ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Картина на фазовой плоскости из "Теория колебаний " Для того чтобы выяснить характер интегральных кривых на фазовой плоскости в случае А О, достаточно в обоих рассмотренных случаях линейного осциллятора (при малом и большом трении) проследить, как изменится картина при изменении знака к. [c.87] НИЯ равновесия (особой точки х — 0, у = 0). Особая точка и в этом случае представляет собой асимптотическую точку семейства вложенных друг в друга спиралей, т. е. является особой точкой типа фокуса (рис. 47). [c.88] поскольку мы ограничиваемся линейной трактовкой системы, мы получаем беспредельно нарастающий осцилляторный процесс. [c.89] Так как /г —а),, 0, то что приводит к изменению положения интегральных прямых у -]-4- 1 = 0 и + = обе эти прямые будут в этом случае проходить через первый и третий квадранты, так как х и у — одного знака (рис. 49). [c.89] Мы снова получаем семейство интегральных кривых параболического типа, причем все кривые проходят через единственную особую точку, лежащую в начале координат. Это — особая точка типа узла. [c.89] Определяя направление движения представляющей точки по фазовой плоскости, мы легко убедимся в том, что движения эти происходят в направлениях, указанных на рисунках стрелками, и следовательно. [c.89] Рассматриваемая особая точка есть неустойчивый узел, причем опять-таки неустойчивость обусловлена тем, что А 0. Мы получили апериодический процесс, нарастающий по закону х = Ae -(-где X, и положительны. И поскольку мы рассматриваем систему как линейную, это нарастание в ней будет продолжаться беспредельно. [c.90] Рассматривая систему как линейную, мы не находим в ней устойчивых стационарных состояний она не может остаться в области, близкой к состоянию равновесия, — отклонения в линейной системе должны беспрерывно возрастать. Между тем при описании механической и электрической систем, которые привели нас к этим случаям, для того чтобы прийти к линейным уравнениям, мы должны были ограничиться рассмотрением областей, достаточно близких к состоянию равновесия (малое х и малое у). Значит, с одной стороны, мы должны ограничиться рассмотрением областей, достаточно близких к состоянию равновесия, а с другой стороны, рассматривая движение системы в этих областях, мы убедились в том, что система не останется в этой области, но неизбежно выйдет за ее пределы. Другими словами, линейная трактовка позволяет правильно изобразить поведение фазовых траекторий только в некоторой ограниченной области фазовой плоскости, вблизи положения равновесия. Но, с другой стороны, все фазовые траектории уходят за пределы этой ограниченной области. Чтобы исследовать дальнейшее поведение системы, мы должны, очевидно, учесть какие-то обстоятельства, которые до сих пор нами не учитывались, и рассматривать систему уже как нелинейную. [c.90] Мы видим, таким образом, что в рассматриваемом случае линейная трактовка принципиально не может дать ответа на ряд вопросов о поведении системы, например на вопрос о том, какие движения будет совершать система по прошествии достаточно длинного промежутка времени. [c.90] Вернуться к основной статье