Фазовая плоскость и качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории

I. Топологически инвариантные свойства и топологическая структура разбиения на траектории. Перейдем теперь к основной задаче качественного исследования динамической системы — к установлению качественной картины разбиения фазовой плоскости на траектории. Рассмотрение приведенных в предыдущей главе частных примеров динамических систем приводит к мысли, что для знания качественной картины нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых особых траекторий. Таких особых траекторий в рассмотренных примерах было конечное число, и они разбивали всю совокупность траекторий на области, в которых траектории вели себя одинаково. Особыми траекториями в этих примерах были состояния равновесия, предельные циклы и траектории, стремя- [c.410]

В простейшем случае фазовая поверхность представляет собою обычную плоскость с декартовыми координатами л , у, а функции Р х, у) я Q х, у) являются аналитическими на всей плоскости. Основная задача исследования динамической системы состоит в том, чтобы выяснить качественную картину разбиения фазовой плоскости на траектории [c.41]

Качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории. Особые траектории [c.410]

Возможные типы особых и неособых траекторий. Дадим теперь доказательство основных общих теорем об особых траекториях и о качественной картине разбиения фазовой плоскости на траектории. [c.415]

Качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории, как мы знаем, определяется так называемыми особыми элементами, особыми траекториями (см. 3 настоящей главы). Поэтому, чтобы изучить зависимость качественной картины фазовых траекторий от параметра, следует изучить зависимость от параметра системы особых элементов. В этом параграфе мы рассмотрим ряд случаев зависимости особых элементов, главным образом предельных циклов, от параметра. [c.466]

Мы можем теперь перейти к уточнению понятия качественной картины фазовых траекторий или топологической структуры разбиения на траектории. Две топологические структуры разбиения фазовой плоскости на траектории, заданные двумя системами вида (6.1), называют тождественными, если существует топологическое (т. е. взаимно-однозначное и непрерывное) отображение плоскости в себя, при котором траектории одной системы отображаются в траектории другой этом траектория отображается в траекторию как при прямом, так и при обратном отображении). Это определение тождественности двух структур является косвенным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории. Можно сказать, что под топологической структурой разбиения на траектории (или, что то же самое, под качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения, которые остаются инвариантными при всевозможных топологических отображениях плоскости в себя. Примеры таких свойств были приведены выше. [c.412]

Для систем с одной степенью свободы, имеющих двухмерное фазовое пространство, задача о зависимости структуры фазового пространства от параметров полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера и Л. С. Понтрягина. При этом оказалось, что если ограничиться так называемыми грубыми системами, то качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории полностью определяется конечным числом ее особых траекторий состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис седловых состояний равновесия. В силу этого вопрос о зависимости качественной картины разбиения фазовой плоскости свелся к изучению бифуркаций перечисленных особых траекторий. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...