Инвариант тензора линейный (первый)

Аналогично выражениям (1.42) —(1.44) можно записать инварианты тензора деформации первый инвариант —линейный [c.44]

Инварианты тензора четного ранга, как уже отмечалось, можно также получить путем Операции свертывания. Так, свертывая тензор (йи), получим линейный инвариант Ji (а ) = совпадающий g первым инвариантом ац) = ац. [c.400]

Здесь —первый инвариант тензора деформации, а — коэффициент температуропроводности (а = й/(ср), к и с — коэффициенты теплопроводности и теплоемкости) т] = уТо/й, Тд — температура тела в естественном (ненапряженном) состоянии, у = (ЗХ 2у)а X, V — постоянные Ламе, — коэффициент линейного теплового расширения, Д —оператор Лапласа. [c.470]

Более общий метод учета ( )изической нелинейности использован в работах [8, 56, 91, 98]. Физические зависимости имеют ( )Орму линейного закона Гука, где обобщенные модули упругости С и К являются ( )ункциями первого и второго инвариантов тензора малых де(()ормаций [c.22]

Получив зависимость модуля залечивания от величины напряжения сжатия, т. е. от первого инварианта тензора напряжения, далее можно построить эту зависимость в логарифмических координатах, и в соответствии с аппроксимацией (3.36) можно получить линейную зависимость [c.114]

В условиях сложного напряженного состояния нормальные и касательные напряжения в данной точке характеризуются линейным (о) и квадратичным (Г) инвариантами тензора напряжений [4]. Первый из них, среднее давление, находится из [c.138]

В может зависеть только от инвариантов тензоров 5 и П, а из линейности (18 ) сразу следует, что В может зависеть только от первых (линейных) инвариантов [c.629]

В предшествующем параграфе напряжения были поставлены в зависимость только от скоростей деформации частиц, причём эта зависимость была принята в простейшей своей форме, т. е. в виде линейного соотношения (11.20) между первыми инвариантами тензоров напряжений и скоростей деформаций и линейного соотношения (11.19) между самими девиаторами напряжений и скоростей деформации. Будем жидкость называть вязкой, если для неё будут приняты соотношения (11.19) и (11.20). [c.66]

Примем, что первый инвариант тензора напряжений линейно зависит от первых инвариантов тензоров деформаций и скоростей деформаций, т. е. [c.68]

Первый инвариант тензора напряжений линейный [c.30]

Сумма диагональных элементов тензора Р является величиной, не зависящей от выбора координатной системы одна треть этого скаляра называется линейным (первым) инвариантом тензора или следом тензора и обозначается /i(P). Итак, [c.17]

Итак, приращение объема равно интегралу от поля температуры по области В, умноженному на первый инвариант тензора теплового линейного расширения ajj. Для изотропного тела [c.233]

Все три корня кубического уравнения (1.58) [196] действительные. Поскольку главные деформации 8 , 83, 83 не зависят от выбора системы координат, коэффициенты кубического уравнения (1.58) также не зависят от выбора системы координат. Они называются соответственно первым (линейным), вторым (квадратичным) и третьим (кубическим) инвариантами тензора деформаций [c.36]

Таким образом, объемная деформация в точности совпадает с первым, линейным инвариантом тензора деформации (2.32а). Он так же, как и остальные два инварианта, построен аналогично соответственным инвариантам тензора напряжений поэтому все, что в 5 сказано относительно инвариантов тензора напряжений, может быть перенесено и на инварианты тензора деформации и формально сведется лишь к замене обозначений [c.60]

Пластические составляющие деформации вызывают изменение формы тела при постоянном объеме, и поэтому первый инвариант тензора пластической деформации равен нулю. Отсюда следует важный вывод о пропорциональности между вторыми инвариантами девиаторов составляющих напряжения и составляющих соответствующих деформаций. Приняв, что в области значений деформации АВ применим закон суперпозиции, поскольку направления напряжений совпадают с направлениями деформаций, и справедливы линейные соотношения (400) и (404), можно получить следую- [c.477]

В статьях [132], [133 ] рассматривается двухосное напряженное состояние с симметричными циклами изменения главных напряжений в одной фазе. Выдвигается гипотеза о том, что в предельном состоянии квадрат первого инварианта тензора напряжений /1 (см. том I, главу I) является линейной функцией второго инварианта Jt [c.718]

Производные инвариантов тензора. Первый инвариант Л (О)—линейная функция О. По его определению (1.7.4) имеем [c.449]

Инварианты симметричного тензора второго ранга. Уравнение (1.82) инвариантно относительно выбора системы координат. Следовательно, его коэффициенты /i, /3, /3 составленные из смешанных компонент тензора, инвариантны. Они называются инвариантами симметричного тензора второго ранга. Первый, или линейный инвариант равен сумме элементов матрицы (Т /), стоящих на ее главной диагонали, [c.44]

Общие соотношения между различными характеристиками упругой деформативности одного и того же орто-тропного материала могут быть получены также из формулы (2.9), в сущности тоже основанной на условии существования упругого потенциала. Формула 2.9 является определением тензора четвертого ранга, для которого можно получить инвариантные (не изменяющиеся при повороте осей координат) соотношения путем так называемого свертывания. Если приравнять друг другу любые два индекса тензора Сц 1т, а затем просуммировать все компоненты по этому индексу от единицы до трех, то получится тензор второго ранга. Повторив операцию еще раз, получим инвариант. Производя операцию свертывания по разным индексам, можно получить разные инварианты, которые называются линейными, так как в них входят компоненты в первой степени. Путем двукратного свертывания можно из тензора получить два линейных инварианта /1 и /4. В сокращенном обозначении [c.49]

Таким образом, в геометрически линейной теории первый инвариант (линейного) тензора деформации отождествляется с относительным изменением объема. С принятой точностью в соотношениях, где J входит множителем, а не в комбинации J — 1, следует положить / = 1. [c.33]

Согласно первому из равенств (2.58) тензор — )1п переходит при малой деформации в линейный тензор деформации Е. Поэтому, подставляя его инварианты в упругий потенциал, отвечающий закону Гука, получаем так называемый стандартный материал п-го порядка, определенный для произвольной деформации и переходящий в закон Гука при малой деформации. При этом согласно (3.34), (3.19), (3.20) [c.44]

Не представляет принципиальных трудностей воспользоваться кусочно линейными потенциальными поверхностями (7)-(10). Рассмотренные соотношения устанавливают связь между девиаторами соответствующих тензоров. Зависимость между первыми инвариантами соответствующих тензоров, определяющая сжимаемость материала, может быть установлена независимо (11). [c.281]

Из анализа структуры выражений (1.8) следует, что первый (или линейный) инвариант представляет собой сумму компонентов тензора напряжений, расположенных на главной диагонали. Второй (или квадратичный) инвариант мо кно получить, разложив по главной диагонали квадратную матрицу тензора напряжений, и представить в виде суммы миноров [c.19]

Сделаем еще одно замечание корни уравнения (1.32) не должны зависеть от системы координат х, у, г значит, коэффициенты этого уравнения тоже не зависят от выбора координатной системы. Отсюда заключаем, что формулы (1.33) дают три функции от компонентов тензора напряжений (1.16), являющиеся инвариантами преобразования координат. Особое значение имеет первый из них—линейный инвариант [c.32]

Первый (или линейный) инвариант тензора малой деформации имеет простой геометрический смысл, а именно представляет собой объемную деформацию окрестности точки тела. Действительно, вообразим в окрестности точки М (х() V элементарный параллелепипед со сторонами dxi, dXi, dXg, направленными по главным осям тензора Объем этого элемента dV = dxidxzdxg. После деформации элемент также будет прямоугольным параллелепипедом, объем которого [c.19]

Линейный, квадратичный и кубичный инварианты связаны с первым, вторым и третьим инвариантами тензора (ojj) завиаимостями ем. (1 .59)] [c.40]

Предположение о несжимаемости материалов при ползучести с большой степенью точности выполняется для большинства металлов и сплавов. Однако при этом допущении не удается описать такое часто встречающееся у легких металлов и их сплавов явление, как неодинаковость поведения при растяжении и сжатии. Это связано с тем, что в рамках тензорно-линейных уравнений состояния, записанных выше, не учтено влияние на ползучесть нечетного инварианта тензора напряжений. Для учета разносопротивляемости при ползучести большинство авторов используют первый инвариант тензора напряжений [71, 137]. Имеются работы, где для этих целей привлекается третий инвариант девиатора напряжений [58, 177]. Различные реологические модели сред и их практическое применение при расчетах элементов машиностроительных конструкций рассмотрены в монографии [166]. Следует отметить исследования, проведенные в работе [137], предоставляющие широкие возможности для построения соотношений теории ползучести, учитывающих разнообразные эффекты, свойственные современным конструкционным материалам. [c.108]

Особо изучено распространение волн сильного и слабого разрывов при плоском деформированном состоянии идеально пластической среды в предположении линейной связи между первыми инвариантами тензоров напряжений и скоростей деформаций (М. И. Эстрин, 1961), а также распространение волн слабого разрыва при плоском напряженном состоянии (М. И. Эстрин,. 1962 А. Д. Чернышев, 1966). Изучено также распространение сильных разрывов в среде, обладающей нелинейной жесткой ) [c.305]

Линейную изотропную среду представляют первые два слагаемые. В формуле (2.25) мы ограничились только первым (линейным) членом с изменением энтропии 5 — So. Это можно сделать при изучении волн, распространяющихся по однородному фону, поскольку изменение энтропии в слабых ударных волнах имеет порядок не менее третьего по величине скачка (см. 1.7 и 1.11), а при непрерывных движениях упругой среды энтропия вообще не меняется. Поэтому учет членов с более высокими степенями S — So или с произведением S — So на инварианты тензора деформаций не повлияет на поведение и, и Vi в упомянутых волнах в рассматриваемом диапазоне точности. Тем не менее иногда употребляют модели, в которых Ф содержит еще члены следующего порядка малости, а именно Ii S - Sq) и /2(5 - So) (Bazer and Eri son [1974]). Эти слагаемые необходимы при вычислении зависимости температуры от деформации по формуле роТ = дФ/oS. Поскольку температура нас в дальнейшем интересовать не будет, то эти члены для краткости опустим. [c.135]

Линейный, квадратичный и кубичный инварианты связаны о первым, вторым и третьим инвариантами тензора (а,/) завивимостямн [ем. (10.59)] [c.39]

Как видим, гипотеза макро скопической определимости существенно конкретизирована закон связи ( И, 12) является тензоряо линейным и коэффициенты в нем зависят только от S, к (конечно, ещ е. Г, р), т. е. зависят только от первого (3е=0) и второго = инвариантов (но не от третьего инварианта) тензора деформации, так как только е и /ге являются [c.196]

Дифференциальные уравнения движения не только допускают интегральный инвариант (71), но и являются единственными дифференциальными уравнениями, обладающими этим свойством. Поэтому в основу механики можно положить следующий принцип — принцип сохранения количества движения и энергии Движения материальной системы (с вполне голоном-ными связями), находящейся под действием сил, имеющих силовую функцию, управляются дифференциальными уравнениями первого порядка, связывающими время, параметры положения и параметры скоростей и эти дифференциальные уравнения характеризуются тем свойством, что интеграл тензора количество движения —энергия , распространенный на любую непрерывную, линейную, замкнутую последовательность состояний системы, не меняет значения при перемещении этих состояний каким-либо способом вдоль соответственных траекторий ). [c.845]

Полученные Ю. А. Крутковым (1949) формулы (1.6.10), (1.6.13) представляют одну из форм общего решения задачи линейной теории упругости ими определяются по тензору функций напряжений, удовлетворяющему дифференциальному уравнению (1.6.9), тензор напряжения Т и вектор перемещения и. Они оказались зависящими лишь от первого инварианта Ф и дивергенции 6 тензора Ф. Поэтому нет нужды в знании всех компонент этого тензора, а достаточно лишь связать 6 и Ф соотношением, являющимся следствием (1.6.9). [c.135]

При этом компоненты тензора оказываются коэффициентами пропорциональности между объемным расширением и соответствующими ему напряжениями, на основании чего может быть назван тензором модулей объемного расширения ( 16, гл. 1И). Его первый (линейный) инвариант K будет модулем объемього расширения в том смысле, в каком этот термин употреблялся нами ранее, т. е. отношением среднего нормального напряжения к относительному изменению объема. [c.222]

След тензора. Рассмотрим еще один важный пример на вычисление двойного скалярного произведения. Дадим предварительно определение. Следом тенвора Т (линейным инвариантом, первым инвариантом) называется двойная свертка Т а. Обозначается след тензора Зр Т. [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...