Фазовая плоскость. Точечное преобразование

Фазовая плоскость. Точечное преобразование. Так же как и в 3 настоящей главы, фазовая плоскость лс,, у рассматриваемой динамической системы (8.30) разбивается прямыми дг = - -1ид = — 1 на три области (/), II) и III), в каждой из которых уравнения (8.30) линейны (рис. 383) при этом траектории являются непрерывными кривыми при переходе через эти границы областей линейности, равно как и на всей фазовой плоскости. Кроме того, разбиение плоскости х,у [c.541]

В тех случаях, когда механическая характеристика в пределах данного листа фазовой плоскости линейна, аналитическое выражение для инверсных линий переключения может быть получено по той же методике, которая использовалась выше. Пусть, например, движение системы определяется уравнением (16). Тогда для определения 5 , являющейся по определению точечным преобразованием /7(7 ", -Сп) линии 5° , можно использовать функцию соответствия (65) и (66). Потребовав, чтобы начальные значения и 6 удовлетворяли уравнению линии 5и(68г), получим [c.55]

Если на фазовой плоскости лежит прямая, через точку А которой проходит устойчивый цикл, то происходит точечное преобразование самого в себя некоторого включающего точку А отрезка этой прямой. [c.567]

Точечное преобразование. Фазовая плоскость х, у рассматриваемой системы заполнена кусками траекторий соответствующих линейных уравнений (8.21) эти куски траекторий склеиваются своими концами на прямых дг = — 1 и л = -j > образуя целые фазовые траектории. Изучение структуры разбиения на траектории такой склеенной фазовой плоскости может быть проведено путем рассмотрения точечного преобразования полупрямой х = — у< 0 (полупрямой S) самой в себя, осуществляемого при движении изображающей точки по соответствующим кускам траекторий. [c.522]

Итак, точечное преобразование П полупрямой 5 в полупрямую имеет единственную и притом устойчивую неподвижную точку (5 = 51 = 5, 5 = ). Соответственно, на фазовой плоскости имеется единственный (симметричный и устойчивый) предельный цикл, к которому стремятся при все фазовые траектории (рис. 389),— в схеме при 1 и при любых начальных условиях устанавливаются автоколебания ). [c.550]

На рис. 405 изображено разбиение на траектории фазовой плоскости системы судно- -двухпозиционный авторулевой с жесткой обратной связью. Можно показать, например, путем сведения задачи к некоторому точечному преобразованию прямой в прямую, что все траектории при ->- -оо стремятся к устойчивому состоянию равновесия лг = 0. Это означает, что судно при любых начальных условиях будет выходить на заданный курс, причем на последнем этапе 19 Теория колебаний [c.577]

Рис. 7.16. Области фазовой плоскости при точечном преобразовании

Проекции фазовых траекторий на плоскости ж, х вновь и вновь пересекают прямые X = а ж X = Ъ. При этом возможны шесть различных способов перехода, соответствующих преобразованиям Т Га, Ни и 8%. Изучение этих точечных отображений показало, что в пространстве параметров системы существует счетное число областей, соответствующих существенно различным сложным периодическим движениям. Предельным точкам этого счетного множества областей отвечают системы, у которых рабочим режимом работы является устойчивое, по Пуассону, непериодическое движение. [c.145]

Изображение регистрируется прибором (например, человеческим глазом, фотографической эмульсией, мозаичными твердотельными детекторами микроскопа), который реагирует только на интенсивность. Кроме того, фазы точечных источников, образующих предмет , в некоторых случаях оказываются пространственно-некоррелированными. В этих случаях линза служит лишь для установления соответствия между распределениями интенсивности в двух сопряженных плоскостях. Отличая случаи фазово-коррелированных и некоррелированных источников, мы будем говорить соответственно о когерентном и некогерентном изображении, В реальной жизни мы часто имеем дело с оптическими полями, которые являются частично коррелированными. Например, в микроскопах обычно используется облучение светом, который не полностью когерентен. При этом требуется применение точного анализа, связанного с преобразованием корреляционных функций [34] (см. разд. 1.8). [c.320]

Па рис. 7.22 изображен фазовый портрет точечного отображения Т на секущей плоскости при г = 24,06. При преобразовании Т четырехугольник Г1Л 1Г2Л 2 преобразуется в себя так, что [c.190]

Уравнения (4) — (6) определяют требуемое точечное преобразование в параметрической форме с двумя параметрами q и Разбиение фазового пространства х, у) на тректории определяется взаиморасположением кривых и=-и ц) и у = у(т1) на совмещенных плоскостях (т], и) и (т], v). Исследование взаиморасположения кривых проводится элементарно при использовании t] и как параметров. [c.406]

До сих пор мы рассматривали оптические системы, в которых используется некогерентное освеш,сние. В таких системах усредненный по времени квадрат электрического вектора складывается липейпо от точки к точке в плоскости изображения, т. е. отсутствует интерференция. Поэтому подобные системы всегда ведут себя как низкочастотные фильтры прострапственных частот. Чтобы оптические фильтры были столь же разнообразными, как и электрические, необходимо обеспечить возможность интерференции. При этом нужно учитывать, что интерференция не всегда лишь искажает изображение, но может быть использована и для улучшения его качества. Короче говоря, нужно иметь возможность воздействовать на амплитудное и фазовое распределение точечного изображения. Как показали Марешаль и Крое [17] и О Нейл [18], это возможно при использовании когерентного освеш ения в плоскости объекта. В схеме фиг. 6.8 преобразование Фурье для структуры прозрачного объекта производится тогда, когда свет проходит от плоскости объекта к плоскости фильтра. В соответствии с принципом Аббе фурье-составляюш,ие структуры объекта в результате действия второй линзовой системы рекомбинируют, образуя изображение. Необходимо иметь в виду, что в этой схеме оптическая система, расположенная слева от объекта, используется просто для когерентного освеш ения плоскости объекта. Можно считать, что изображение в такой системе [c.154]

Таким образом, рассматривая точечное преобразование полуоси положительных лг самой в себя, осуществляемое фазовыми траекториями и выражаемое функцией последования (3.19), мы доказали, что на фазовой плоскости лампового генератора имеется единственная замкнутая фазовая траектория, соответствующая периодическим, незатухающим колебаниям в генераторе. Однако, для того чтобы утверждать, что эти незатухающие колебания действительно могут происходить и что наши высказывания о наличии периодического режима имели физическое значение, нам следует ответить еще на два вопроса. Во-первых, на вопрос о том, при каких начальных условиях устанавливается найденное нами периодическое решение, в частности установится ли оно, если начальные значения х и х будут достаточно малы. Во-вторых, на вопрос о том, устойчиво ли найденное периодическое движение по отношению к произвольным малым изменениям начальных условий, например по отношению к изменениям максимального значения силы тока. На оба эти вопроса мы легко сможем ответить, рассматривая график функции последования (3.19) — так называемую диаграмму Ламерея (рис. 124). Очевидно, графиком функции последования (3.19) является прямая линия с угловым коэффициентом [c.187]

В связи с этим, чтобы упростить задачу исследования динамики системы и свести ее к изучению точечного преобразования прямой в прямую, нам придется в дальнейшем ограничиться рассмотрением только некоторого частного класса движений системы, которым мы сможем сопоставить траектории на некоторой двулистной поверхности, выделенной из полного (функционального) фазового пространства. Обозначим через множество состояний (в произвольные моменты времени i ), удовлетворяющих условию, чтобы при t — координата электрозолотника I не обращалась в нуль, и будем рассматривать ниже только те движения системы, которые начинаются из этих состояний. Состояния типа Kf, (т. е. принадлежащие к множеству /Со) в любые моменты времени однозначно задаются значениями X ч у в те же моменты времени, и мы будем поэтому отображать их (взаимно однозначно и непрерывно) точками " (лг, у) на плоскости X, у, из которой исключена прямая = х- - у = 0 (на плоскости /ITo) ). [c.592]

Такое преобразование можно интерпретировать двояко как пассивное или как активное . Первое из них есть так называемое аффинное преобразование плоскости, связанное с изменением масштабов по осям и поворотом осей с нарушением их ортогональности. Второе — называется точечным преобразеванием, когда формулами преобразования устанавливается взаимно однозначное соответствие между двумя плоскостями, определяемыми координатными системами ху и г), которые предполагаем ортогональными путем этих преобразований каждая точка первой плоскости переводится в точку второй. Мы будем иметь в виду именно последнее активное преобразование. Заметим, что вследствие линейности преобразования в обоих случаях прямая переходит в прямую, точки пересечения кривых соответствуют друг другу и каждая замкнутая фигура преобразуется в замкнутую же. т. е. топологическая структура фазовой плоскости не изменяется. Выражая теперь из уравнений (2.65) X и у через и т), подставляем эти значения в уравнения [c.55]

Качественное исследование системы (П.22) состоит в изучении основных элементе фазового портрета - особых точек, сепаратрис и предельных циклов. Но замкнутые фазовы траектории (в частности, предельные циклы) на фазовом цилиндре могут быть двух типов охватывающие и не охватывающие цилиндр. Для изучения замкнутых траекторий второ типа пригодны все методы и результаты, изложенные выше для систем на фазовой плоскости Отыскание предельных циклов, охватывающих цилиндр, можно проводить с помощь точечного преобразования какой-либо образующей цилиндра 0 = бц в себя. Если через точки некоторого отрезка образующей 0 = Оц проходят фазовые траектории, охватывающие цилиндр (рис. П. 9), то эти точки имеют последующие на том же отрезке, и можно пытаться построить функцию последования у = / у) данного точечного преобразования. (Как и в случае фазовой плоскости, вычисление функции последования наиболее просто Щ)оводигся для кусочно-линейных систем.) Неподвижные точки у, определяемые уравнением у = / у), являются точками пересечения [c.337]

Рассмотрим рис. 1.5, на котором изображена объектная маска с двумя очень малыми апертурными отверстиями В и С, однородно освещенными квазимонохроматическим светом от удаленного источника. Плоские волны поступают по нормали к маске, а сферические волновые фронты расходятся из В и С. Схема такая же, как и в опыте Юнга, за тем исключением, что теперь дополнительно у нас есть линза, которая создает изображение точечных отверстий в плоскости, расположенной, как показано на рисунке. Непосредственный интерес представляет, однако, задняя фокальная плоскость линзы. Рассмотрим любую точку Р, лежащую в направлении под углом 0 к оси линзы в ней складываются вместе и интерферируют только составляющие, распространяющиеся от В и С в направлении 0 (сравните с опьггом Юнга, где интерференция в точке Р на рис. 1.1 происходит между светом, распространяющимся от апертур в разных направлениях). Мы увидим, что конкретная дифракционная картина (определяемая ниже как фраун-гоферовская) в задней фокальной плоскости отображающей линзы является особенно важным промежуточным шагом в формировании изображения, выполняемом линзой. Это позволяет оценить конечную стадию формирования изображения и предоставляет единственную и особую по своей важности возможность для преобразования изображения. Указанное обстоятельство подробно обсуждается в гл. 5, но здесь мы исследуем некоторые свойства картины, сформированной в описанном выше примере. Прежде, однако, отметим, что для экспериментального получения таких дифракционных картин Фраунгофера необходимо обеспечить существование статистических фазовых соотношений, обусловленных когерентным освещением (см. замечания в предьщущем разделе о различиях между когерентным и некогерентным формированием изображения). До гл. 5, где вновь обсуждается эта разница, мы будем (если не указано особо) предполагать, что условия когерентности выполняются. [c.20]

На рис. 7.17 изображен общий вид фазового пространства и секущей 2 при значениях параметра г, несколько меньших 1.3,92. НанЬмним, что остальные параметры а и Ь предполагаются ради определенности фиксированными о = 10, Ь = 8/3. При возрастании г вплоть до значения г = 13,92 вторые точки пересечения Л, и N2 интегральных кривых и 5 с секущей плоскостью 2 приходят на линию разрыва Я. Это соответствует появлению у состояния равповесия О двух петель и 5 , показанных на рис. 7.15. Напомним, что эти петли лежат на интегральной поверхности состояния равновесия О, а точечное отображение на секущей плоскости 2 при этом имеет вид, условно изображенный на рис. 7.18 (условно в том смысле, что на рис. 7.18 представлен отдельный его фрагмент, а не глобальная картина, которая в целом достаточно сложна). На рис. 7.18 по разные стороны от кривой Я определены разные отображения Г, и Т2. Они симметричны. Кривые Р, и Рг они преобразуют в кривую Я, а кривую Я в точки М, и Л/г, которые, в свою очередь, преобразуются в точки ж, и N2 кривой я. Области, лежащие между кривыми Р, и / , Рг и Я, стягиваются соответственно к неподвижным устойчивым точкам О, и Ог. Сказанное означает, что любая внутренняя точка этих областей при последовательных преобразованиях асимптотически приближается соответственно к неподвижной точке либо О,, либо Ог. [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...