Преобразование плоскости аффинное

Аффинным преобразованием (отображением) называется такое преобразование плоскости или пространства, при котором любая прямолинейно расположенная тройка точек переходит в тройку точек, расположенную на одной прямой . [c.40]

Аффинным преобразованием (отображением) называется такое преобразование плоскости или пространства, при котором любая прямолинейно расположенная тройка точек переходит снова в тройку точек, расположенных на одной прямой. Отличительные свойства аффинных преобразований состоят в том, что всякая тройка координатных векторов (репер) переходит при таких преобразованиях также в тройку векторов (репер), каждая точка М [c.72]

Следовательно, перпендикулярным диаметрам окружности соответствуют сопряженные диаметры эллипса. В проективной геометрии доказывается, что для любого аффинного преобразования плоскости существуют такие два взаимно перпендикулярные, так называемые главные направления, которые переходят снова во взаимно перпендикулярные. [c.288]

Рассмотрим модифицированный комплексный потенциал Ф = Rip в аффинно-преобразованной плоскости годографа [c.137]

В случае сжимаемого газа нетрудно произвести полное обобщение постановки, используя аффинно-преобразованную плоскость годографа и рассматривая в ней псевдоаналитическую функцию — модифицированный комплексный потенциал [19]. Казалось бы, с помощью принципа подобия можно построить решение для докритического крыла, используя в качестве прототипа решение для несжимаемой жидкости и сводя задачу к разрешимому интегральному уравнению. Однако этим способом можно преобразовать лишь непрерывные в D компоненты решения аналог непрерывной ветви логарифмической компоненты должен вычисляться другим способом, например с помощью обобщенного интеграла типа Коши [25]. Это позволит выполнить условие о постоянной величине разрыва потенциала скорости при Г О, которое нарушится, если преобразовать ветвь Inz в нетривиальную псевдоаналитическую функцию с помощью интегрального уравнения. [c.152]

Первая строка системы равенств (53) выражает так называемое аффинное преобразование плоскости, а равенства (55) представляют условие аффинного подобия профилей. Оговоримся, что устанавливаемые далее законы подобия двух потоков должны были бы, собственно говоря, именоваться законами аффинного подобия, однако, как это общепринято, мы сохраним за ними обычный термин законов подобия . [c.294]

На плоскости (рис.32, б) гомология с несобственным центром проецирования называется перспективно-аффинным, или родственным, преобразованием двух плоских полей. Прямая р - ось родства, направление s - направление родства. Для задания родства достаточно задать одну родственную точку и ось родства, например,/>, А - А. Линия связи A-i [c.36]

Между полями а и а устанавливается перспективно-аффинное соответствие, а проекция этого соответствия из центра 5 на плоскость П является родственным преобразованием между первичной (А В С ) и вторичной (А В С ) проекциями (см. П на рис.36 и рис.37), т.к. проецирующие прямые (АА1), [c.39]

Операция разметки в плоскости на пространственном эскизе требует известных навыков работы в аффинных преобразованиях. При необходимости студентам предлагаются специальные задания на построение перспективно-аффинного (родственного) соответствия. Предварительно сообщаются сведения об инвариантах точечного соответствия полей проекций, связанных такой закономерностью. Указывается на сохранение следующих базовых свойств аффинного соответствия коллинеарности, параллельности прямых, простого отношения трех точек прямой. [c.113]

Проективная геометрия указывает, что такое взаимное положение плоскостей существует, что любые два треугольника, лежащие в разных плоскостях, можно расположить в пространстве так, что точки одного треугольника будут параллельными и даже ортогональными проекциями соответствующих точек другого треугольника, для чего может потребоваться предварительное преобразование одного из этих треугольников методом подобия (подобием увеличения или уменьшения) . Другими словами, два любых треугольника можно привести в перспективно-аффинное, родственное соответствие. Это положение устанавливает, что плоскость, в которой лежит горизонтальная проекция искомого треугольника, и плоскость, в которой лежит треугольник, подобный любому наперед заданному треугольнику, должны иметь одно, единственно возможное, вполне определенное взаимное положение, т. е. эта задача имеет однозначное, вполне определенное решение Теперь надо найти и научно обосновать метод решения этой задачи. В данной главе излагается метод, пользуясь которым, можно решить не только данную задачу, но и любую другую, аналогичную данной, в которой фигурируют любые многоугольники и фигуры с криволинейным очертанием. Решения задач, объединенных в I главе, являются основанием построений, излагаемых в последующих главах. [c.5]

На плоскости (рис. 27, б) гомология с несобственным центром проецирования называется перспективно-аффинным, или родственным, преобразованием двух плоских полей. Прямая р - ось родства, направление s - направление родства. Для задания родства достаточно задать одну родственную точку и ось родства, например, р, А - А. Линия связи А-А указывает направление родства. Если задать точку В, то легко найти точку В, и наоборот (это можно проследить по рис. 27, б). [c.39]

Между полями а и ai устанавливается перспективно-аффинное соответствие, а проекция этого соответствия из центра S на плоскость П является родственным преобразованием между первичной (А В С ) и вторичной (A/Bi i ) [c.41]

Это уравнение совпадает с (9.7.5) (за исключением множителя в правой части) таким образом, задача о кручении ортотропного стержня свелась к задаче о кручении изотропного стержня, сечение которого подвергнуто аффинному преобразованию (9.12.3), т. е. ограничено в плоскости т) контуром F, который получается из контура Г в плоскости ха путем растяжения или сжатия в направлении координатных осей. Граничное условие в плоскости Ха на контуре Г остается прежним F = С. Это же условие выполняется и на преобразованном контуре Г, поскольку между и Г существует точечное соответствие. [c.309]

Рассмотрим произвольное аффинное преобразование фазовой плоскости (q, р) (здесь =1) [c.153]

Наряду с заданной плоскостью z -x+iy будем рассматривать плоскости zi и 22, получаемые из плоскости z с поморю аффинного преобразования [c.194]

Центральное проектирование в случае непараллельности плоскостей образа и прообраза дает уже не аффинное преобразование, а более общее проективное преобразование. [c.272]

Легкость решения задачи для плоскости с эллиптическим или круговым вырезом объясняется тем, что три, четыре и даже сколько угодно областей — S (заданную) и S]i (А = 1, 2, 3...) — вспомогательные, полученные из S путем аффинного преобразования, можно одновременно отобразить на внешность единичного круга, и притом так, что точкам Л и Л/f на контурах областей S и 8 , находящимся между собой в аффинном соответствии, отвечает одна и та же т очка о на контуре единичного круга. Таким образом, граничные значения функций Ф/с удается выразить через одну переменную а. Этим же свойством обладают бесконечные области, ограниченные кривой второго порядка — параболой или гиперболой (и конечно, прямой). [c.201]

Для изучения (р удобно ввести индуцированное преобразование ср в накрывающей плоскости Ху у). Действие р можно описать следующим образом сначала совершаем аффинное преобразование квадрата, при котором в направлении Ох происходит растяжение в 2 раза, а в направлении оси Оу — сжатие в 2 раза. Затем отрезаем правую половину от получившегося прямоугольника и помещаем ее сверху левой (см. рис. 2.4). Если А С М и число п стремится к +оо, то (р А состоит из очень большого числа отрезков, параллельных Ох. [c.17]

При аффинных преобразованиях прямые переходят в прямые, плоскости — в плоскости, причем параллельные прямые и плоскости переходят в параллельные прямые и плоскости. В частности, параллелограмм переходит в параллелограмм. Отсюда следует, что все равные, одинаково направленные отрез ки растягиваются (или сжимаются) одинаково. [c.94]

Если покрыть первую плоскость сеткой равных квадратов со сторонами, параллельными главным направлениям, то эта сетка перейдёт в сетку равных прямоугольников. Отсюда следует, что аффинное преобразование может быть осуществлено так [c.116]

Дробление двумерной или трехмерной прямоугольной ячейки со проводим иначе. Разделим на х частей ребра, выходящие из одной вершины и проведем через полученные точки деления в двумерном случае — прямые, а в трехмерном - плоскости, параллельные боковым сторонам. В итоге снова получится х прямоугольников со /. Напомним, что прямоугольники сой и со / тоже аффинно-подобны с преобразованием 5, сой сой/. Используя его, получаем новый конечный элемент (со , Ф > ) = [c.92]

Следствие. Аффинная группа. Группа (С) всех конформных автоморфизмов комплексной плоскости состоит из всех аффинных преобразований [c.16]

Отсутствие связей между сегментами позволяет обращаться с каждым сегментом как с единым целым, фактически как с отдельной моделью. Так, для сегментов (и групп сегментов) система предоставляет набор аффинных преобразований поворот, симметрия, перенос, сжатие к оси и к плоскости. Такие преобразования влияют только на параметры локальной системы координат сегмента, а координаты узлов и точек внутри сегмента не изменяются. [c.103]

Покажем, что для любого аффинною преобразования плоскости существуют такие л а 1паимно перпендикулярные, так называемЕ.ю главные направления, которые перс-ходяг снова во взаимно перпендикулярные. [c.149]

Такое преобразование можно интерпретировать двояко как пассивное или как активное . Первое из них есть так называемое аффинное преобразование плоскости, связанное с изменением масштабов по осям и поворотом осей с нарушением их ортогональности. Второе — называется точечным преобразеванием, когда формулами преобразования устанавливается взаимно однозначное соответствие между двумя плоскостями, определяемыми координатными системами ху и г), которые предполагаем ортогональными путем этих преобразований каждая точка первой плоскости переводится в точку второй. Мы будем иметь в виду именно последнее активное преобразование. Заметим, что вследствие линейности преобразования в обоих случаях прямая переходит в прямую, точки пересечения кривых соответствуют друг другу и каждая замкнутая фигура преобразуется в замкнутую же. т. е. топологическая структура фазовой плоскости не изменяется. Выражая теперь из уравнений (2.65) X и у через и т), подставляем эти значения в уравнения [c.55]

Аффинные преобразо ния на плоскости ). Аффинным преобразованием называется преобразованне, переводящее всякую точку Л1 (х, ) ) (х, у — аф- л нные координаты) в ючку М (х , у ), координаты которой линейно выражаются через координаты точки Л1 [c.115]

Идея рельефа очень удобна для программного осуществления графической модели. Трансформация формы с помощью рельефной разработки произвольной конфигурации осуществляется путем создания на дисплее соответствующего плоского изображения. Сначала на экране в нужном масштабе вычерчивается плоская конфигурация. После редакции изображения следует операция помещения этой конфигурации в выбранную для него плоскость объема. Для этого используется стандартная программа аффинного преобразования плоского изображения. Наконец, с помощью специальной подпрограммы плоское изображение выдвигается на нужную величину или вдвигается в глубь формы. При необходимости создания развитого рельефа (контррельефа) с различной глубиной расположения элементов необходимо повторное обращение к данной процедуре. [c.115]

В текстах программ приведены комментарии, поясняющие использование возможностей пакетов. Приведенные примеры иллюстрируют возможности соз Дания различных моделей (канонических — ГРАФОР, структурированных — ФАП-КФ, ЭПИГРАФ), различной интерпретации полученных моделей (экран-ГРАФОР, часть плоскости, ограниченной контуром - ФАП-КФ), различные подходы к обработке моделей (выполнению аффинных преобразований), способам отображения на графических устройствах. Более подробную информацию можно получить в литературе о ГРАФОРе, о ФАП-КФ, а об ЭПИГРАФе — в гл. 2. [c.25]

В частном случае аффинных преобразований, когда направление проектирования перпендикулярно к оси родства и к картинной плоскости и составляет с предметной плоскостью произвольный угол ф, коэффициент преобразования Я—31Пф, а коэффициент искажений /Си= С08<р. [c.34]

АФФИННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (лат. а 11п11аз — родство, свойство). Взаимно однозначное соответствие точек плоскости или пространства, при котором всякая прямая линия переходит в прямую линию. Учение об инвариантных свойствах таких преобразований составляет содержание аффинной геометрии. Прямолинейность (коллинеарность) и параллельность прямых — инварианты аффинного преобразования. [c.11]

Пакет ГРАФОР представляет собой набор подпрограмм, написанных на ФОРТРАНе. Этот пакет имеет четырехуровневую структуру (рис. 9.2). На нижнем уровне находятся программы связи с операционными системами (ОС) ЭВМ и графическими устройствами, на следующем уровне — программы, реализующие элементарные графические операции (утилиты) перевод пера в указанную точку, вычерчивание вектора, дуги, окружности, эллипса, произвольного текста и т. п. Третий уровень пакета предназначен для отображения плоских изображений, к нему относятся аффинные (линейные графические) преобразования на плоскости [c.231]

Введем еще одно аффинное преобразование, превращающее областив эллипсы фокусы которых расположены в точках 1 на оси х. Пусть центр зллипсоида находится в начале координат, ось симметрии совпадает с осью г, соответствующая полуось имеет размер а, радиус поперечного сечекия в плоскости г = О равен Ъ. Тогда требуемое преобразование дается формулами [c.180]

Из (1) следует, чго изображение любой точки, лежащей в плоскости Ро=0, находится на бесконечносги. Аналогично из (3) вытекает, чго все точки пред-ме1а, изображения которых лежат в плоскости / -О, расположены иа бесконечности. Плоскость называегся фокальной плоскостью пространства предмета, а плоскость / ,=0—фокальной плоскостью пространства изображения ). Лучи, параллельные в пространстве предмета, преобразуются в лучи, пересекающиеся в некоюрон точке, лежащей в фокальной плоскости Р = 0. Лучи же, выходящие нз точки, расположенной в фокальной плоскости Ро= О, преобразуются в пучок параллельных лучей В некоторых слу чаях обе фокальные плоскости находятся иа бесконечности Преобразовании такого рода называются аффинными или телескопическими При телескопических преобразованиях всегда О и Р Ф О, так как конечным значением х, у, г) должны соответствовать конечные значения (х, у, г ). Разумеется, это возможно лишь в том случае, если ао= 6о= с —О и а = Ь = с = 0. [c.152]

Эта система координат характеризуется тем, что все двумерные плоскости Е , в которых расположены геодезические пространства А , проходят через начало координат. Разумеется, такая проективная система координат определена пеодиозпачио. Во-первых, из геометрических соображений ясно, что соотношение (1) не нарушается при любом аффиниом преобразовании [c.165]

Перейдём к аналогичной проблеме центральной аксонометрии. Примем данную пространственную дезаргову конфигурацию = О (0 А А, 0 В В, 0 Ь С ) за систему отнесения. Чтобы установить центральное проектирование, надо, во-первых, выбрать плоскость проекций т.] она определяется тремя параметрами. Во-вторых, надо выбрать центр проекций 5 он тоже определяется тремя параметрами. Итого, устанавливая центральное проектирование, мы имеем в своём распоряжении шесть парл.метров. С другой стороны, плоская дезаргова конфигурация фг=0(.0Л.4 , ОВВ,, ОСС ) определяется восе.мью параметрами. В само.м деле, чтобы определить , надо задать два угла из трёх, образуемых прямыми ОА, ОВ, ОС при точке О, н по два отрезка на каждой из этих прямых. Таким образом, для получения в точности конфи-гуращп 3) на.м нехватает двух параметров. Поэтому можно лишь надеяться получить данную конфигурацию ф с некоторым двух параметрическим искажением. В 15 (стр. 93) будет показано, что в качестве двухпараметрической группы, играющей в этой проблеме роль, аналогичную группе подобий в классической проблеме Польке-Шварца, можно принять группу унимодулярно-аффинных преобразований (при.мечание 2, стр. 115). Основную проблему центральной аксонометрии мы теперь будем формулировать так [c.61]

Евклидов случай. Согласно 1.6, группа С) конформных автоморфизмов комплексной плоскости состоит из всех аффинных преобразований г -+ Хг + с при Л 0. Каждое такое преобразование имеет неподвижную точку, если X ф 1. Следовательно, если 5 = С/Г, с универсальной накрывающей б = С, то Г является дискретной группой параллельных переносов г г + с комплексной плоскости С. Здесь можно выделить три подслучая [c.27]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...