Уравнения плоскости тригонометрические

Различают линии плоские и пространственные. Плоской называют линию, все точки которой принадлежат одной плоскости. Если линия описывается аналитическим уравнением, то она называется закономерной. Другие линии называют незакономерными. Линии называют алгебраическими, если они описываются алгебраическим уравнением. Если в уравнении есть тригонометрические функции, линия называется трансцендентной. [c.118]

Таким образом, максимальное ii минимальное напряжения, т. е. главные напряжения, будут для каждой точки бруса действовать в двух взаимно перпендикулярных главных плоскостях. Для определения главных напряжений вспомним, что тригонометрические функции, входящие в уравнение (44), могут быть представлены в виде [c.90]

Для произвольно нагруженной оболочки вращения, а также для незамкнутой цилиндрической оболочки, опертой по торцам на жесткие в своей плоскости диафрагмы, о помощью разложения в тригонометрические ряды достигается разделение переменных, и задача сводится к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В 26 и 28 соответствующие уравнения записаны в виде, удобном для численного интегрирования на ЭВМ методами, изложенными в гл. И. [c.233]

Уравнения (6.66) и (6.67) относительно легко решаются в тригонометрических рядах по угловой координате ф. Рассмотрим случай нагружения оболочки силами, симметричными относительно вертикальной плоскости симметрии оболочки. Будем считать, что — 0. Радиальную нагрузку Рп и тангенциальную нагрузку рф в этом случае можно представить в форме рядов Фурье с коэффициентами, зависящими от осевой координаты х [c.164]

Большое внимание уделено постановке и решению ряда практических задач о растяжении плоскости с отверстиями, о давлении штампов на полуплоскость и полосу, о сжатии и волочении полосы. Определение полей напряжений и скоростей, вообще говоря, приводит к комбинациям краевых задач для канонических систем уравнений, а иногда может быть достигнуто в замкнутой форме или в тригонометрических рядах. [c.5]

Таким образом, наша задача привелась к решению уравнения Матье [151]. Исследование свойств интегралов этого уравнения приводит к заключению, что на плоскости двух действительных переменных а, д существуют такие области, включающие в себя ось д = О, что для значений параметров а, д, принадлежащих этим областям, интегралы уравнений (8), (9) представимы сходящимися тригонометрическими рядами. Следовательно, для таких параметров функции Ь и Т будут ограничены для всех значений времени, колебание жидкости будет оставаться в известных пределах и поверхность жидкости будет устойчива при колебаниях сосуда. [c.372]

Выводом уравнений изгиба пластинок, на основании молекулярной модели и обпщх уравнений теории упругости, занимались Пуассон, Навье и Коши. У Навье мы находим вполне строгое уравнение для статического изгиба пластинки как для случая нормальной нагрузки, так и для случая выпучивания пластинки под действием сил на контуре, лежащих в плоскости пластинки В случае свободно опертой прямоугольной пластинки Навье получил правильное решение, использовав двойные тригонометрические ряды. Общим анализом условий на контуре пластинки занимался Пуассон , однако он сформулировал одно лишнее условие на контуре в случае задания на нем внеш-58 них сил. Правильное число условий было указано позже Г. Кирхгофом и ясно интерпретировано физически В. Томсоном . Кирхгофу принадлежит общая теория изгиба стержней, а также теория пластинок, основанная на четких гипотезах, близких к гипотезе плоских сечений в элементарной теории изгиба, и вполне строгий вывод известных уже уравнений малых прогибов пластинок при помощи принципа виртуальных перемещений. Позже Кирхгоф и Клебш развили теорию для не слишком малых прогибов пластинок. [c.58]

Решение задачи строится с использованием функции напряжений Эри Ф(л , у), при этом Ф(л , у) представляется в форме бесконечных тригонометрических и гиперболических рядов. В результате удовлетворения граничных условий получены бесконечные системы уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ф(л , у). Показано, что эти системы квазивполнерегулярны. Получены выражения для напряжений при у—О с выделенрюй особенностью [248]. Рассмотрены некоторые частные случаи и видоизменения первоначальной задачи. Например, рассмотрены задачи о полосе с периодическими включениями, параллельными ее кромкам, случай, когда эти включения перпендикулярны кромкам, а также плоскость с двоякопериодическими включениями. [c.164]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

Оставляя в стороне тригонометрические выкладки, приведем иаброски общих рассуждений. Первоначально Лаплас составил уравнения движения, соответствующие уравнениям (II) п. 560, причем ось GZ предполагалась перпендикулярной к плоскости неподвижной эклиптики. Он вывел уравнения, аналогичные уравнениям (IV), и заметил, что sin / представляет собой селеноцентрическую широту. Земли, измеренную от неподвижной плоскости, и ее можно заменить рядом вида 2 sin 0 -1- 2с sin ф, где 0 - (п + g) — Р, ф = ( — h) t — 7. Здесь nt — средняя селеноцентрическая долгота, отсчитываемая от неподвижной точки весеннего равноденствия, а—gt - р —долгота восходящего узла лунной орбиты на движун епся эклиптике, отсчитываемая от той же точки весеннего равноденствия. Функции 2с sin (/ I-1-7) и 2 os (/li7) зависят от движения эклиптики. [c.429]

В рамках QG-модели вид вертикального сдвига не лимитируется, но для горизонтального сдвига это не так. Как было показано, для течений с горизонтальным сдвигом скорости нелинейное уравнение для потенциальной завихренности (2.1) может быть сведено к линейному уравнению Гельмгольца для возмущения давления только в следующих случаях на /3-плоскости — для бессдвиговых течений, а на / -плоскости — для течения с линейным и синусоидальным (гиперболическим или тригонометрическим) [c.665]

Таким образом, решение (15.48), (15.50) удовлетворяет волновому уравнению при г Фга, принципу, предельного поглошения и условию в источнике. Следовательно, формулы (15.48), (15.50) дают поле точечного излучателя в слоистой среде с показателем преломления (15.44). Можно убедиться, что при <7-> 0, когда среда становится однородной, полученное решение сводится к сферической волне р(г го) = - (4яЛ) ехр(/Аг Л Л), Решение для среды с (г) - I <7 I г строится аналогично изложенному вьпие. Его можно получить из (15.48), полагая <7=/ <7 I, При зтом гиперболические функции переходят в тригонометрические. Чтобы оодынтегральная функция не была сингулярной во внутренних точках контура 7, его следует сместить с вещественной оси в четвертый квадрант комплексной плоскости s. В работе [393] полученные решения подробно анализируются в с аяхволноводногоиантивдановодного распространения. Там же построено аналогичное (15.48) точйое решение для поля параллельного оси Ох линейного источника в двумерно-неоднородной среде с = [c.344]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...