Уравнения плоскости эллипсоида

Действительно, уравнение плоскости л, касательной к эллипсоиду инерции в точке Р с координатами х, у, z, есть [c.186]

Уравнения плоскостей круговых сечений гирационного эллипсоида получим как пересечение поверхности этого эллипсоида со сферой [c.204]

Эта лоскость сохраняет постоянную ориентацию в пространстве, тан как она перпендикулярна к кинетическому моменту в силу свойства 1°, а кинетический момент не изменяется на основании теоремы моментов. Остается показать, что эта плоскость находится на постоянном расстоянии от неподвижной точки О, принятой за начало координат. Уравнение плоскости, касательной к эллипсоиду (1) в точке /, имеет в текущих координатах т], вид [c.91]

Если два из моментов инерции равны, например А = В, то уравнения (10) удовлетворяются при р = q = О и любом г (вращение вокруг главной оси инерции Oz) а также при г = О и любых р и q (вращение вокруг любой оси, проходящей через точку О, лежащей в экваториальной плоскости эллипсоида инерции и, следовательно, являющейся главной осью инерции). [c.191]

Найдем условия выбора /, для которого плоскость диска будет плоскостью кругового сечения гирационного эллипсоида в точке закрепления О. В работе [1] эти условия получились неверными, так как ошибочно была приравнена угловая скорость тела к проекции этой скорости на направление вектора кинетического момента тела. Эти условия проще получить непосредственно из уравнения гирационного эллипсоида в осях, показанных на рис. 1, Найдем согласно рисунку осевые моменты инерции модели [c.113]

Чтобы получить уравнение гирационного эллипсоида в точке О, возьмем на эллипсоиде (3) любую точку т х, у, г), радиус-вектор которой обозначим через г, и построим в этой точке эллипсоида касательную плоскость. Опустим далее из центра О перпендикуляр на эту плоскость, обозначив его длину через б, а затем произведем инверсию точки пересечения перпендикуляра с плоскостью относительно сферы единичного радиуса. Для этого отложим на том же перпендикуляре вектор 0ml =Гь величина которого [c.113]

Рассмотрим, как находится геометрически направление, определяемое углами ос, Y, если известны углы а, у. Пусть мгновенная ось вращения пересекает эллипсоид инерции в точке (S, тг), С) радиус-вектор этой точки обозначим через р. Проведем через точку (S, Tfj, С) касательную плоскость к эллипсоиду и отыщем косинусы углов с осями нормали п к этой плоскости. Так как уравнение нашего эллипсоида есть [c.606]

Покажем, что уравнение (1.4.13) с точностью до величин первого порядка малости совпадает с уравнением сжатого эллипсоида вращения. Действительно, в декартовой прямоугольной системе координат Охуг, начало которой совпадает с центром масс эллипсоида, ось Ог проходит по оси вращения, а оси Ох и Оу расположены в экваториальной плоскости, уравнение эллипсоида вращения [c.26]

Было показано, что каждой точке твердого тела соответствует семейство подобных эллипсоидов инерции. Если построить поверхности, взаимные этим эллипсоидам инерции, то получим другое семейство подобных эллипсоидов, коаксиальных первым и таких, что моменты инерции твердого тела относительно перпендикуляров, опущенных из центра на касательные плоскости к любому из полученных эллипсоидов, пропорциональны квадратам длин этих перпендикуляров. Гирационным называется тот эллипсоид, для которого момент инерции относительно перпендикуляра, опушенного на его касательную плоскость, равен произведению массы тела на квадрат длины этого перпендикуляра. Уравнение гирационного эллипсоида [c.32]

Из сравнения уравнения эллипсоида инерции с уравнением рассматриваемого эллипсоида видно, что одно может быть получено из другого вычитанием одной и той же величины из каждого коэффициента перед Х , 2 . Значит, плоскости, производящие круговые сечения этих эллипсоидов, совпадают. [c.34]

Уравнение плоскости, касающейся эллипсоида в точке О, имеет вид [c.391]

Однородный диск радиуса а и массы т катится без скольжения ио горизонтальной плоскости. Составить уравнения движения диска 1) в координатах хс, ус, 9, ф, ср, где Хс, Ус — координаты центра масс диска, 0, ф, ср — углы Эйлера, 2) в координатах х, у, 6, ф, ср, где X, у — координаты точки контакта диска с плоскостью, Ф> Ф — углы Эйлера (см. задачу 50.11) 3) в квазикоординатах р, у, г, являющихся проекциями вектора мгновенной угловой скорости вращения диска на главные оси центрального эллипсоида инерции А, С — главные центральные моменты инерции диска., [c.386]

Доказательство. Уравнение эллипсоида инерции представим в виде X Лх = 1. Зададим плоскость П уравнением у Лх = 1, где X — постоянный вектор, а конец вектора у выделяет точку плоскости. Допустим, что плоскость П сечет эллипсоид. Тогда существует вектор у, конец которого одновременно принадлежит плоскости П и эллипсоиду, причем у ф х. Для такого вектора у должны быть выполнены равенства [c.48]

Уравнение, полуоси, оси, центр, плоскости симметрии, сечение. .. эллипсоида. [c.104]

Для этой волны Ед = О, а отношение ,/ 2 " tgO. Эта необыкновенная волна поляризована в плоскости главного сечения и волновая поверхность [см. (3.13) является эллипсоидом вращения, уравнение которого [c.128]

Действительно, предположим, что в уравнении (1.94) ху = — = о, и рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью [c.82]

Возьмем для определенности положительный знак в правой части равенства (f). Проведем через точку M( i,r]i, i) плоскость, касательную к эллипсоиду инерции. Уравнение этой плоскости имеет такой вид [c.417]

Чтобы упростить исследование, выберем неподвижную систему координат так, чтобы ось Ог совпадала с постоянным вектором Lo. Тогда уравнение неподвижной плоскости, по которой катится эллипсоид инерции тела, имеет вид [c.418]

Эллипсоид вращения (d —большая полуось, 6 —малая полуось) катается по абсолютно шероховатой плоскости. Написать уравнение кинематической связи, приняв за обобщенные координаты X, у, 0, ф, (р, где X, у —координаты точки соприкосновения эллипсоида с плоскостью, 0, ф, ф — углы Эйлера. [c.383]

Напряжения, представленные радиусом-вектором эллипсоида напряжений, действуют на площадке, параллельной касательной плоскости к направляющей поверхности напряжений в точке ее пересечения с названным радиусом-вектором. Это можно показать следующим образом. Уравнение касательной плоскости к направляющей поверхности напряжений (113) в некоторой точке с координатами х , Уо, Zg, представляется в виде [c.233]

На рис. 267 показаны главные сечения эллипсоида [уравнение (2)1, лежащие соответственно в плоскостях [c.215]

Полодия. Найдем уравнение полодии. С этой целью отнесем эллипсоид инерции к его осям. Мы можем определить полодию как геометрическое место точек т(х. у. г) эллипсоида, в каждой из которых касательная плоскость [c.163]

Уравнения движения тяжелого тела на совершенно гладкой горизонтальной плоскости. Предполагается, что тело ограничено произвольной выпуклой поверхностью 5, определяемой следующим образом. Пусть Оху г — главные оси инерции для центра тяжести тела. Проведем касательную плоскость Я к поверхности 5 и обозначим через 7, 7, 7" косинусы углов, которые образует нормаль Ог к плоскости Я с осями Охуг. Расстояние С от точки О до касательной плоскости Я, а также координаты х, у, г точки касания суть известные функции косинусов 7, 7, 7". Например, если 5 есть эллипсоид с осями а, Ь, с, направленными по Охуг, то для С получается значение [c.227]

Промежуточный случай В = 0. — Исключительным случаем, промежуточным между двумя предыдущими, будет тот, когда В= О, т. е. когда расстояние Р равно длине средней полуоси эллипсоида инерции. Конус вырождается тогда в две плоскости, уравнение которых имеет вид [c.95]

Отсюда следует, что две угловые скорости 0)5 и (1)3 лежат в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через ОГ. С другой стороны, в силу уравнения (9), обе они лежат в плоскости, сопряженной с направлением ОГ в эллипсоиде инерции. Три вектора (05, сОд и (ОГ) не лежат поэтому в одной плоскости. [c.156]

Несмотря на усилия многих великих математиков, проинтегрировать в общем виде дифференциальные уравнения этой задачи не удалось. Из двух интегралов импульса, выражаемых соотношениями (25.6), первый остается в силе, так как момент силы тяжести и в этом случае действует относительно горизонтальной оси, вследствие чего конец вектора N остается в горизонтальной плоскости, неподвижной в пространстве. Однако второе из соотношений (25.6) теряет силу, поскольку оно было связано с симметрией эллипсоида инерции. Интеграл энергии (25.7), разумеется, сохраняет силу и для общего случая эллипсоида инерции. [c.184]

Мы получим такое решение, если шесть компонент давления Хх, У у,. приравняем любым постоянным. Действительно, тогда величины Хх, Уу,. .. сделаются постоянными, и, как мы уже это видели в предыдущем параграфе, уравнения (1) в этом случае будут удовлетворены и и, V, щ окажутся линейными функциями х, у, г. Последнее обстоятельство указывает, что при таком предположении из.менение, которое тело претерпевает при переходе из своего естественного состояния, является таким, что новые координаты каждой его точки будут линейными функциями старых, так что каждая плоскость перейдет в плоскость, каждый шар — в эллипсоид. [c.327]

Из уравнения (6) видно, что если покоящееся тело приведено в движение импульсивной парой (X, [х, v), то начальная ось вращения будет направлена по диаметру эллипсоида инерции, сопряженному с плоскостью пары ( 30). [c.106]

Для оправдания этого названия заметим следующее. При произвольном выборе начальных значений проекций угловой скорости р, q, г или, что одно и то же, при произвольном начальном значении Вектора ш, эти величины изменяются с течением времени в согласии с уравнением 18 ) или с уравнениями (5 ), а также в согласии с условиями качения эллипсоида инерции по плоскости t. Если же начальное мгновенное вращение происходит (при какой угодно величине и стороне) вокруг одной из главных осей инерции, то в силу гех же уравнений (18 ), или уравнений (5 ), или на основании геометрического представления Пуансо угловая скорость ю будет сохраняться неизменной также и в последующие моменты. В конце концов, здесь речь идет о таких же статических решениях, уравне ний (б ), о которых говорилось ранее (гл. VI, п. 17). [c.89]

Это уравнение выражает, что ось 0G, проходящая через центр тяжести, должна быть нормальной к той или другой из двух действительных плоскостей круговых сечений так называемого взаимного эллипсоида инерции [c.171]

Чтобы найти ее параметрические уравнения, мы предположим, как это можно сделать, не нарушая общности, что Л > В > С, и начнем с замечания, что если речь идет о действительном движении и, следовательно, если полодия действительна, то постоянная D необходимо будет заключена между А и С. Чтобы убедиться в этом, вспомним, что D есть величина, обратная квадрату расстояния точки О от неподвижной плоскости т, касательной к эллипсоиду инерции в полюсе Q (п. 11), и потому, наверное, будет, заключена между величинами, обратными квадратам наименьшей и наибольшей полуосей этого эллипсоида, т. е. между Л и С. [c.174]

Для эллипсоида инерции, являющегося эллипсоидом вращения, любая ось, проходящая через точку О и лежащая в экваториальной плоскости, служит главной осью инерции. Поэтому будем для простоты вычислений считать, что ось Ох проходит через центр тяжести, т.е.Ь = 0. Тогда динамические уравнения Эйлера (35) в случае Ковалевской принимают вид [c.206]

При вычислении тройного интеграла но объему D цилиндра мы перешли в плоскости Сху (область D — круг радиуса R с центром в точке С) к полярным координатам (см. Пискупов И. С. fVn.4j, т. II, гл. XIV, , 5, 13). Очевидно, 1у = х. Уравнение центрального эллипсоида инерции в главных осях xyz получается из (22.4) [c.397]

Эту поверхность называют направляющей поверхностью. Легко показать, что площадка, к которой относится какой-либо радиус-вектор эллипсоида напряжений, параллельна плоскости, касательной к направляющей поверхности в точке пересечения ее с выбранным радиусом-вектором. В самом деле, уравнение плоскости, касательной к направляющей поверхности в какой-либо точке хо, i/o, го, напишется так [c.27]

Интеграл Ковалевской. Третий интеграл был найден в специальном случае, когда А В = 2С, к центр тяжести лежит в экваториальной плоскости эллипсоида ииерции тела, т. е. при 1=0 ). Рассмотрим способ, с помощью которого Ковалевская иашла новый интеграл. Так как А =- В, возьмем плоскость АОС, содержащую центр тяжести, и поэтому k = О, I = 0. Из уравнений (1), (2) выводим, что [c.185]

Таково дифференциальное уравнение геодезических линий эллипсоида. Простая геометрическая интерпретация этого уравнения приведет к теореме, установленной Иоахимсталем если р — расстояние от центра эллипсоида до касательной плоскости в точке Л1 геодезической линии, О — длина [c.423]

Эллипсоид, уравнение которого мы только что получили, носит название эллипсоида инерции для точки О его плоскости и оси симметрии называются главными плоскостями и главными осями инериии относительно рассматриваемой точки. Эллипсоид инерции для центра тяжести называется и нтральным эллипсоидом инерции, В общем случае в каждой точке имеются только три главные оси инерции если эллипсоид инерции для данной точки является эллипсоидом вращения, то имеется бесчисленное множество главных осей инерции, и все они лежат в его экваториальной плоскости наконец, если эллипсоид обращается в сферу, то все оси, проходящие через точку, являются для нее главными. [c.21]

Обозначим через нормальную реакцию плоскости Р на вершину А и заметим, что нормальные реакции плоскости Р на сторону А А можно привести к двум вертикальным силам N2. и N , приложенным в точках А и Лд. Эти реакции будем считать положительными при направлении вверх. Примем в качестве осей, связанных с движущимся телом, ось Ох, направленную по ОА , ось Оу, параллельную Л2Лд, и ось Ог, нормальную к плоскости треугольника и направленную вверх. Тогда уравнение эллипсоида инерции относительно точки О имеет вид [c.195]

Эти равенства показывают, что ось мгновенного вращения Ш1, сообщенного телу рассматриваем.51м ударом, являетсд диаметром эллипсоида инерции, сопряженным с плоскостью, проведенной через точку О и вектор удара. В самом деле, если через ЛГ, У, 2 обозначить текущие координаты, то уравнение этой плоскости имеет вид [c.447]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...