Матрицы узловых элементов

Суммирование в соотношениях (2.18) ведется по всем стержневым элементам, примыкающим к г-му узловому элементу, а матрицы [Я ] и [Н имеют вид [c.58]

Кроме стержневых элементов, жестко скрепленных с узловыми элементами, в пространственной стержневой системе могут быть использованы стержневые элементы, которые скреплены с узловыми элементами шарнирно, т. е. такие стержневые элементы, которые не передают одну или несколько компонент векторов реакций R и на узловой элемент. Матрицу реакций [5 ] и вектор реакций Qo для таких стержневых элементов строят [c.67]

Таким образом, определили элементы матрицы [5 ] и вектора в локальной системе координат для прямолинейного стержня, работающего в одной плоскости и жестко скрепленного с узловыми элементами плоской стержневой системы. [c.76]

Преобразование матрицы реакций [В ] и вектора реакций Qi для стержня, скрепленного с узловыми элементами шарнирно относительно некоторых из компонент перемещений, осуществляется в соответствии с методом, изложенным в п. 2.5. [c.76]

На рис. 3.5 изображена плоская стержневая система, содержащая шесть стержневых и шесть узловых элементов 1—6). Для каждого узла разместим векторы внешних узловых нагрузок на соответствующие места глобального вектора Т и обнулим глобальную матрицу [Р]. После этого последовательно вычисляем матрицы [R ] по (3.22) и векторы по (3.23) реакций ij-ro стержневого элемента и складываем подматрицы [K q ( = 1. 2 [c.90]

Из рис. 3.7 и 3.8 видно, что матрица [Р ] имеет ленточную структуру. Предположим, что максимальная разница между номерами узловых элементов, связанных между собой стержневыми элементами, равна Mij. Тогда ширину ленты матрицы [Я] можно определить по формуле [c.91]

Здесь [i "] - изгибная матрица жесткости элемента и - вектор узловых перемещений элемента, включающий смещения и углы поворота в узлах - матрица, учитывающая изменение положения элемента в пространстве, является функцией только геометрии элемента - его длины и положения в пространстве, типа элемента и приложенной нагрузки. Матрица [X ] называется геометрической или дифференциальной матрицей жесткости элемента. [c.37]

Здесь матрица, связывающая в элементе обобщенные узловые реакции с обобщенными перемещениями, есть матрица жесткости элемента (МЖЭ) Pi , Р2 — векторы приведенных к узлам элемента внешних нагрузок. На основании теоремы о взаимности работ можно показать, что матрица жесткости элемента является симметричной, т. е. [c.95]

После анализа структуры уравнения равновесия в форме (3.83) можно отметить, что в правой части стоят внешние силы, действу- ющие в сечении / и сумма приведенных к узлу / поверхностных нагрузок, действующих на сопрягаемые элементы в левой части, стоят произведения матричных блоков МЖЭ и узловых степеней свободы. При формировании уравнений равновесия для /-го узла участвуют лишь блоки матриц жесткости элементов, у которых- первый индекс (по глобальной нумерации) равен /. Расположение этих блоков в /-Й матричной строке в общей системе уравнений рав- новесия (т. е. для всех узлов) определяется вторым индексом. [c.96]

Покажем, как с использованием системы (4.133) можно получить матрицу жесткости элемента [/С ] и вектор приведенных узловых сил Яп - Для этого с помощью методов численного интегрирования получим на участке кольцевого элемента частотное и фундаментальные решения и представим компоненты кинематических и силовых факторов в конечном и начальном сечеииях (см. 3.6) в виде связи [c.155]

Таким образом, при решении задачи с помощ,ью МКЭ стыковку трехслойной оболочки со шпангоутом формально можно рассматривать как сопряжение элементов, у которых имеются различные числа узловых обобщ,енных перемещ,ений. Причем на перемещения примыкающего узла трехслойной оболочки накладываются дополнительные кинематические условия [см. (5.57) ], в соответствии с которыми перестраиваются матрица жесткости элемента [см. (5.58)] и вектор приведенных узловых нагрузок. [c.218]

Осесимметричное нагружение дисков рассмотрим как наиболее типичное при оценке статической прочности. В качестве расчетного метода использован метод конечных элементов (МКЭ). Это не единственный возможный метод расчета известно применение и других методов дискретизации пространственной задачи к расчету дисков (метод конечных разностей, вариационно-разностный [2, 43, 100]). МКЭ наиболее широко применяют в прикладных задачах 47]. Можно отметить простоту формулировок основных принципов, ясность физической интерпретации, свободу размещения узловых точек, симметрию матриц жесткости элементов и системы уравнений, облегчающую контроль расчетов. При выборе в качестве неизвестных узловых перемещений матрица разрешающей системы будет симметричной, положительно определенной (при исключении перемещения диска как жесткого целого) и иметь ленточную структуру. Это способствует быстрому решению системы разрешающих уравнений прямыми или итерационными методами. Методу конечных элементов посвящено большое число работ [3, 46, 53, 114, 119]. Приведенные в гл, 4 результаты получены ДЛЯ простейшего кольцевого элемента треугольного сечения, однако основные соображения, использованные в решении, имеют достаточно общий характер и применимы как для плоской задачи, так и при более сложных элементах в осесимметричном случае. [c.153]

При выводе приведенных формул предполагали, что стержневой и узловой элементы соединены жестко. Однако на практике часто встречаются шарнирные соединения стержневых и узловых элементов, которые не передают одну или несколько компонент векторов реакций и (4.10). Поясним, как в этих случаях корректируются матрица [ВЧ] и вектор Q /, компоненты которых определяются формулами (4.14)—(4.18). Обозначим компоненты [c.56]

МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ УЗЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.214]

Матрицы жесткости узловых элементов [c.225]

Для вычисления коэффициентов матрицы К а рассмотрим сначала отдельные элементы балки в местных осях координат (рис. 3.23, а). Поскольку рассматриваются лишь перемещения изгиба в плоскости ху, матрицы узловых сил и перемещений каждого элемента совпадают с Pj, и Vj, [c.98]

Матрицы узловых перемещений отдельных элементов равны [c.100]

Другой конечный элемент, используемый в плоской задаче, показан на рис. 5.2. Он представляет собой прямоугольник с узлами в вершинах. Матрица узловых перемещений такого элемента имеет восемь компонент. Обходя узлы против часовой стрелки, запишем [c.139]

Матрица узловых перемещений элемента [c.237]

Введем в поперечном сечении кольца систему координат Г], совместив начало координат с центром тяжести поперечного сечения, и обозначим через уог радиус окружности, проходящей через центр тяжести поперечного сечения. Матрица узловых перемещений элемента включает в себя три компоненты [c.262]

Рассмотрим вначале конечный элемент лонжерона с четырьмя узлами i, /, I, т, показанный на рис. 8.3, а. Положение центра тяжести произвольного сечения отмечено на рисунке буквой С, а его расстояние от оси х обозначено через у . В местной системе координат элемент имеет восемь степеней свободы — по два смещения в каждом из узлов. Условимся перечислять их в матрице узловых перемещений v в следующем порядке [c.291]

Пусть, далее, тело разбито на конечные элементы. Рассмотрим типовой элемент с узлами г, /,. .. матрица узловых перемещений будет [c.329]

Основные соотношения МКЭ. Метод конечных элементов основан на предположении, что тело можно представить в виде набора элементов, соединенных друг с другом только в узлах. Связь узловых усилий с узловыми перемещениями задается с помощью матрицы жесткости элемента. Объединение матриц жесткости отдельных элементов в глобальную матрицу жесткости тела позволяет записать условия равновесия тела. При заданных действующих нагрузках или перемещениях и при известной глобальной матрице жесткостзг решение системы алгебраических уравнений равновесия позволяет найти все узловые усилия, а по ним — напряжения и перемещения в пределах каждого элемента. Тем самым напряженно-деформированное состояние тела становится определенным [59]. [c.83]

Пример. Построить матрицу жесткости элемента цилиндрической оболочки при осесимметричной деформации. Вектор узловых перемещений хтемента состоит из шести со- [c.178]

Это уравнение является основным при расчете конструкций с помощью МКЭ. Оно позволяет найти перемещения и, воспользовавшись соотношением (3.86), определить напряженное состояние в каждом элементе системы. Основная задача расчета конструкций методол, конечных элементов состоит в определении матриц жесткости элементов, общей матрицы жесткости [К и вектора узловых сил F , [c.90]

Проведя суммирование составляющих матриц каждого элемента в соответствии с этими равенствами и заменив обозначения векторов узловых перемещений элемента обозначениями векторов перемещений системы, получим общее матричное уравнение плоской трехэлементной пластины [c.100]

Сумма этих матриц дает матрицу жесткости элемента [/(]. Для построения общей матрицы жёсткости всей системы необходимо воспользоваться последовательностью, приведенной в 3.5. Нужно отметить,что при решении задач часто приходится стыковать элементы разных размеров. На участках оболочки, где ожидается быстрое изменение перемещений, например вблизи краевой зоны, длина элементов должна быть небольшой по сравнению с длиной элементов в остальных зонах оболочки. Стыковка элементов разной длины в МКЗ мало усложняет расчет, Jto является большим достоинством метода. Для заданной нагрузки из соотношения (9.46) и матрицы (9.49) на-хрдят вектор узловых сил, который соответствует. ..правой части линейной системы уравнений. Решение этой системы, при учете условий на границе оболочки, определяет все узловые перемещения. [c.266]

Если соединение стержневого и узлового элементов таково, что одновременно равны нулю k-я и 1-я компоненты вектора г, то в результате двух последовательнцх преобразований (4.21) получим новые матрицу и вектор реакций [c.57]

Для каждого узла вычисляем матрицы [G ] и векторы fj для узловых элементов, размещая их на соответствующие места в глобальной матрице [Р ] и векторе Т. Здесь и далее рассматриваем осесимметричную оболочечную конструкцию при осесимметрич- [c.239]

Отнесем сначала рассматриваемый конструктивный элемент к местной системе координат. Если узловые перемещения элемента равны нулю (концы стержня защемлены), то внеузло-вая нагрузка вызовет появление реакций в виде сил и моментов. Образуем из них подматрицы Ро , Роь, Рос и P<,d, соблюдая тот же порядок перечисления сил, что и в матрицах Рц, Рь, Рс, P(i- Таким образом, в подматрицу Род войдут реакции, действующие на стержень вдоль его оси Роь и Рос бу-flyt состоять из поперечных сил и моментов, действующих на концах стержня соответственно в плоскостях ху и xz наконец, в Poj, войдут моменты относительно оси х. Объединив эти подматрицы, получим матрицу узловых сил, уравновешивающих при неподвижных узлах внеузловую нагрузку [c.74]

Использованные выше рассуждения можно применить к образованию сложных конечных элементов из простейших. Выделим часть тела, включающую в себя некоторое число простых конечных элементов. Объединив эти элементы, можно сформировать общую матрицу жесткости и матрицу узловых сил для рассматриваемой части. В результате получим один сложный конечный элемент, который затем можно обычным образом объединять со смежными участками тела для формирования разрешающей системы уравнений. Такой элемент называется подконструкцией (или суперэлементом). Разбиение на подкон-струкции применяется при расчете весьма сложных систем, таких, как самолет в целом. При этом подконструкции могут действительно соответствовать некоторым характерным отсе- [c.152]

Формулы (7.2) —(7.5) можно взять за основу при выводе жесткостных характеристик конечных элементов, оеуществт ляя при этом независимую аппроксимацию функций Uz, Х и 9у по их узловым значениям. Как следует из (7.1), совместность перемещений обеспечивается, если каждая из этих функций непрерывна на границах между элементами. Так же как и в случае плоской задачи теории упругости, выполнить это условие можно, например, с помощью изопараметрической формулировки конечных элементов. Следовательно, здесь открываются широкие возможности для введения конечных элементов произвольной формы, в том числе криволинейных. Но применение подобных элементов к расчету тонких пластин до последнего времени было ограниченным из-за чрезмерной жесткости элементов, которая обусловлена ложными деформациями поперечного сдвига и появляющимися при чистом изгибе пластины. В работе [38] показано, что и в случае изгиба пластин эффективным средством борьбы с ложными деформациями поперечного сдвига является использование минимально допустимого порядка интегрирования соответствующих членов при вычислении матрицы жесткости элемента. Несколько конечных элементов, полученных таким способом, представлено в следующем параграфе. Они могут успешно использоваться при расчете как тонких, так и сравнительно толстых пластин. [c.230]

Ра иство (7.93) определяет четыре блока матрицы жесткости элемента к, приведенной к узловым перемещениям v = v vj). [c.261]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...