Статистическое распределение квазиравновесное

Квазиравновесные статистические распределения. Ясно, что величины РтУ не определяют однозначно неравновесное статистическое распределение g t). Поэтому, вообще говоря, существует много различных распределений, которые дают одни и те же значения для наблюдаемых. В дальнейшем особую роль будут играть статистические распределения, которые соответствуют максимуму информационной энтропии при заданных РтУ [c.85]

Энтропия и термодинамические соотношения в квазиравновесных ансамблях. Важно отметить, что с помощью квазиравновесно-го ансамбля и соответствующего статистического распределения можно распространить термодинамические соотношения на неравновесные системы. Как и в равновесном случае, естественно отождествить максимальное значение информационной энтропии (при заданных значениях наблюдаемых) с термодинамической энтропией. Информационная энтропия квазиравновесного распределения (2.1.20) равна [c.86]

Для термодинамического описания неравновесного состояния всей системы построим квазиравновесный ансамбль, который характеризуется средними значениями гамильтонианов подсистем Я и дополнительных медленных переменных m. Очевидно, что статистическое распределение для этого ансамбля может быть записано в виде [c.102]

Рассматривая в качестве гамильтонианов подсистем операторы (7.1.4), получаем следующее выражение для квазиравновесного статистического распределения [c.91]

Т. е. оно принадлежит к распределениям вида (2.1.16), построение которых и является основной задачей в неравновесной статистической механике. Однако, как уже отмечалось, само по себе распределение Qq t) еще не дает правильного описания неравновесных процессов, так как оно, вообще говоря, не удовлетворяет уравнению Лиувилля. Тем не менее, квазиравновесные распределения послужат в дальнейшем основой для построения решений уравнения Лиувилля, соответствующих сокращенному описанию макроскопических систем. Впервые идея использования квазиравновесных распределений в статистической механике была высказана Джейнсом [98, 99] и затем развивалась многими авторами. [c.86]

Если в набор Рп включены все динамические переменные, медленно меняющиеся на выбранной шкале времени, то выражение (2.3.55) можно упростить. Прежде всего заметим, что параметры Fn t ), квазиравновесное распределение Qq t ) и случайные силы In t ) можно взять в момент времени t = t, так как аргумент t указывает на их зависимость от времени только через средние значения РпУ Можно также считать, что оператор эволюции в (2.3.55) не действует на квазиравновесный статистический оператор, который является функцией от медленных динамических переменных Р . С учетом приведенных выше соображений оператор А может быть записан в виде [c.114]

Подчеркнем, что эти решения удовлетворяют различным граничным условиям по времени. Запаздывающее решение стремится к квазиравновесному распределению при t —00, а опережающее решение — при t оо. Опережающее решение дает не возрастание, а убывание энтропии системы [17] и в большинстве задач должно быть отброшено, как не имеющее физического смысла. Тем не менее, в некоторых проблемах неравновесной статистической механики опережающие решения уравнения Лиувилля оказываются полезными [30]. [c.124]

Задача состоит в том, чтобы вывести уравнение, описывающее релаксацию среднего импульса примеси (Р) Чтобы применить метод неравновесного статистического оператора, нам нужно выбрать базисные динамические переменные Рт- Из сказанного выше ясно, что такими переменными являются гамильтониан системы Я и импульс примеси Р. Так как изменениями температуры мы пренебрегаем, то квазиравновесное распределение (2.1.20) в данном случае запишется в виде [c.135]

С помощью квазиравновесного распределения (2.5.58) можно теперь построить неравновесный статистический оператор g(t), следуя схеме, изложенной в параграфе 2.3. Для определенности мы возьмем этот оператор в экспоненциальной форме (2.3.72). [c.145]

Следуя методу неравновесного статистического оператора, начнем с граничного условия для Д/ -частичной функции распределения д х которое определяется соответствующим квазиравновесным распределением Qq x ,t). Последнее находится из условия максимума информационной энтропии при заданных неравновесных значениях наблюдаемых величин. В нашем случае такими величинами являются одночастичная функция распределения и среднее значение плотности энергии Н г))К Предполагая, что система описывается гамильтонианом (3.1.1), имеем [c.208]

Квазиравновесное распределение для идеального газа получается как частный случай выражения (3.3.55). Действительно, положив f/(r ,..., Гдг, ) = 0, нетрудно убедиться, что решением уравнения (3.3.52) является и = I. При этом статистический интеграл (3.3.56) совпадает со статистическим интегралом (2.2.33) для идеального газа. [c.211]

Приступим теперь к выводу уравнений движения для приведенных матриц плотности. Мы будем исходить из квантового уравнения Лиувилля (4.1.3), в котором бесконечно малый источник определяет граничное условие для неравновесного статистического оператора ). Как было показано в главе 3, выбор квазиравновесного распределения Qq t) является определяющим при решении цепочки уравнений для классических функций распределения. Мы пока отложим обсуждение вопроса о выборе Qq t) в квантовом случае, ограничившись лишь замечанием, что квазиравновесный статистический оператор должен удовлетворять условию самосогласования для одночастичной матрицы плотности [c.267]

Построим сначала квазиравновесный статистический оператор Qq t) в котором учитываются корреляции, связанные с законом сохранения энергии. Ясно, что для этого нужно выбрать в качестве независимых параметров состояния одночастичную функцию распределения f t) и среднюю энергию взаимодействия по- [c.314]

По своей структуре член Ii t) аналогичен интегралу столкновений Левинсона (4.5.13), за исключением того, что в формуле (4.5.47) поправки Хартри-Фока включены в невозмущенный оператор эволюции. Новый член Ii (t) учитывает вклад неравновесных корреляций в интеграл столкновений. Даже не производя явных вычислений, легко заметить, что в тепловом равновесии Ii t) и Ii t) точно компенсируют друг друга и, тем самым, полный интеграл столкновений (4.5.46) обращается в нуль. Чтобы убедиться в этом, проще всего вернуться к выражению (4.5.45) для статистического оператора. Мы уже отмечали, что в тепловом равновесии квазиравновесный статистический оператор (4.5.26) переходит в распределение Гиббса Заменяя в (4.5.45) Qq на равновесный статистический оператор и учитывая, что коммутирует с гамильтонианом системы, находим, что д = д . Отметим, что при этом каждый из интегральных членов уравнения (4.5.45) в равновесном состоянии не равен нулю [c.318]

Мы уже отмечали, что в некотором смысле теорию Кубо можно рассматривать как частный случай подхода, развитого в разделе 5.1.1, так как в теории Кубо используется специальная форма граничного условия статистического оператора [см. (5.1.52)]. Отметим, однако, что это условие далеко не так очевидно, как кажется на первый взгляд. Оно означает, что сначала система находилась в тепловом равновесии с термостатом, а в дальнейшем влияние термостата не учитывается, поскольку гамильтониан Я + Н] относится лишь к самой системе. Другими словами, формулы Кубо (5.1.57) и (5.1.59) описывают отклик изолированной системы на внешние механические возмущения. Вообще говоря, этот отклик не обязан совпадать с откликом системы, находящейся в процессе эволюции в контакте с термостатом. Так как реальные системы всегда взаимодействуют с окружением, исключение влияния термостата не вполне соответствует условиям реальных экспериментов. С этой точки зрения метод, изложенный в разделе 5.1.1, кажется более последовательным, поскольку использование квазиравновесно-го распределения Qq t) для формулировки граничного условия к уравнению Лиувилля можно рассматривать как нарушение абсолютной изоляции системы. [c.351]

Они справедливы для любого статистического оператора g t), который удовлетворяет условиям самосогласования (5.1.5) с линеаризованным квазиравновесным распределением (5.1.6). [c.374]

Исключим теперь средние потоки Bj) в (5А.14). С этой целью воспользуемся выражением (5.1.16) для статистического оператора в стационарном случае. Вспоминая также формулу (5.1.6) для линеаризованного квазиравновесного распределения, находим [c.399]

Наши дальнейшие действия фактически следуют схеме из раздела 5.1.1. Единственным новым обстоятельством является то, что теперь квазиравновесное распределение (5В.5) содержит дополнительные слагаемые, которые описывают термические возмущения, связанные с неоднородностью температуры и химического потенциала. Сравнивая гамильтониан механического возмущения (5В.З) с общим выражением (5.1.1), мы видим, что роль внешних полей hj играет функция —е(/ (г), а роль сопряженных динамических переменных Bj — оператор концентрации частиц п(г). Таким образом, в рассматриваемом стационарном случае статистический оператор (5.1.16) записывается как [c.407]

Отметим, что квазиравновесный статистический оператор (6.1.12) совпадает с равновесным распределением Гиббса, если множители Лагранжа в формулах (6.1.63) и (6.1.64) имеют вид [c.22]

Все эти способы описания начального состояния можно объединить, используя понятие квазиравновесного распределения. Действительно, рассмотрим статистический оператор [c.63]

Теперь, если /5 = /5 = квазиравновесный статистический оператор совпадает с равновесным (гиббсовским) распределением при температуре Т = 1//5. Однако Qq t) может описывать и сильно неравновесное состояние системы, в котором обратные температуры Pi t) и / 2( ) имеют смысл множителей Лагранжа, определяемых из условий самосогласования [c.91]

Последнее слагаемое в (7.1.16) представляет собой поправку к квазиравновесному статистическому оператору А ( ), которая должна быть подставлена в уравнения баланса (7.1.14). Как уже было показано, средние по квазиравновесному распределению Qq t) равны нулю, поэтому [c.93]

В некотором отношении энтропия (9.4.47) аналогична энтропии Гиббса в статистической механике. Иногда используются другие определения. Например, в [20] неравновесная энтропия вводится через локально-равновесное максвелловское распределение, зависящее от флуктуирующей макроскопической скорости. В разделе 9.4.6 будет показано, что можно определить термодинамическую энтропию турбулентного движения, основанную на квазиравновесном распределении для поля скоростей. Ясно, что различным определениям могут соответствовать различные свойства энтропии. Во всяком случае поведение энтропии в турбулентности является очень интересным вопросом, который требует дальнейших исследований. [c.266]

По аналогии с методом неравновесных статистических ансамблей определим термодинамическую энтропию турбулентного движения S t) как информационную энтропию, соответствующую квазиравновесному функционалу распределения [c.268]

Статистическое распределение (2.1.20) описывает обобщенный ансамбль Гиббса, или тазиравновесный ансамбль в котором средние значения базисных динамических переменных совпадают с истинными значениями макроскопических наблюдаемых ). Согласно условиям (1.3.127), параметры Fm t) выражаются через неравновесные значения наблюдаемых РпУ Поэтому квазиравновесное распределение является функционалом [c.86]

Внешние ноля t) считаются настолько слабыми, что для описания отклика системы достаточно найти нонравку к среднему значению любой динамической неременной S Ay = ЛУ — А)щ в линейном нриближении но Таким образом, требуется найти статистическое распределение g t) в слабых полях. В соответствии с нашим обычным подходом, выделим сначала некоторый набор базисных динамических переменных Рп , от которых будет зависеть квазиравновесное распределение Qq t). Это позволит нам записать граничные условия для истинного неравновесного распределения ). Способ построения квазиравновесных распределений обсуждался в параграфе 2.1, поэтому мы не станем на нем подробно останавливаться. В данном случае удобно записать Qq t) в виде [c.340]

Уравнения баланса для наблюдаемых РтУ не являются единственным способом описания релаксационных процессов. Например, в разделе 2.4.1 первого тома излагался проекционный метод Цванцига, который позволяет получить формально замкнутое уравнение для квазиравновесной части статистического оператора, соответствующей сокращенному описанию неравновесного состояния системы. Таким образом, метод Цванцига оперирует не со средними значениями динамических переменных, а с приведенными статистическими распределениями. Уравнения, описывающие эволюцию таких распределений, называются основными кинетическими уравнениями ). [c.104]

Мы видим, что фактически метод Цванцига является частным случаем метода неравновесного статистического оператора, когда роль квазиравновесного распределения, определяющего граничное условие к уравнению Лиувилля, играет Qq t) = Vg t). В следующем параграфе мы дадим примеры, иллюстрирующие применение основного кинетического уравнения (2.4.18) в конкретных задачах. Более подробное обсуждение основных кинетических уравнений мы отложим до главы 7 второго тома. [c.127]

Метод проектирования Робертсона. По существу, основная идея метода Робертсона [139, 140] близка к идее метода неравновесного статистического оператора. Неравновесное состояние системы описывается средними значениями некоторых базисных динамических переменных и вводится соответствующее квазиравновесное распределение (2.3.3), в котором параметры F t) определяются из условий самосогласования (2.3.4). Вместо граничного условия в отдаленном прошлом, Робертсон, как и Цванциг, использует начальное условие для неравновесного распределения. Предполагается, что в некоторый момент времени истинное неравновесное распределение g t) совпадает с квазиравновесным, т. е. [c.127]

Отметим, что, в отличие от (4.2.14) и уравнений более высокого порядка, уравнение (4.2.13) для одночастичной матрицы плотности не содержит источника из-за условия самосогласования (4.2.10). Чтобы явно найти источники в остальных уравнениях цепочки, нужно задать форму квазиравновесного статистического оператора. Следуя общей идеологии метода статистических ансамблей, Qq t) можно найти из условия максимума информационной энтропии при заданных средних значениях некоторых базисных динамических переменных. Простейшее предположение состоит в том, что одночастичная матрица плотности (4.2.2) является единственной наблюдаемой, которая характеризует неравновесное состояние системы. Тогда мы возвращаемся к ква-зиравновесному статистическому оператору (4.1.32), описывающему идеальный квантовый газ. Мы пока ограничимся только этим случаем. Более общие выражения для квазиравновесных распределений будут рассмотрены в следующем параграфе. [c.268]

Вообще говоря, в неравновесной статистической механике мы встречаемся с корреляциями двух типов. Термодинамические корреляции описываются оператором энтропии S t) в квазиравновесном распределении Qq t) = ехр — 5( ) , в то время как динамические корреляции описываются членом взаимодействия в гамильтониане Я. В теории линейной реакции обычно нет необходимости разделять термодинамические и динамические корреляции, поскольку оператор энтропии в равновесном распределении Гиббса полностью определяется гамильтонианом системы. Это обстоятельство позволяет учесть корреляции обоих типов в рамках единого метода. Наиболее популярным методом такого рода является формализм функций Грина, зависящих от мнимого времени . Он впервые был предложен Мацубарой [126] и затем развивался многими авторами. Метод мацубаровских функций Грина и его многочисленные приложения излагаются, например, в книгах [1, 64, 123]. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...