Картина на фазовой плоскости

Таким образом картина на фазовой плоскости для рассмотренных случаев остается одной и той же. Отличие заключается в том, что при (р) О имеет место поправка на частоту Аш = —р.4 (р ). [c.127]

Имея точку М(Хо,Уо), можно установить, какая постоянная соответствует ей. Картина на фазовой плоскости позволяет судить и об устойчивости анализируемого движения (незатухающие гармонические колебания). Такое движение устойчиво, так как система, получив из позиции = О, = О возмущение, характеризуемое точкой внутри окружности радиуса б и лежащей на эллипсе, полностью расположенном в области с радиусом е, будет оставаться сколь угодно долго в состоянии, характеризуемом точкой, которая перемещается по этому эллипсу. [c.128]

Отличием от случая Ч (р) = О здесь является то, что мы получаем поправку на частоту Ао) = — (p ). Картина на фазовой плоскости останется прежней. [c.539]

Следующее утверждение заключается в том, что при действии возмущений на сепаратрису гомоклинические точки действительно существуют. Они были обнаружены впервые Пуанкаре 127] в связи с исследованием задачи трех тел. Пуанкаре писал Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить . Рис. 5.6, г, конечно, не отражает полную картину на фазовой плоскости, а только ее нулевое приближение , так как в окрестности каждой изображенной на рисунке гомоклинической точки пе изображены осцилляции следующего порядка. Сейчас стало ясно, что в некотором точно определенном смысле структура гомоклинических точек является случайной. Эти результаты способствовали развитию метода исследования динамических систем, называемого символической динамикой (ком. 4). К сожалению, сложность метода делает его пока труднодоступным для физического анализа. Тем не менее можно использовать следующие качественные рассуждения. [c.101]

Фазовый портрет грубой системы топологически не меняется при малом изменении параметров системы. Не слишком строго топологическая тождественность означает, что картина на фазовой плоскости не меняется качественно, т. е. сохраняются все основные элементы и их взаимосвязи. Если на фазовой плоскости, например, был предельный цикл, а состояние равновесия было неустойчиво, то в грубой системе при изменении параметра остается один цикл и одно неустойчивое состояние равновесия. На рис. 15.4 б приведены примеры топологически одинаковых фазовых картинок. Математически понятие грубости для [c.311]

Мы получили для рассматриваемого случая гармонического осциллятора картину на фазовой плоскости, исходя из готового решения (1.6) уравнения осциллятора. Можно, однако, не пользуясь этим решением, непосредственно из уравнения (1.1) вывести заключения [c.40]

Уравнение, не содержащее времени. Чтобы от исходного уравнения (1.1), не интегрируя этого уравнения, непосредственно перейти к картине на фазовой плоскости, поступим следующим образом. Заменим исходное уравнение второго порядка двумя эквивалентными уравнениями первого порядка [c.40]

Картина на фазовой плоскости. [c.87]

Картина на фазовой плоскости. Уравнение, к которому приводит рассматриваемый нами случай, в общем виде может быть написано так [c.95]

Какие же заключения мы можем вывести из полученной картины на фазовой плоскости Прежде всего, имея в виду, что при положительной скорости координата системы должна возрастать, а при отрицательной — убывать, мы получим во всех четырех квадрантах такие направления движения представляющей точки по фазовой плоскости, которые указаны на рис. 51 стрелками. Рассматривая направления движения представляющей точки, легко убедиться, что, где бы ни находилась представляющая точка в начальный момент (за исключением особой точки и точек на асимптоте у = — / пх, проходящей через второй и четвертый квадранты), она всегда в конечном счете будет удаляться от состояния равновесия, причем движение ее всегда будет не колебательным, а апериодическим. [c.96]

Рассмотрение линейных систем мы закончим весьма важным для дальнейшего замечанием. Ни одна из рассмотренных нами картин на фазовой плоскости для различных линейных систем, кроме гармонического осциллятора без трения (т. е. кроме консервативной линейной системы), не дала на фазовой плоскости замкнутых интегральных кривых, и все интегральные кривые имели ветви, уходящие в бесконечность. Между тем периодическим процессам на фазовой плоскости должны соответствовать замкнутые интегральные кривые. Мы можем поэтому вывести из нашего рассмотрения линейных систем следующее важное заключение в линейных неконсервативных системах периодические процессы вообще невозможны. [c.102]

В качестве примера рассмотрим картину на фазовой плоскости для осциллятора, описываемого уравнением ) [c.172]

Следовательно, рассматриваемая нами модель часов обладает свойством самовозбуждения колебания в ней нарастают при сколь угодно малых начальных отклонениях. Картина на фазовой плоскости для этого случая изображена на рис. 129. Фазовая плоскость заполнена кусками спиралей, начинающихся и кончающихся на верхней полуоси у. Дойдя по спирали до верхней полуоси у, представляющая точка делает скачок каждый раз на одну и ту же величину а кверху по оси у и снова продолжает движение по соответствующей спирали. Из соображений непрерывности ясно, что благодаря скачку путь представляющей точки по одной из спиралей окажется замкнутым, что и соответствует периодическому движению. [c.199]

Картина на фазовой плоскости изменится по сравнению с картиной для предыдущего случая только в том смысле, что скачки а вдоль оси у будут уже не постоянны по величине, а будут функцией у (т. е. скорости, которая предшествует удару) [c.199]

Отсюда же следует, что предельное периодическое движение устойчиво в смысле Ляпунова. Полученная нами картина на фазовой плоскости (рис. 137) показывает, что при сделанных предположениях [c.209]

Иначе говоря, модель с двумя ударами ведет себя так же, как и модель с ОДНИМ ударом за период, но с вдвое меньшим трением при Л 2/о существует единственное устойчивое периодическое движение, которое устанавливается при всех скоростях после удара если же 1 1 2/о, то система приходит в одно из состояний равновесия. Картина на фазовой плоскости для модели часов с двумя ударами за период в предположении, что закон удара выражается соотношением (3.36) и что /г 2/о, изображена на рис. 138. [c.211]

О получении картины на фазовой плоскости при помощи катодного осциллографа см. Дополнение Ц. [c.817]

В простейшем случае фазовая поверхность представляет собою обычную плоскость с декартовыми координатами л , у, а функции Р х, у) я Q х, у) являются аналитическими на всей плоскости. Основная задача исследования динамической системы состоит в том, чтобы выяснить качественную картину разбиения фазовой плоскости на траектории [c.41]

Картина траекторий на фазовой плоскости [c.78]

Критерии существования замкнутых траекторий на фазовой плоскости. Исследования особых точек системы уравнений (163) проясняют картину поведения траекторий на фазовой плоскости в их окрестности, однако не позволяют окончательно изучить колебательные процессы, описываемые системой (163). Для системы (163) наличие колебательного процесса связано с существованием замкнутой траектории на фазовой плоскости. Пока не существуют общие теоретические методы, позволяющие установить существование замкнутых траекторий и определить место их расположения на фазовой плоскости. Общий геометрический принцип, с помощью которого можно решить вопрос о существовании замкнутой траектории системы (163), а также вопрос о существовании колебательного процесса в этой системе известен как принцип кольца и состоит в следующем.На фазовой плоскости выделяем несколько особых точек, сумма индексов которых равна + 1, и окружаем их двумя замкнутыми кривыми так, чтобы в полученной кольцеобразной области К не было особых точек. На границе Г этой области наносим направления вектора скорости изображающей точки. В кольцеобразной области /С существует по крайней мере одна замкнутая траектория. [c.111]

На фазовой плоскости этому режиму соответствуют два предельных цикла меньший — неустойчивый и больший — устойчивый при жестком режиме возбуждения (рис. 1.15). Такая картина будет получаться при некотором конечном интервале смещений точки О. При еще большем ее смещении влево будем иметь картину по рис. 1.16 а — накопление энергии меньше, чем рассеяние б — только рассеяние энергии. Автоколебания в системе в этих случаях невозможны, что следует из характера фазовых траекторий, наматывающихся на особую точку. [c.50]

Теперь сдвигу точки О влево по кривой Ф(Р) соответствует процесс, показанный на рис. 1.5. Если же точка О сдвинулась вправо по кривой, то, рассуждая, как и ранее,. можно установить, что при малом сдвиге картина будет аналогична показанной на рис. 1.15 на фазовой плоскости возникнут два предельных цикла — меньший неустойчивый и больший устойчивый, т. е. установится жесткий режим колебаний. Особая точка будет устойчивым фокусом (рис. 1.18, б). [c.51]

Достаточно полную картину поведения лазера удается получить, выполнив качественный анализ нелинейной системы уравнений, описывающей лазер. При этом исследуются характер стационарных точек и поведение траекторий на фазовой плоскости. Для одномодового лазера система балансных уравнений (16.39) принимает простейший вид [c.164]

При х о картина разбиения фазовой плоскости на траектории изменяется в соответствии с рис. 4.11, б и рис. 4.11, в. [c.235]

Шарик массы т (см. рисунок), подвешенный на пружине жесткости с, во время движения может ударяться о преграду, как показано на рисунке. Расстояние от преграды до положения равновесия шарика равно Н. Считая удар абсолютно упругим, найти частоту колебаний шарика. Рассмотреть картину движения шарика на фазовой плоскости (х,х). [c.159]

Метод изображения процессов, протекающих в системе регулирования, на фазовой плоскости позволяет решать многие нелинейные задачи, однако он легко применим лишь для дифференциальных уравнений не выше второго порядка. В то же время снижение порядка дифференциального уравнения с третьего до второго путем отбрасывания влияния одного из параметров системы (например, при пренебрежении сжимаемостью жидкости и упругостью трубопроводов в гидравлических следящих приводах) может привести к потере даже качественной картины исследуемых динамических явлений. [c.64]

Если в рассматриваемую систему входят параметры, то, задавая ряд значений этих параметров и строя для каждого из этих значений приближенную картину траекторий, мы можем получить целую галерею картин разбиений фазовой плоскости на траектории. [c.251]

Определение. Две топологические структуры, или, что то же, две качественные картины разбиения фазовой плоскости на [c.37]

Рис. 1.6. Картина установления стационарной генерации лазера, работающего в свободном режиме, на фазовой плоскости, т.е. в координатах п, и. Области 1-4 характеризуются фиксированным знаком производной ди/дп (показан в скобках рядом с номером соответствующей области)

Для того чтобы выяснить характер интегральных кривых на фазовой плоскости в случае А О, достаточно в обоих рассмотренных случаях линейного осциллятора (при малом и большом трении) проследить, как изменится картина при изменении знака к. [c.87]

Сделаем прежде всего следующее замечание. Картину кривых на фазовой плоскости мы можем, как мы уже видели, описывать либо одним уравнением (2.3) и изучать с его помощью интегральные кривые, либо описывать системой уравнений (2.2) и изучать фазовые траектории. В сущности можно сказать, что во втором случае мы после решения получаем уравнения тех же интегральных кривых, но в параметрической форме x = x t), y = y t), иначе, получаем закон движения изображающей точки по интегральной кривой на фазовой плоскости. Различие этих двух способов изображения одного и того же семейства кривых особен о ярко проявляется в следующем. Пусть х = х , — координаты ) особой точки уравнения (2.3), т. е. [c.107]

Если мы знаем совокупность интегральных кривых на фазовой плоскости для какой-нибудь динамической системы, то мы получаем возможность сразу охватить всю картину возможных движений при различных начальных условиях. Для консервативной системы исследование этих интегральных кривых чрезвычайно облегчается тем, что уравнение (2.7) легко может быть проинтегрировано, так как переменные разделяются. Полученный интеграл имеет вид [c.108]

Zo3 = y/ e (рис. 5.29). Начало координат на фазовой плоскости является особой точкой типа устойчивого фокуса. Все возмущения, меньшие амплитуды, соответствующей неустойчивому предельному циклу, осцил-ляторно затухают. Возмущения, большие амплитуды, отвечающей неустойчивому предельному циклу, осцилля-торно увеличиваются и амплитуды этих колебаний стремятся к предельному устойчивому циклу изнутри. Если амплитуда колебаний по какой-либо причине стала больше амплитуды, соответствующей устойчивому предельному циклу, то первая постепенно будет уменьшаться, стремясь в пределе снаружи навиться на предельный цикл. При изменении значения k происходит эволюция картины на фазовой плоскости. [c.210]

Непосредственное исследование дифференциального уравнения. Мы исследовали характер движений на фазовой плоскости для случая линейного осциллятора при наличии трения, пропорциональ--ного скорости, и выяснили, что процессам при малом затухании (А (0 ) соответствует движение изображающей точки по спиралеобразной фазовой траектории, имеющей асимптотическую точку в начале координат. Само начало координат в этом случае является состоянием равновесия. Однако мы получили эту картину на фазовой плоскости, исходя из заранее найденного решения (1.20). Мы могли бы получить эту же картину непосредственно из (1.16), не зная решения (1.20). [c.56]

Поскольку качественная картина траекторий на фазовой плоскости определяется особыми элементами (особыми траекториями), только те значения параметра Я оказываются бифуркционными, при котор(з1х появляются особые элементы, имеющие негрубую природу. В том случае, когда при бифуркационном значении параметра Я на фазовой плоскости появляется только один особый элемент. [c.49]

С текущим параметром Уравнения (3.12) определяют на плоскости другую граничную кривую. Часть этой кривой, показанной на рис. 3.8, является границей устойчивости особых точек неседлового типа. Картина разбиения плоскости параметров г/о,х на области, различающиеся числом и устойчивостью состояний равновесия системы, показана на рис. 3.8, где кривая (3.10) показана сплошной жирной линией, а кривая (3.11) — сплошной тонкой линией. Область 1 соответствует наличню одной устойчивой особой точки на фазовой плоскости область 2 — одной неустойчивой особой точки типа узла или фокуса области 3 — 6 — трем особым точкам, из которых в области 3 две устойчивы, а третья — седло. В областях 4 и 6 неустойчивы две особые точки, а в области 5 неустойчивы все три особые точки. [c.57]

График функции П (( ) и фазовые кривые представлены на рис. 94. Картина фазовых кривых периодична по ср с периодом 2тг. При h < —uJq движение невозможно. При h = —LjOq маятник находится в положении равновесия, когда его центр масс занимает самое низкое из возможных положений. На фазовой плоскости ср, ф этому положению равновесия соответствуют точки, в которых if = 2ктг (к = О, =Ы, 2,. ..), а = 0. Это точки типа центр. Они окружены замкнутыми фазовыми кривыми, соответствующими колебаниям маятника. Колебательным движениям маятника соответствуют значения /г, удовлетворяющие неравенству —uJq < h < uJq. [c.183]

Для систем с одной степенью свободы, имеющих двухмерное фазовое пространство, задача о зависимости структуры фазового пространства от параметров полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера и Л. С. Понтрягина. При этом оказалось, что если ограничиться так называемыми грубыми системами, то качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории полностью определяется конечным числом ее особых траекторий состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис седловых состояний равновесия. В силу этого вопрос о зависимости качественной картины разбиения фазовой плоскости свелся к изучению бифуркаций перечисленных особых траекторий. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...