерное пространство. Например, особые точки в бесконечности в /г-мерном пространстве отнюдь не являются особыми точками в (п + 1)-мерном пространстве. [c.441]

Для того чтобы установить взаимно однозначное точечное соответствие между двумя плоскостями при центральном проектировании, пространство и плоскость эвклидовой геометрии дополняют бесконечно удаленными элемента-ы и, что связано с новыми понятиями — проективным пространством и проективной плоскостью. [c.272]

Проективные плоскость и пространство [c.272]

Это соотношение показывает, что дискриминант отличен от нуля в каждой точке, не лежащей ни на одной из абсолютных поверхностей, если только начальные условия gij выбраны так, что Ф 0. Если пространство проективное и выражено в проективных координатах, то обращаются в нуль все Ду и вместо с ними п / таким образом, ф представляет собой постоянную величину и соотношение (GXXXIVb) совпадает с соотношением (XXX). [c.96]

С позиции оптимизации процесса формирования целостности видения было пересмотрено содержание первых занятий Так Kaj< у студентов тех1нического вуза отсутствуют навыки рисования с натуры, то было принято решение осуществлять первоначальное обучение студентов на графических моделях, выполняемых по воображению. При отсутствии в них чувственного компонента в восприятии студенту приходится самостоятельно воссоздавать изображение на бумаге, используя для этого метод от общего к частному . Геометрия как инструмент построения формы выступает здесь в наиболее явной форме. Уже на первом занятии студенту дается понимание единого проективного пространства изображения, указываются типичные ошибки в построении, анализируются работы, выполненные ранее. Обращается внимание на правильность разметки согласующихся элементов формы, на те условия, которые определяют целостность изображения. Вводится понятие (с примерами конкретной реализации) базовой формы, обобщающей основные части изображения и составляющей основу ее целостности. Уже [c.91]

Прямоугольная изометрия используется при изображении простых объектов, в сложных случаях формообразования можно воспользоваться наброском предполагаемой объемнопространственной структуры объекта, который определяет направление координатных векторов проективного пространства. Необходимо определить, по возможности более точно, расположение системы координат, от которого зависит правильность компоновки базового объема. Построением последнего заканчивается исполнительная стадия действия. [c.107]

Вывод. Допо.тение евк.шдова пространства до проективного приводит к тому, что соответствие. ие.жду п.юскостя.ми П и П (черт. 6) при цснтра.1ыю. 1 проецировании становится в la- [c.8]

Отмеченные ранее в пп. 5, 6, 7 (см. 1, с. 14) свойства евклидова пространства для проективного пространства могут быть сформулированы и[1аче [c.17]

Преобразование, определяемое уравнениями (3.5), может быть истолковано как ортогональное ас инное преобразование координат в четырехмерном пространстве, называемом проективным пространством. [c.40]

Л р и м е р ы. 1) Комплексное проективное пространство СР" по определению состоит из всех комплексных одномерных подпространств в С Ч 1. Касательное пространство Т СР отождествляется с эрмитово-ортогональной гиперплоскостью к прямой х относительно [c.521]

Приведём теперь нек-рые явные ф-лы. Пусть Г=С/ — грёхмерное комплексное проективное пространство. Введём в нём однородные координаты 2 = (zo, 2,, Zj, з), т. е, j (0. О, О, 0) координаты z = (zo, z,, Zj, Zj) и Xz = (Xso, >.Z , az2 отвечают одной и юй же точке С/ =7. Прямые / в Т"можно задавать парой их точек (г, и ), их множество СМ зависит от 4 комплексных параметров. На W возникает комплексная конформная структура из условия, что прямые, пересекающие прямую /, находятся от неё на нулевом рассгоянии [образуют комплексный световой конус с вершиной в /]. [c.53]

Легко проследить действие групп на все определённые выше геом, объекты. На многообразие прямых (СЛ/ переносится действие группы SL(4. (П) проективных преобразований пространства 7 =С/ . Очевидно, что они являются автоморфизмами конформной структуры, определённой на (ГМ. Подгруппа SU2) проективных преобразований, сохраняюн.щх квадрику Го, индуцирует группу конформных преобразований пространства Минковского. Подгруппа в 5(/(2 2), сохраняющая прямую Iпорождает Пуанкаре группу движений пространства Минковского М. Если рассмотреть в. 9642 2) подгруппу, сохраняющую не только прямую, но и ещё одну прямую /о, не пересекающую и лежащую на Г(, (напр., Z(,= —z , Г[= -2з), ТО на М получим классич. представление Лоренца группы. [c.53]

Параметром порядка в нематических жидких кристаллах (или нематиках) служит директор d, указывающий преимущественное направление длинных осей вытянутых молекул нематика при нек-рой Г< (в отличие от вектора , для директора направления da—d физически неразличимы). [Название нематик предложено Ш. Фриделем ( h. Friedel).] Областью вырождения D (областью значений директора d) в трёхмерном нематике является вещественное проективное пространство RP (получаемое из сферы отождествлением диаметрально противоположных. пяточек). Соответственно допустимы стабильные точечные 137 [c.137]

Единственный топологич. инвариант h замкнутых не-ориентируемых поверхностей определяется исходя из следующей их явной конструкции нужно вырезать в поверхности сферы h отверстий и заклеить каждое из них листом Мёбиуса (важно, что его границей является окружность, рис. 2). При /г=1 получается проективная плоскость, при /1 = 2—бутылка Клейна (рис. 3), Эйлерова характеристика такой паверхности, определяемая по аналогии с (I), равна 2—h. Такие поверхности в трёхмерном пространстве обязательно имеют самопересечения. [c.144]

Примерами многообразий служат поверхности в многомерных евклидовых пространствах, локально заданные неособыми системами гладких ур-ний. Хотя, в принципе, любое (с нек-рыми топологнч. ограничениями, напр., компактное) многообразие может быть задано как поверхность в каком-то многомерном пространстве, ряд многообразий не задаётся в виде поверхностей. Напр., -мерное проективное пространство RP" определяется как совокупность ненулевых векторов (и° и . .. "), рассматриваемых с точностью до пропорциональности. Карты Ug, [c.145]

Проф. Н. Ф. Четверухин посвятил большую часть своих трудов проективной и начертательной геометрии. Его докторская диссертация на тему Теория условных изображений проложила путь к новому разделу в начертательной геометрии, изучаюш,ему числовые характеристики изображений. Многие работы проф. Н. Ф. Четверухина посвящены аксонометрии и геометрии. многомерного пространства. [c.281]

Ф. Линдеман в работе О бесконечно малых движениях и системах сил при общем проективном мероопределении попытался построить общую теорию скользящих векторов в пространствах Евклида, Лобачевского и Римана, которые можно рассматривать как проективное пространство с тремя различными мероопределениями. [c.343]

Однородная система координат является математическим аппаратом, помогающим описывать проективные преобразования. Точка X, Y, Z) в трехмерном пространстве представляется вектором из четырех чисел [ab d. Компоненты этого вектора интерпретируются как координаты в четырехмерном пространстве. Для перехода от координат (X, Y, Z) точки в обычном трехмерном пространстве к однородным координатам достаточно взять некоторое отличное от нуля число W и сформировать вектор [c.281]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...