Фазовые траектории — Определение 23 Свойства

Автоколебательные системы относятся к классу активных колебательных систем, определение которых было дано в 4.1. Однако, в отличие от активных систем, в которых вложение энергии можно однозначно описать с помощью отрицательного сопротивления и которые могут быть линейными и неконсервативными, автоколебательные системы принципиально нелинейны и неконсервативны. Это их свойство обусловливает возможность существования в автоколебательных системах стационарных по форме и величине колебаний, что в рамках представлений о фазовой плоскости означает наличие предельных циклов — асимптотических замкнутых фазовых траекторий. [c.186]

Предварительные замечания. Свойства общего решения (8) уравнения (1) характеризуют поведение фазовых траекторий колебательной системы в окрестности ее положения равновесия и определяют свойство этого решения — устойчивость по отношению к малым возмущениям начальных условий, малым возмуш ениям коэффициентов и к добавлению малых внешних сил. Строгое определение устойчивости соответствует определению устойчивости по Ляпунову. Чтобы ввести это определение, запишем уравнение (1) относительно 2я-мерной матрицы-столбца фазовых переменных X [c.94]

Граница в пространстве параметров является геометрическим местом их бифуркационных значений. На границе скачкообразно меняются свойства системы — в рассматриваемом случае вид автоколебаний. Изменению вида автоколебаний эквивалентно изменение предельного цикла фазовой траектории. Поэтому определение границы сводится к определению областей существования предельного цикла того или иного вида. [c.95]

Пусть такая коррекция осугцествляется в моменты О < < 2 < < ЛГ < /г Если время между последовательными коррекциями исчезает, то фазовая точка все чаще попадает на особое многообразие. В результате в процесс управляемого движения ТМ вносится эффект типа скольжения вдоль особой поверхности. Свойство особого многообразия (2.28) быть поверхностью скольжения оказывается при этом инвариантным по отношению к возмущениям. Возникает вопрос, будет ли с увеличением частоты импульсной коррекции фазовая траектория ТМ в определенном смысле стремиться к так называемому идеальному скольжению [38]. Это скольжение описывается исходной возмущенной системой с управлением, превращающим многообразие [c.168]

Из всего сказанного выше относительно свойств фазовой плоскости и фазовых кривых, нанесенных на ней, для линейных систем следует, что фазовая плоскость, по сути дела, является своеобразным векторным полем, свойство которого характеризуют не только направление касательной к данной интегральной кривой в любой точке этой плоскости, но и направления движения по фазовой траектории нашей изображающей точки, определяющей ход процесса, и, следовательно, и свойства звена. Фазовая плоскость, следовательно, не есть чисто геометрическое понятие, а является областью, настолько пропитанной векторами, что всюду, за исключением особых точек, эти векторы заставляют двигаться в определенном направлении и с определенной скоростью нашу изображающую точку наподобие того, как струи воды в быстринах увлекают за собой щепку. Наблюдая такие области в этих быстринах, где имеются вихревые движения, мы можем заметить, что эти щепки иногда описывают замкнутую, иногда разомкнутую траектории и иногда, будучи подхвачен струей, уносятся из данной области дальше. [c.225]

В диссипативных системах ситуация иная — по определению фазовый объем в таких системах в среднем сжимается, т. е. в среднем по фазовому пространству div и < О (и — векторное поле в фазовом пространстве). Хотя сжатие фазового объема — локальное свойство фазового потока (его можно проверить в любой момент времени в каждой точке), в практически встречающихся системах с трением или вязкостью оно часто влечет за собой глобальное свойство — существование в фазовом пространство аттрактора — замкнутого множества, к которому при t оо стремятся все окружающие траектории и остаются в нем. Устойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл — знакомые нам примеры регулярных аттракторов. Поскольку фазовый объем в диссипативной системе сжимается, аттрактор имеет нулевой фазовый объем. Всякая траектория, не принадлежащая аттрактору, является переходной. [c.464]

Рассматривается двухмерная задача об адвекции пассивной жидкости в поле скорости, генерируемом парой точечных вихрей в идеальной несжимаемой жидкости, ограниченной круговой областью. Показано, что при определенных условиях движение пассивных жидких частиц может проявлять хаотические свойства, которые приводят к интенсивному перемешиванию жидкости. Для идентификации таких областей использовались различные критерии и методы анализ фазовых траекторий, спектральных и корреляционных характеристик, построение сечений Пуанкаре, вычисление наибольшего показателя Ляпунова. [c.441]

Мы можем теперь перейти к уточнению понятия качественной картины фазовых траекторий или топологической структуры разбиения на траектории. Две топологические структуры разбиения фазовой плоскости на траектории, заданные двумя системами вида (6.1), называют тождественными, если существует топологическое (т. е. взаимно-однозначное и непрерывное) отображение плоскости в себя, при котором траектории одной системы отображаются в траектории другой этом траектория отображается в траекторию как при прямом, так и при обратном отображении). Это определение тождественности двух структур является косвенным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории. Можно сказать, что под топологической структурой разбиения на траектории (или, что то же самое, под качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения, которые остаются инвариантными при всевозможных топологических отображениях плоскости в себя. Примеры таких свойств были приведены выше. [c.412]

Поэтому естественно прежде всего выделить класс динамических систе м, у которых топологическая структура фазовых траекторий не меняется при малых изменениях дифференциальных уравнений. Такие системы мы будем называть грубыми . В настоящем параграфе дается точное математическое определение грубых систем и устанавливаются их основные свойства. [c.428]

Отдельная фазовая траектория представляет некоторое вполне определенное движение. Если требуется общее представление о всех возможных движениях колебательной системы (осциллятора), то изображается семейство фазовых траекторий. Такое семейство траекторий называется фазовым портретом осциллятора. Подобно тому как портрет человека позволяет составить известное представление о нем, фазовый портрет показывает специалисту важные свойства осциллятора. [c.21]

Диссипативной мы назвали динамическую систему, любое движение которой при t оо стремится к одному из ее устойчивых состояний равновесия. Из этого определения сразу же вытекают следующие дв свойства диссипативных систем 1) отсутствие замкнутых фазовы траекторий и соответственно отсутствие периодических колебаний 2) отсутствие фазовых траекторий, уходящих (при / -> схэ) в бесконечность, т.е. отсутствие неограниченно нарастающих движений. [c.86]

Системы Аносова демонстрируют простейший, идеальный тип гиперболич. поведения и редко встречаются в приложениях. Гораздо чаще условия гиперболичности выполняются лишь для траекторий, заполняющих нек-рое инвариантное множество, не совпадающее со всем фазовым пространством. При этом, в зависимости от того, существуют ли точки нейтрального типа и равномерна ли экспоненциальная скорость сближения траекторий в определении гиперболичности, различают полную и частичную, а также равномерную и неравномерную гиперболичности (здесь возможны любые комбинации). Полная и частичная гиперболичности выражаются в терминах характеристич. показателей грубо говоря, первое свойство — это отсутствие нулевых, а второе—наличие ненулевых показателей. [c.632]

Заключение о размешивающемся характере статистических систем является следствием представлений о релаксации. Следует отметить, что существуют еще более общие соображения, указывающие на ошибочность одной распространенной точки зрения. Мы имеем й виду точку зрения, согласно которой для применимости физической статистики, кроме принципа равновероятности начальных микросостояний (см. 4), достаточно самых общих свойств динамических систем вместе с единственной дополнительной характеристикой фазового пространства, состоящей в том, что подавляющее большинство траекторий, исходящих из заданной макроскопической области, приводит к более равновесному состоянию (см. 4). Такая точка зрения позволяет объяснить возрастание энтропии в ближайшем будущем, но ничего не может дать для определения поведения системы за длинные промежутки времени, и, в частности, для определения характера временного ансамбля системы и асимптотического — при больших временах — состояния системы (состояния релаксации). В рамках такой точки зрения, кроме того, невозможно объяснить, почему статистика применима к одним системам и не применима к другим, т. е. н е в о з м о ж-но определить границы приложимости физической статистики. Например, не может быть дан ответ на вопрос о том, почему части какого-нибудь сложного механизма (например, механического станка, очевидно целиком подпадающего под условия, на которых основана рассматриваемая точка зрения), не имеют во времени гиббсовского распределения по энергиям, или на вопрос о том, почему не устанавливается статистическое равновесие внутри неравномерно движущихся систем. [c.34]

Для исследования конкретных статистических свойств динамической системы необходима какая-то гипотеза, позволяющая проводить усреднение. В приложениях теории вероятностей, как известно, истинные вероятности определяются на основании статистических наблюдений частот появления тех или иных событий. Существование пределов этих частот есть следствие закона больших чисел. Для динамических систем вместо рядов статистических наблюдений рассматривают средние по времени характеристики траекторий. Такой характеристикой может быть, например, доля времени, проводимая отрезком траектории длины Т в определенной ячейке фазового пространства. В случае, когда для любой ячейки и большинства траекторий (за исключением, может быть, множества траекторий меры нуль) существует предел при Т оо доли времени, проводимого таким бесконечно длинным отрезком траектории в ячейке, и когда этот предел не зависит от траектории, ансамбль из отрезков траекторий называют эргодическим. Свойство эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю усреднением по времени. [c.461]

Указанное свойство статистических систем, тесно связанное с их принадлежностью к системам размешивающегося типа, определяется тем, что их механические траектории в фазовом пространстве обладают сильной неустойчивостью поэтому отклонение двух траекторий, как можно показать для примера идеального газа, возрастает со временем по экспоненциальному закину (см. диссертацию). Это свойство фазовых траекторий отмечалось Борелем. Например, как показывает простой расчет, аналогичный расчету, приведенному в диссертации, присутствие в системе, образованной атомами граммолекулы идеального газа (находящегося, допустим, в нормальных условиях), одного лишнего атома, или наличие внешнего (хотя бы только гравитационного) поля, происходящего от одного находящегося рядсм с рассматриваемой системой атома, совершенно изменяет траекторию системы. Уже через время порядка десяти времен свободного пробега распределение скоростей молекул будет независимым от того, которое было бы без возмущения. Распределение будет независимым в том смысле, что при определенном, получающемся без возмущениЯ векторе полной скорости системы в 3 -мерном импульсном пространстве, этот вектор при наличии возмущения может быть направлен в импульсном пространстве под любым углом к невозмущенному вектору в зависимости от того или иного действия возмущения (действие возмущения определяется тем или иным сочетанием микросостояния системы и параметров, задающих возмущение, в данном случае — положение возмущающего атома). [c.88]

Обратимся к позиционной импульсной коррекции, которая рассчитывалась по формулам (1.19), (1.20). Ее цель — сброс фазового изображения ОТМ на особую поверхность (1.21). Пусть такая коррекция осуществляется в моменты О < 1 < 2 < < лг < Ьр Тогда при сокращении времени между последовательными коррекциями фазовая точка все чаще попадает на многообразие (1.21) и тем самым в процесс управляемого движения ОТМ вносится эффект типа скольжения вдоль особой поверхности. Свойство многообразия (1.21) быть поверхностью скольжения оьсазывается при этом инвариантным по отношению к возмущениям. Возникает вопрос, будет ли с увеличением частоты импульсной коррекции фазовая траектория ОТМ в определенном смысле стремиться к так называемому идеальному скольжению [38]. Это скольжение описывается исходной возмущенной системой с управлением, превращающим многообразие (1.21) [c.161]

При исследовании нелинейных систем автоматического регулирования рассматривается тот же круг задач, что и при исследовании линейных систем, но, кроме того, проводится анализ условий существования и устойчивости автоколебаний. Очевидно, что в зависимости от вР1да задачи и свойств исследуемой системы может оказаться целесообразным применение различных методов. Так, задачи об устойчивости нелинейных систем решаются прямым методом Ляпунова, частотным методом В. М. Попова, методом фазовых траекторий и точечных преобразований, методом гармонической линеаризации. Последние два метода широко используются также для определения параметров автоколебаний и позволяют вычислить переходные процессы в системах. [c.146]

Полезно отметить определенную устойчивость правил квантования (1.2). Она связана все с тем же свойством движения существованием точно N интегралов движения. Предположим, что мы хотим огрубить траектории и вместо бесконечно малой области dq в окрестности точки q рассмотреть конечную область Дд. Другими словами, пусть суммирование в формуле (1.9) производится не по точным замкнутым орбитам, а по таким, которые замыкаются в малой, но конечной области фазового пространства ДГ. Одпако реальная траектория системы ие может сойти со своего тора и перейти на другой тор (без наличия возмущения). Поэтому точность в определении велпчпн h. будет та же ДГ. Следовательно, правила квантования (1.2) будут определяться с той же относительной точностью, с которой отбираются периодические траектории. Именно поэтому, в частности, оправдан переход от точрюго выражения (1.4) к асимптотической формуле (1.5), полученной методом перевала. [c.243]

Это выражение заимствовано из теории вероятностей и справедливо при условии, что попадания траектории в различные ячейки статистически независимы. Динамическая система называется бернуллиевской, или сдвигом Бернулли, если она обеспечивает выполнение этого условия для некоторого определенного разбиения (фазового пространства), которое тоже называется бернуллиевским. Хотя это свойство кажется на первый взгляд очень сильным (максимальным ), на самом деле это не совсем так из-за сингулярности бернуллиевских разбиений в большинстве случаев (см. [497]).— Прим. ред. [c.304]

Для каждой конкретной системы проверка этих условий представляет собой чрезвычайно трудную математическую задачу. Поэтому мы обычно будем ограничиваться проверкой более слабых условий. В частности, будем пользоваться критерием стохастичности, в основе которого лежит определение величины Н, характеризующей разбегание соседних траекторий в линейном приближении если эта величина положительна, то движение стохастично . Математическим образом стохастического движения динамической системы является стохастическое множество траекторий в ее фазовом пространстве. Для гамильтоновых систем и диссипативных систем эти множества обладают различными свойствами. [c.463]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...