Характеристики в физической плоскости

Характеристики в физической плоскости (проходящие через начало координат) получаются подстановкой выражений (119,9) в уравнение 4г = 90 . Это дает две параболы [c.622]

Фа2 ОТ окрестности характеристики Оа к окрестности характеристики ОЬ дает функцию Фв2, отличающуюся от (121,3) лишь заменой В на С/2. Координаты X, у точек характеристики в физической плоскости вычис- [c.632]

На рис. 5.5 показано расположение сопряженных характеристик в физической плоскости X, у (рис. 5.5, а) и в плоскости годографа Ку (рис. 5.5, б, в) [c.141]

Рис. 5.5. Сопряженные характеристики в физической плоскости (а) и в

Рис. 5Л. Характеристик в физической плоскости

Наклон характеристик в плоскости годографа (вектора скорости) можно определить, используя свойство перпендикулярности этих и сопряженных характеристик в физической плоскости. В соответствии с этим наклон таких характеристик определяется углами р = 45 + 90° = 135° (второе семейство) и Р == = 13 + 90° = 103° (первое семейство). [c.148]

Семейства интегральных кривых уравнения (144), соответствующие наличию разных знаков перед радикалом, образуют характеристики в физической плоскости х, у), а величины пц и представляют угловые коэффициенты касательных к характеристикам или характеристические направления в физической плоскости. [c.263]

Прежде чем перейти к изложению этих графических приемов, остановимся предварительно на рассмотрении некоторых общих свойств характеристик в физической плоскости. [c.265]

Отсюда сразу вытекает второе свойство характеристик в физической плоскости (рис. 118). [c.265]

Вектор скорости направлен по биссектрисе угла между характеристиками в физической плоскости. [c.265]

Пользуясь последним свойством характеристик в физической плоскости, легко показать, что кривая зависимости Я (а) для любого сверхзвукового потока представляет эллипс, форма которого зависит только от показателя адиабаты к, выражающего физические свойства газа. [c.265]

На использовании [изложенных свойств семейств характеристик в физической плоскости течения и плоскости годографа скоростей основан графический метод расчета плоских сверхзвуковых потоков ). [c.266]

Наличие в потоке твердых границ или свободных поверхностей мало усложняет графическое построение. Процесс отражения сводится к переходу от одного семейства характеристик в физической плоскости к другому. Суммы индексов при помощи существующих таблиц легко переводятся в средние значения термодинамических параметров, относящиеся к малой области данного ромба. Пример графического построения сопла показан на рис. 120 поток представляет переход от радиально расширяющегося с полным углом раствора в 20° к плоскопараллельному потоку. Шаг сетки по углам равен 2° (см. верхние и нижние цифры). [c.269]

Известно 1—4], что определяющие уравнения для напряжений и скоростей теории плоского пластического течения жесткопластического тела приводятся к системе четырех квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые относятся к гиперболическому типу. Их характеристики в физической плоскости совпадают с линиями скольжения и траекториями максимальных касательных напряжений. Построение полей напряжений и скоростей сводится к решению последовательности краевых задач с граничными условиями для напряжений и скоростей. Обычно вначале решаются краевые задачи для напряжений, связанных с уравнениями характеристик, и строится поле характеристик. Затем строится поле скоростей в пластической области при совпадении жесткопластических границ с характеристиками. После этого проверяется условие неотрицательности диссипативной функции и несущая способность принятых жестких областей 2, 3]. Для некоторых типов задач плоского пластического течения со смешанными граничными условиями разработаны методы построения полных решений, в которых вначале строится поле скоростей в плоскости характеристик или в плоскости годографа с использованием кинематических граничных условий на контуре инструмента, а затем строится поле напряжений и вычисляются характеристики в физической плоскости [5—7]. В этих решениях жесткопластические границы также совпадают с характеристиками. В [8, 9] разработан метод решения задач плоского пластического течения с использованием криволинейных координат, совпадающих с линиями тока и ортогональными к ним направлениями, и рассмотрены случаи пластического течения, в которых линии тока являются логарифмическими спиралями. [c.54]

Правая часть уравнения (49.8) зависит, очевидно, только от q. Следовательно, на характеристиках в физической плоскости модуль вектора скорости и угол его наклона связаны простым соотношением [c.154]

При 6 = 0 уравнения (1.4) и (1.5) определяют ортогональные характеристики плоской деформации и соотношения Генки для поля напряжений. В случае плоской деформации продольная скорость течения it = О, и дифференциальные соотношения (1.11) для скоростей перемещений и и v выражают условие ортогональности характеристик в физической плоскости х, у и в плоскости годографа и, v в соответствии с уравнениями Гейрингер. [c.54]

Рис. 1. Поле характеристик в физической плоскости (а) ив плоскости годографа скоростей (б) при прессовании (волочении) через наклонную гладкую матрицу [1

Известная задача о плоском пластическом течении через гладкую наклонную матрицу при малом обжатии заготовки (Рис. 1) [1] является кинематически определимой, так как поле характеристик в плоскости годографа (Рис. 1, б) можно построить для качественной структуры поля характеристик в физической плоскости (Рис. 1, а) не зная распределения давле- [c.248]

Решив уравнения (3.2) можно найти углы л (р2 л построить поле характеристик в физической плоскости от контура Коши АС с прямолинейными характеристиками и постоянным давлением, так как область АС О отображается на годографе одной точкой [АСО) с углом у = (/ + тг/2. Точность решения уравнений (3.2) контролируется условиями для точки В, получаемой построением поля характеристик в физической плоскости при заданных углах и р2 [c.249]

Уравнения (3.3) можно также рассматривать как векторную функцию (2.4) при генерировании поля характеристик в физической плоскости, а уравнения (3.2) использовать для контроля точности кинематических граничных условий. Этот подход принят в настоящей работе. Напряжение сг в точке В находится из условия Ех = О на границе АВ (прессование), где Ех — горизонтальная сила. В случае волочения это условие переносится на границу СВ. Задача решается на ПЭВМ за доли секунды при [c.249]

Рис. 2. Поле характеристик в физической плоскости (о) и в плоскости годографа скоростей [б] при прокатке толстой полосы

Задача решается на ПЭВМ за доли секунды при угловом шаге сетки характеристик 1.5°-2° и весьма грубом начальном приближении для углов 7 и /3. Для малых радиусов валка R = 2.5 Ч- 5 получены малые значения Ть, которые увеличиваются с увеличением R. В предельном случае R оо л Н 1 получаем центрированное поле прямолинейных характеристик в физической плоскости, которое описывает скольжение абсолютно шероховатого штампа конечной ширины по неподвижной полосе с чистым сдвигом поверхностного слоя. [c.252]

В соответствии с общей теорией уравнений в частных производных [55 в областях гиперболичности существуют действительные характеристики. Напомним, что характеристики представляют собой многообразия, на которых система дифференциальных уравнений не может быть приведена к нормальному виду, т. е. не может быть разрешена относительно производных, выводящих из такого многообразия. Это препятствует применению теоремы Коши-Ковалевской, следовательно, решения задачи Коши с начальными данными на характеристическом многообразии, вообще говоря, не существует. Для его существования (которое в данном случае уже оказывается не единственным) необходимо и достаточно выполнения условий согласования начальных данных, которые называются условиями совместности. Интересно, что эти условия совместности являются не чем иным как характеристиками системы уравнений газовой динамики, рассматриваемой в переменных годографа, а условиями совместности последней, наоборот, служат уравнения характеристик в физической плоскости. [c.21]

С целью изучения строения линий ветвления отображения, рассмотрим вопрос о гладкости характеристик в плоскостях годографа скорости и давления. Гладкость характеристик в физической плоскости, как следует из (11), обеспечивается непрерывностью поля скорости. Поэтому характеристики являются гладкими кривыми на каждом куске римановой поверхности, на котором отображение в плоскость годографа диффеоморфно (каждый такой кусок ограничен линиями ветвления и линиями, несущими разрывы первых производных). [c.34]

Учитывая, что р/ро = (А) — монотонная непрерывная функция и, значит, обратное отображение X = 7г р/ро) — однозначно и непрерывно, выражаем М = М(А) в виде непрерывной функции М = М р/ро). Пусть Ро ф) непрерывна. Тогда непрерывность V в физической плоскости влечет непрерывность (51). Таким образом, угол наклона характеристики в плоскости 1пр,/3 — непрерывная функция длины дуги этой характеристики в физической плоскости. Следовательно этот угол — непрерывная функция длины дуги характеристики и в плоскости 1пр,/3 — на каждом простом листе римановой поверхности отображения (ж, у) (1пр, /3), причем предельные значения при подходе к краю складки по разным простым листам совпадают (по определению римановой поверхности). Это означает, что характеристика в плоскости 1пр, /3 либо гладкая кривая, либо имеет точки возврата. Так как характеристики разных семейств в плоскости 1пр, /3 ни в коем случае не соприкасаются (при М / 1, М / ос), то линия ветвления является огибающей характеристик одного семейства и множеством точек возврата характеристик другого семейства, либо — множеством точек возврата характеристик обоих семейств. [c.36]

Кроме того, в 2 будем предполагать, что т у) — монотонная функция при достаточно малых значениях V. При анализе используется свойство, что угол наклона характеристики в физической плоскости — монотонная функция скорости [c.204]

Точка возврата характеристики в физической плоскости может быть только в месте ее пересечения с предельной линией — огибающей характеристик другого семейства. В этом случае либо во втором, либо в четвертом квадранте точки О должна существовать огибающая характеристик первого семейства (предельная линия). Так как огибающая в каждой точке имеет наклон соответствующей характеристики, то она может войти в точку [c.205]

Оценки 1, 2, 4 выводятся из свойств УП, IX и свойства VI с учетом порядка, в котором скачок пересекается характеристиками в физической плоскости. Оценка 3 следует из условия, полученного при доказательстве свойства X, что на линии L+ в окрестности точки п имеет место и Un- [c.271]

Край складки — характеристика АС — не является предельной линией в обычном смысле слова, когда под этим понимается огибающая характеристик в физической плоскости, причем производные фи Фу терпят на ней разрыв. [c.276]

В достаточно малой окрестности линии ветвления в плоскости uw характеристики располагаются по одну сторону от края складки. Ввиду непрерывности касательной к характеристике в области непрерывности поля вектора скорости, получим, что в общем случае линия ветвления в плоскости UW состоит из отрезков, каждый из которых является огибающей характеристик одного семейства и геометрическим местом точек возврата характеристик другого семейства. На линии ветвления меняют знак производные от г и li по направлению характеристики того семейства, изображение которой имеет в плоскости uw точку возврата кривизна этой характеристики в физической плоскости меняет знак. [c.307]

Для нахождения же уравнения характеристик в физической плоскости достаточен первый член разложения. Подставляя 0 = x/a, г = у/а в уравнение годографических характеристик О = 2rl / /3, получим [c.621]

Легко видеть, что на характеристиках и во всей об пасти слева от них (что соответствует области вверх по течению от преде,. ь-иых характеристик в физической плоскости) А > О и нигде в нуль не обраш,ается. В области же справа от характеристик А проходит через нуль, откуда и видна неизбежность возниккове-пия здесь ударной волны. [c.629]

Та часть исследования Прандтля и Майера, в которой применяется метод годографа, была использована Л. Прандтлем и А. Буземаном для создания графического способа построения сверхзвуковых течений, названного методом характеристик. Эта фундаментальная работа опубликована в 1929 г. Оказалось, что для уравнения сверхзвукового плоского течения газа характеристиками служат линии Маха. Тогда соотошение, представляющее условие совместности (для характеристик), интегрируется, что дает уравнение характеристик (в виде эпициклоид) в плоскости годографа, соответствующих характеристикам в физической плоскости. [c.316]

Прокатка толстой полосы с противонатяжением. При малом отношении длины контакта валка с полосой к толгцине полосы возможна структура поля характеристик в физической плоскости, показанная на Рис. 2, а [4, 5], где половина толш ины полосы и ее скорость на выходе из пластической области приняты за единичную длину и единичную скорость задачи прокатки. Жесткопластические границы АВ, ВС и АС в физической плоскости неизвестны, но могут быть определены из кинематических граничных условий в плоскости годографа (Рис. 2, б) при заданных параметрах прокатки Н л К. [c.250]

Затем от характеристики АС и угловой точки А с известным углом строим поле характеристик в физической плоскости с контролем условий у = Ои< = —тг/4в точке В. Среднее напряжение в этой точке находим из равенства нулю переднего натяжения Ту = О на границе ВС. При этом на границе АВ получаем растягивающее обратное натяжение полосы Т . Поэтому поле характеристик, показанное на рис. 2, соответствует прокатке полосы с противонатяжением. [c.252]

Будем рассматривать класс течений, годограф которых в окрестности точки 0 однолистен (рис. 7.1), т. е. область определения решения в сверхзвуковой части заключена на одном листе между характеристикой О1О2 и положительной осью V. Тогда получим, что угол наклона характеристики в физической плоскости является монотонной функцией длины ее дуги. [c.204]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...