Дифференциальные уравнения с комплексным временем

Дифференциальные уравнения с комплексным временем. [c.17]

Дифференциальным уравнением с комплексным временем (или комплексным автономным уравнением) называется уравнение вида [c.17]

Книга [19] посвящена в основном асимптотической теории линейных дифференциальных уравнений с комплексным временем. [c.141]

Предположим, что компоненты силы F аналитичны на Т" и продолжаются до мероморфных функций в аффинном пространстве комплексных переменных ii,..., .Тп. Тогда (2.1) можно трактовать как систему дифференциальных уравнений в С" с комплексным временем t С. Следуя работе [96], рассмотрим задачи, связанные с условиями однозначности общего решения системы [c.335]

Теорема. Через каждую точку расширенного фазового пространства дифференцируемого (голоморфного) векторного поля проходит одна и только одна интегральная кривая соответствующего дифференциального уравнения с вещественным (комплексным) временем. [c.19]

Книга [62] посвящена теории слоений, частью которой является теория дифференциальных уравнений с вещественным и комплексным временем. Она содержит подробное изложение геометрической теории дифференциальных уравнений на двумерном и трехмерном торе. [c.141]

Таким образом, удовлетворяет системе линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями только от координат, но не от времени. Общее решение таких уравнений может быть представлено в виде суммы частных решений, в которых Vi зависит от времени посредством множителей типа Сами частоты ш возмущений не произвольны, а определяются в результате решений уравнений (26,1) с соответствующими предельным условиями. Эти частоты , вообще говоря, комплексны. Если имеются такие (В, мнимая часть которых положительна, то будет неограниченно возрастать со временем. Другими словами, такие возмущения, раз возникнув, будут возрастать, т. е. движение будет неустойчиво по отношению к таким возмущениям. Для устойчивости движения необходимо, чтобы у всех возможных частот ш мнимая часть была отрицательна. Тогда возникающие возмущения будут экспоненциально затухать со временем. [c.128]

Принципиально иной подход осуществлен в работе [27]. Здесь выполняется преобразование Лапласа по времени и все построения осуществляются с трансформантами смещений. Получаемое для них дифференциальное уравнение можно трактовать как уравнение для амплитуд (см. 4 гл. II) с комплексной частотой. Поэтому построение решения для трансформанты оказывается возможным осуществлять посредством потенциалов, опирающихся на фундаментальное решение (1.33). [c.556]

При этом для установившихся гармонических колебаний скорости и давления с угловой частотой со символ частного дифференцирования по времени д д1 можно сразу заменить множителем /со. Тогда дифференциальные уравнения (1), связывающие изменение скорости и давления в любой точке трубы, в комплексной форме записываются в виде [c.15]

Как известно, при помощи преобразований Лапласа функция вещественного переменного (в том числе времени) переводится в функцию комплексного переменного. Такое преобразование превращает дифференциальные уравнения в алгебраические, что позволяет легко учитывать начальные условия и избежать сложных выкладок, связанных с вычислением постоянных интегрирования. Это значительно облегчает исследование динамики сложных гидромеханических систем. [c.49]

Исключением одной из искомых переменных, например Ai0, система (4-34) сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с правой частью, интегрирование которого легко выполняется разными методами. Применение для этой цели преобразования Лапласа в задачах динамики предпочтительнее, поскольку можно последовательно получить решение в области изображений (передаточные функции) и во временной области. В области комплексного [c.94]

Значения амплитуды и фазы поля в каждой точке с координатами (г/, г) пространства вблизи решетки определяются в результате суммирования рядов. Комплексные амплитуды находятся из численного решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений. Линии среднего по времени потока энергии можно получить путем численного интегрирования дифференциального уравнения = П йг/, где П , [c.46]

Частотную характеристику отдельного элемента или системы в целом можно получить непосредственно по передаточной функции, не прибегая к обратному преобразованию и не интегрируя каким-либо иным способом соответствующее дифференциальное уравнение. Если в выражении для передаточной функции вместо переменной 5 подставить /м, то получающееся в результате комплексное число позволяет выделить амплитуду и фазовый сдвиг, соответствующий синусоидальному входному сигналу с частотой, выраженной в радианах в единицу времени. Процедура получения амплитуды и сдвига фаз подробно рассматривается в [Л. 12] и во многих других учебниках цо следящим системам. Здесь не приводится доказательств, а показывается лишь, что этот метод позволяет получить правильные результаты для объекта первого порядка. [c.129]

Глава П посвящена в основном изложению обычных, традиционных вопросов задачи двух тел. Формулы для скорости космического аппарата ( 9) используются для приближенной оценки времени перелета по дуге гиперболической орбиты вдали от притягивающего центра. В 12 выясняется возможность применения аппарата комплексных переменных для вывода всех важнейших формул задачи двух тел. В 11 рассмотрена также задача о движении космолета с солнечным парусом (дифференциальные уравнения этой задачи сходны с дифференциальными уравнениями задачи двух тел). [c.9]

В дальнейшем изложении мы допустим, что фаза волны накачки от времени не зависит и фиксирована в этом случае v(/) становится постоянным комплексным числом V. При этом предположении дифференциальные уравнения (3.15-5) могут быть решены строго. Если в операторах в представлении Гейзенберга выделить главную зависимость от времени с помощью преобразования [c.345]

Характерные частоты турбулентных флуктуаций диэлектрической проницаемости в силу условия (2.3) во времени малы по сравнению с частотой распространяющейся оптической волны. Это позволяет ввести в уравнение (2.24) в качестве параметра время наблюдения /, осуществив замену г х, р)- г х, р, /). Тогда, используя гипотезу замороженной турбулентности [86], можно рассчитать пространственно-временные статистические моменты комплексной амплитуды поля и х, р, путем решения соответствующих дифференциальных уравнений (2.30), (2.31). [c.102]

Книги [48], [37], [67] отражают состояние качественной теории дифференциальных уравнений в конце 40-х, 50-х и 60-х годов соответственно. Книги [1J, [22] излагают теорию дифференциальных уравненнй в комплексной области. В частности, в книге [1] изложена теория интегральных преобразований и ее приложения к решению линейных равнений. Основы теорин линейных уравнений с комплексным временем освещены в книгах [37], [67]. [c.141]

Метод Ковалевской. С. В. Ковалевская обнаружила общий случай интегрируемости, руководствуясь не какими-либо физическими соображениями, а развивая идеи К. Вейершрасса, П. Пенлеве и А. Пуанкаре об исследовании аналитического продолжения решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексную плоскость времени. С. В. Ковалевская предположила, что в интегрируемых случаях общее решение на комплексной плоскости не имеет других особенностей, кроме полюсов. Это дало возможность найти условия, при которых существует дополнительный интеграл. Кроме нахожде- [c.130]

В основу создания комплексной модели ЦН положено его пространственное строение. Движение жидкости в проточной части рабочего колеса описано модифицированным уравнением Эйлера, а в отводе ЦН - дифференциальными уравнениями Навье-Стокса. Автор показал, что проекции вынуждающей силы, которая действует на выходе рабочего колеса, вращающегося с частотой п, на неподвижные осиХ-У, есть гармонические функции времени. [c.6]

Преобразование Лапласа представляет собой математический метод, позволяющий относительно просто решать линейные дифференциальные уравнения. В результате преобразования дифференциальное уравнение (оригинал) приобретает форму алгебраического уравнения (изображение), в котором в качестве независимого переменного вместо времени используется комплексное переменное s. Решение исходного дифференциального уравнения отыскивается посредством применения к решению указанного алгебраического уравнения обратного преобразования Лапласа. Уравнения переходного процесса в системе автоматического регулирования, как правило, решаются этим методом, чему в большой мере способствует наличие достаточно полных таблиц преобразований Лапласа. Другая причина широкого распространения метода преобразования Лапласа состоит в том, что по выражению для передаточной функции системы, которая определяется как отнонтение преобразованного по Лапласу выходного сигнала к входному, также преобразованному по Лапласу, можно непосредственно получить частотные характеристики системы. Любое количественное исследование систе.мы автоматического регулирования начинается с определения передаточных функций каждого элемента структурной схемы системы. [c.29]

Это и есть дифференциальное уравнение плоского движения космолета с солнечным парусом. Здесь К — комплексная функция от времени. Внешне это уравнение не отличается от уравнения движения спутника в задаче двух тел. При ф = О и ф = я/2 К— вещественная константа, и уравнение (35) интегрируется так же, как уравнение задачи двух тел (2). Если ф = onst ф я/2 и ф О (парус сохраняет ориентацию относительно радиуса-вектора космолета), то А — константа, и притом мнимая. [c.100]

Рассмотрим частный случай, когда система (3,1) однородна д1 =. .. = д — д. Тогда решение (3.20) — периодическое с периодом р = 2тт1д. Его мультипликаторы, как известно, равны ехр[р(гру)]. Если система (3.1) допускает интеграл, не имеющий критических точек на траектории решения (3.21), то хотя бы один из мультипликаторов равен единице. Это утверждение — следствие результатов в 8 гл. IV (правда, в 8 рассматривались вещественные системы дифференциальных уравнений однако полученные там результаты справедливы, очевидно, и для систем с комплексными переменными и вещественным временем). Пусть [c.344]

Из табл. 2.1 видно, что чем выше задается точность численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, тем большее число узловых точек требуется для выполнения этой процедуры и тем меньше отклонение вронскиана от единицы. Одновременно повышается точность вычисления 5ц и 521. Особенно заметно влияние точности интегрирования при вычислении 5ц вблизи резонанса, когда абсолютное значение этого параметра близко к нулю. Вдали от резонанса величина 15ц1 приближается к единице и уменьшение точности интегрирования в меньшей степени влияет на конечные результаты. Если необходимо найти только резонансные частоты, которые соответствуют минимуму 5ц (максимум 521 ), вполне приемлемую погрешность можно получить и при весьма низкой точности интегрирования. Так, в рассмотренном выше примере смещение резонансной частоты при изменении точности интегрирования 10" до 10" составляет всего 0,3% в сторону более высоких частот. Поэтому в тех случаях, когда допустима умеренная погрешность расчетов, не следует задавать слишком высокую точность численного интегрирования, что позволяет экономить машинное время. Расход времени для вычисления одного набора комплексных элементов 5-матрицы при точности интегрирования 10 на ЭВМ средней производительности (ЕС-1022, Минск-32 ) составляет 0,5—3 с в зависимости от исходных данных. С ростом е наблюдается увеличение затрат машинного времени. Это обусловлено тем, что при больших [c.46]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...