Координаты декартовы ортогональные

Учитывая, что в случае декартовой ортогональной системы координат Япп=1 и gnk = 0, формулы (3.7) и (3.8) примут вид [c.52]

Верхний индекс п относится к проекциям векторов и тензоров на направление, задаваемое единичным направлением п. Верхние индексы к, I = = 1, 2, 3 относятся к проекциям векторов и тензоров на направления осей декартовой системы координат, определяемые ортогональными единичными векторами е, е , е . При этом по повторяющимся верхним (и только по ним) индексам будет использоваться так называемое немое суммирование [c.8]

Если как первоначальные переменные р, q, так и преобразованные переменные it, х мы будем истолковывать как декартовы ортогональные координаты на плоскости, то увидим, что вполне канонические бинарные преобразования представляют собой так называемые эквивалентные преобразования, т. е. преобразования плоскости, оставляющие неизменными площади. В дальнейшем (п. 16) мы увидим, что и вполне канонические преобразования с 2я переменными тоже будут эквивалентными в том смысле, что в фазовом пространстве в котором р, q истолковываются как прямоугольные декартовы координаты, сохраняется неизменным объем ограниченных фигур 2л [c.260]

Замечательное бинарное преобразование мы получим, если будем рассматривать р, q как декартовы ортогональные координаты и введем соответствующие полярные координаты р, 6, связанные с ними известными соотношениями [c.261]

Принимая (hi, h2, h ) за декартовы ортогональные координаты в пространстве представлений, мы видим, что установившиеся вращения соответствуют точкам [h, О, 0), (О, Л, 0), (О, О,/г). Изображающая точка движется по кривой, которая согласно уравнениям (55.13) является линией пересечения сферы и эллипсоида. Исследуя формы этих кривых, легко увидеть, что установившиеся вращения вокруг наибольшей и наименьшей осей инерции устойчивы, тогда как установившееся вращение вокруг промежуточной оси инерции неустойчиво ). [c.170]

Задача 3.64. Выразить в декартовых координатах условия, при которых система криволинейных координат будет ортогональной. Проверить ортогональность сферической системы координат. [c.403]

Так как матрица преобразования 3N координат Да,- к координатам Q, ортогональна, Q, и Да/ порождают одинаковое представление группы симметрии [см, формулу (5.54) и замечания после нее]. Для определения представления, порождаемого 3N — колебательными координатами Qr, надо сначала найти представление, порождаемое 3N координатами Да/, а затем вычесть из него представление, порождаемое тремя и тремя Т . Ниже мы проиллюстрируем эту процедуру на примере молекулы воды. Другая процедура для определения типов симметрии нормальных координат будет рассмотрена в следующей главе в ней вместо декартовых координат смещений используются внутренние координаты смещений (растяжение связей, деформация углов и т. д.). [c.178]

Выберем в качестве обобщенных лагранжевых координат да- ортогональные декартовы координаты х , сг = 1,2,3. Найдем затем функцию так, чтобы выполнялось равенство (сравните с формулой (8.34)) [c.259]

В декартовых ортогональных координатах для консервативных систем этот закон имеет выражение [c.12]

Метод Эйлера. Рассмотрим движение среды в любой момент времени t относительно фиксированной декартовой ортогональной системы координат и обозначим теперь через х радиус-вектор фиксированной точки этого пространства. В различные моменты времени в точке X находятся различные физические частицы среды — вещество протекает в этом пространстве. Вместо того чтобы по методу Лагранжа следить за параметрами движения фиксированной физической частицы, будем следить за тем, с какими параметрами различные физические частицы в разные моменты времени [c.64]

Векторы X и —х в этом параграфе мы рассматриваем только в декартовых ортогональных координатах (в неподвижном репере Сг). По индексам ( , /, к, т, п=, 2, 3), повторяющимся как сверху, так и снизу, сохраняем правило суммирования и по-прежнему обозначаем греческими буквами (а, р, 7=1, 2, 3) индексы, по которым суммирование не производится. [c.79]

Адекватность методов Лагранжа и Эйлера в МСС позволяет пользоваться любым из них. Сначала будем следовать методу Лагранжа и систему координат Х1 в начальный момент времени считать декартовой ортогональной. Тензоры напряжений и дефор- [c.157]

Естественным обобщением является рассмотрение многообразия, элементы которого. составляют упорядоченные системы вещественных чисел, состоящие из т чисел. .., х , взятых в определенной последовательности. Условимся эти числа называть координатами точки в декартовой ортогональной системе осей, и говорить, что множеству всех систем чисел (х ,. .., х ) сопоставлено пространство т измерений. Если расстояние MN между двумя точками [c.805]

В приведенной таблице частично заданы направляющие косинусы углов л ежду осями двух декартовых ортогональных систем координат. Определить элементы нижнего ряда таблицы так. Чтобы система Ох Х з была правой. [c.52]

Заметим, что тензорное исчисление, элементы которого были выше изложены в декартовых ортогональных координатах, может быть распространено и на любые (в том числе и неортогональные) криволинейные координаты, на чем, однако, останавливаться здесь не будем. [c.103]

Пример 12. Задача о движении точки в центральном поле имеет алгебру первых интегралов, изоморфную алгебре Ли so(3). Все ее коммутативные подалгебры одномерны. Пусть Mj —проекции кинетического момента точки на t-ую ось декартовой ортогональной системы координат. Легко проверить, что функции AI1 и независимы и коммутируют. Так [c.105]

В дальнейшем будем рассматривать три ортогональные системы координат декартову, цилиндрическую и сферическую. [c.10]

В декартовой ортогональной системе координат = X . [c.146]

В декартовой ортогональной системе координат полная система уравнений движения вообще неоднородной вязкой несжимаемой жидкости имеет вид др др, др др р. [c.174]

Если система координат декартова, то и К — ортогональные орты. В этом случае giз=8ij, g =8" Назовем систему координат ортогональной, если в каждой точке ее базисные векторы Яг, Кз попарно перпендикулярны, т. е. равенства (Яг ЯО == =0, сли Фк, выражают необходимое и достаточное условие ортогональности координатной системы. Для ортогональной системы координат имеем [c.8]

С неподвижной системой отсчета свяжем декартову ортогональную систему координат (выбираем правую систему). Положение точки М определяем тремя координатами х, у, г. Если точка движется относительно системы отсчета, то ее координаты будут функциями времени [c.13]

Если, кроме того, для неизменяемой системы в качестве параметров Лагранжа мы возьмем начальные значения декартовых координат, то сопутствующие координаты будут ортогональными декартовыми координатами, оси сопутствующей координатной системы будут жестко связаны с телом ( вморожены в тело). Переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа будет представлять собой обычное ортогональное преобразование координат. Нетрудно проверить, что при таком преобразовании сохранится вид формулы для вычисления вихря [c.37]

В задаче о пространственном осцилляторе удобны декартовы-ортогональные координаты. Запишем (2.44) в проекциях на оси х, [c.87]

Для перехода от полярных координат к ортогональной системе декартовых координат (к локальной подвижной системе координат x y ) воспользуемся соотношениями (см. гл. 3) [c.258]

Например, для простой системы координаты являются декартовыми ортогональными обозначая дк Яж-2, Яги-и <7зь) радиус вектор А-той частицы, условия задания Г, получим в виде [c.16]

Метод Эйлера. Рассмотрим движение среды в любой момент времени t относительно фиксированной декартовой ортогональной системы координат и обозначим теперь х— радиус-вектор фиксированной точки этого пространства. В различные моменты времени в точке X будут находиться различные физические частицы среды, вещество будет протекать в этом пространстве. Вместо того чтобы по методу Лагранжа следить за параметрами движения фиксированной физической частицы, будем следить за тем, с какими параметрами различные физические частицы в разные моменты времени проходят через точку х пространства. Таки.м образом, мы можем построить поле интересующих нас параметров в неподвижном пространстве х. Это пространство с построенным в нем полем параметров движения, в первую очередь — с полем вектора скорости V физических частиц, называется эйлеровым. Каждая физи- [c.57]

Векторы х и и = х—х в этом параграфе мы рассматриваем только в декартовых ортогональных координатах (в неподвижном [c.74]

Как видно из рис. 1-1, базис, дуальный естественному, в каждой точке образуется векторами, ортогональными трем поверхностям, проходящим через точку X, вдоль которых одна из координат остается постоянной. Если система координат декартова, то векторы естественного базиса совпадают с соответствующими векторами дуального базвса во всех точках, как для любого ортонормального базиса. [c.18]

Радиальная и ионеречная скорость. Угловая скорость. Положим, что в плоскости относительно системы осей Оху декартовых ортогональных координат происходит движение точки Р, выражаемое уравнениями [c.106]

Применительно к эластомерам ряд теоретических и экспериментальных исследований проведен Уайтом, Метцнером и Токитой 128, 29, 81—84]. Уайт и Токита развили подход Грина и Ривлина и получили уравнение состояния (в декартовой ортогональной системе координат) в виде [c.48]

Спроектировав (21.14) на направления kj, что может быть выполнено при использовании формул (21.2), (21.4) и (21.9), получим систему из трех дифференциальных уравнений для функций Ф -. С)гщественно подчеркнуть, что в каждое из данных уравнений, вообще говоря, войдут все три функции, т. е. уравнения придется решать как систему, рассматривая их совместно. Отсюда следует, что проекции гармонического вектора на оси локального триэдра не являются гармоническими функциями, а это существенно осложняет решение. Исключение составляет частный случай, когда рассмотрение ведется в декартовых ортогональных координатах, поскольку тогда вышеуказанная система распадается на три независимых дифференциальных уравнения [c.230]

Наряду с декартовой ортогональной системой координат х = (ж1, Х2, жз), которая использовалась выше, и в которой можно не различать ковариант-ные и контравариантные составляющие векторов, введем систему криволинейных координат = (С , С > С )> где такое различие обязательно. Переход от одних координат к другим будем рассматривать как взаимнооднозначное непрерывное преобразование [c.193]

Введенная система координат з, т]), естественно, не является единственно возможной. Преимущество ее перед обычно используемыми системами координат — декартовой, цилиндрической и сферической— состоит в том, что границы исследуемой области в координатах 8, 1 ) обычно являются плоскими или прямыми линиями. Система координат х, 1 ) не является ортогональной подобные системы координат называют нормальными. При решении прямой задачи также используются координаты, в которых границы области переходят в плоскости или прямые липии, что достигается соответствующей нормировкой переменной у. [c.38]

При переходе от одной инерциальной системы к другой инерциальной системе переменные, характеризующие состояние движения точки — ее координаты и проекции скорости, — преобразуются на основе принципа Галилея. Переходя от инерциальной системы отсчета к системе, движущейся произвольно, мы должны пользоваться общими формулами преобразования коонрдиат. Здесь имеются в виду декартовы ортогональные координаты, поэтому преобразование координат будет линейным и ортогональным. [c.100]

Движение вязкой жидкости обычно рассматривается в эйлеровом пространстве. В таком случае из (15.1) получаем в декартовых ортогональных координатах [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...