Площади, поверхности и объемы тел

В учебник включен материал, имеющий исключительное практическое значение, как например определение площадей поверхностей и объемов тел, ограниченных поверхностями приведены начальные сведения об эталонах и кривизне кривых линий и поверхностей. [c.5]

Площади поверхности и объемы тел [c.20]

ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМЫ ТЕЛ [c.15]

ПЛОЩАДИ, ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМЫ ТЕЛ 3. Определение площади плоских фигур [c.10]

Формулы для вычисления площадей, поверхностей и объемов тел [c.9]

Вычисление площадей, поверхностей и объемов тел [c.23]

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ, ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМОВ ТЕЛ [c.23]

При вычислении по приведенным в табл. 2 формулам площадей, поверхностей и объемов тел следует иметь в виду, что все линейные размеры должны быть выражены в одинаковых единицах либо все в метрах (ж), либо в сантиметрах см) и т. д. Если линейные размеры выражены в метрах, то площади и поверхности будут выражены в квадратных метрах (ж ), а объемы — в кубических метрах (ж ) если линейные размеры выражены в сантиметрах, то площади и поверхности выразятся в квадратных сантиметрах см ), а объемы — в кубических сантиметрах (см ). [c.17]

Основоположником механики, главным образом статики, как точной науки, следует считать величайшего математика и механика Древней Греции Архимеда (287—212 гг. до н. э.). Архимеду принадлежит ряд крупнейших открытий в математике и механике. В частности, он дал точное решение задачи о рычаге и создал учение о центре тй-жести. Архимеду принадлежит открытие закона, носящего его имя, о давлении жидкости на погруженное в нее тело. Разработанные им методы измерения площадей поверхностей и объемов различных тел через два тысячелетия развились в интегральное исчисление. [c.13]

ТАБЛИЦА 14 ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМЫ НЕКОТОРЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ [c.15]

Площади поверхности и объемы геометрических тел [c.17]

Для ответа на этот вопрос вновь обратимся к описанию критического объема, данному в пятой главе (см. стр. 68). Вспомним, что скорость, с которой нейтроны образуются в некотором объеме расщепляющегося вещества, пропорциональна этому объему, в то время как скорость, с которой они его покидают, пропорциональна площади поверхности данного объема. Таким образом, если расщепляющееся вещество имеет форму шара, скорость образования нейтронов будет пропорциональна кубу его радиуса, а скорость их утечки — квадрату этого же радиуса удвоение радиуса шара увеличивает скорость образования нейтронов в 8 раз, а скорость их утечки — лишь в 4 раза. Оказывается, что это справедливо и в отношении какого-либо тела, в котором тепло выделяется более или менее равномерно по всему объему скорость выделения тепла пропорциональна объему данного тела, а скорость теплоотдачи — площади его поверхности. Следовательно, чем больше тело, тем меньшей может быть скорость выделения тепла, необходимая для поддержания некоторой заданной температуры тела. В частности, поэтому скорость выделения тепла в организме слона в 30 раз меньше, чем скорость выделения тепла в организме мыши или малиновки. Если бы в организме слона выделение тепла протекало с такой же скоростью, как и в организме этих маленьких существ, то выделяющееся внутри тела слона тепло не успевало бы достаточно быстро его покинуть, чтобы сохранилась нормальная температура, и в результате слон бы заживо изжарился. [c.98]

Из простых ОПЫТОВ следует, что в жидких и газообразных телах в состоянии равновесия могут возникать только нормальные напряжения, причем эти напряжения почти всегда (для газов всегда) сжимают выделенный объем. Поэтому напряжения в жидкостях и газах называются давлением. Следовательно, давление — это сила, которая действует на единицу площади поверхности выделенного объема и направлена нормально к поверхности. [c.336]

Поскольку известно, что наибольший объем при заданной площади поверхности тела имеет шар, то за нижнюю границу искомой площади боковой поверхности бака примем площадь поверхности шара объемом I м , которая равна /4=4,84 м , а в программу поиска оптимального решения введем величину ЕЗТ=5. Исходные значения проектных параметров выберем произвольным образом, приняв 1=1,0 м и 2=1 >5 м. [c.175]

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ СЕЧЕНИЙ, ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМОВ НАИБОЛЕЕ РАСПРОСТРАНЕННЫХ ТЕЛ [c.14]

Рассмотрим процесс передачи теплоты теплопроводностью в сплошном теле (рис. 14.1) выделим в этом теле элемент объемом dV и площадью поверхности dF. [c.199]

Пусть имеем твердое однородное тело объемом V с площадью поверхности теплообмена А. Примем, что температура окружающей среды tr и коэффициент теплоотдачи а постоянны. Обозначим среднюю избыточную температуру по поверхности тела через v , а среднеобъемную избыточную температуру — через vi/ и запишем Уравнение теплового баланса за время dt для случая охлаждения тела [c.377]

Для тел, плавающих на поверхности воды, гидростатическая подъемная сила также равняется силе Архимеда. Действительно, для вычисления этой силы можно ввести замкнутую поверхность 2, состоящую из смоченной поверхности тела и площади сечения объема тела горизонтальной плоскостью я, совпадающей с уровнем покоящейся жидкости. На поверхности этого сечения тела давление следует считать постоянным и равным Ро — давлению на свободной поверхности жидкости. [c.14]

Чтобы получить значение локального углового коэффициента ф, необходимо выражение (ф) проинтегрировать по F . Графически это выразится тем, что описанным способом находится проекция р2 и берется ее отношение к площади круга с радиусом, равным единице (рис, 5-15). Такие построения производятся для каждого из элементов, на которые разбивается поверхность и находятся соответствующие значения ф. Интегрирование по F- можно заменить суммированием графически это сводится к нахождению объема некоторого тела, у которого основание представляет собой развернутую поверхность F , а высота равна ф. Наконец, деля этот объем на поверхность F , получаем среднее значение ф а- [c.180]

Поверхностные явления вызываются избытком свободной энергии в пограничном слое - поверхностной энергии, повышенной активностью и ориентацией молекул поверхностного слоя, особенностями его структуры и состава. Химические и физические взаимодействия тел происходят, прежде всего, в поверхностных слоях. Основные поверхностные явления связаны с уменьшением поверхностной энергии, пропорциональной площади поверхности. Так, образование равновесных форм жидких капель или газовых пузырей определяется минимумом свободной энергии при постоянном объеме. Поверхностные явления, возникающие при совместном действии молекулярных сил (поверхностного натяжения и смачивания) и внешних сил (например, силы тяжести) и вызывающие искривление жидких поверхностей раздела, называются капиллярными явлениями. [c.15]

Рассматривая жидкую пленку на поверхности некоторого тела, характеризуемую поверхностным натяжением о, мы можем утверждать, что работа, совершаемая при увеличении площади ее поверхности, равна odA, где dA — увеличение площади поверхности, причем изменением объема пленки можно пренебречь. Воспользовавшись методом, аналогичным описанному в разд. Ж-4.2, показать, как можно получить все четыре соотношения Максвелла, связывающие величины Г, s, сг и Л. С помощью одного из них получить соотношение, аналогичное приведенному выше выражению для Tds, записывая [c.468]

Вначале рассмотрим представление виртуальной работы с5П в форме (3.2.2). Принятые допущения о малости удлинений и сдвигов по сравнению с единицей позволяют отождествить объемы, площади, линейные размеры элементов тела оболочки с соответствующими величинами после деформации. Из (3.2.3) видно, что в этом случае допустимо отождествление обобщенных напряжений с истинными напряжениями ст - в лагранжевых переменных. Принимая во внимание эти упрощения, учитывая отсутствие обжатия нормали и представляя, согласно (1.1.31), сдвиговые поперечные деформации компонентами в базисе г , отсчетной поверхности Q, приходим к следующему выражению для виртуальной работы (5П внутренних сил [c.49]

Для наглядности предположим, что выделенный объем W представляет собой твердое тело того же удельного веса, что и жидкость. Левая поверхность этого объема (на чертеже вертикальная стенка АО) имеет площадь ia =bh, являющуюся проекций криволинейной поверхности АБС на плоскость yOz. [c.18]

Архимед (287-212 до н.э.)-выдающийся древнегреческий ученый. Родом из Сиракуз (Сицилия). Разработал предвосхитившие интегральное исчисление методы нахождения площадей, поверхностей и объемов различных фигур и тел с больщой точностью, вполне удовлетворительной для нужд своего времени, определил значение числа п. В механике особенно интересовался математическими соотнощениями между силами, действующими на рычаг, а также расчетами положения центра тяжести различных тел в технике-много занимался разработкой и созданием сложных систем (полиспастов) для поднятия больших тяжестей, а также водоподъемных механизмов (архимедов винт) и военных метательных машин. Одним из его главных открытий является закон о подъемной силе в жидкостях, носящий его имя. [c.234]

Термодинамическая характеристика поверхности раздела двух фаз, определяемая работой обратимого изотермического образования единицы площади этой поверхности, называется поверхностным натяжением и измеряется в Дж/м или Н/м. В случае жидкой поверхности раздела поверхностное натяжение можно рассматривать также как силу, действующую на единицу длины контура поверхности и стремящуюся сократить поверхность до минимума при заданных объемах фаз. Работа образования новой поверхности затрачивается на преодоление сил межмо-лекулярного сцепления (когезии) при переходе молекул вещества из объема тела в поверхностный слой. Равнодействующая межмолекулярных сил в поверхностном слое не равиа нулю, как в объеме тела, а направлена во внутрь той фазы, в которой силы сцепления больше. Для подвижных жидкостей поверхностное натяжение -величина, тождественно равная свободной поверхностной энергии. Благодаря поверхностному натяжению жидкость при отсутствии внешних воздействий принимает форму шара, обеспечивая минимальную площадь поверхности и минимальное значение свободной поверхностной энергии. На легкоподвижных границах жид- [c.15]

Вычисление площадей (21) Вычисление поверхностей и объемов нщоз О-рых геометрических тел (23) Вычисление элементов конуса (25) Зависимость между диаметрами вписанной и описаннс окружностей 25) Тригонометрические функции (26) [c.3]

Каждый дополнительный контакт увеллчивает вариантность на единицу, поскольку добавляется одна внешняя независимая переменная. Так, если система подвержена действию электростатического поля, заметно влияющего на ее свойства, то вариантность будет с+3, если к тому же необходимо учесть энергию граничной поверхности, считая ее принадлежащей системе, то с+4 и т. д. С другой стороны, постоянство некоторых из переменных уменьшает вариантность. При фиксированных массах компонентов, т. е. для закрытых систем, в отсутствие внешних силовых полей и поверхностных эффектов справедливо правило Дюгема общая вариантность равновесия равняется двум вне зависимости от числа компонентов и их распределения внутри системы [3]. Система, изолированная или имеющая с внешней средой-только тепловой контакт, является моновариантной. Вариантность уменьшается также, если есть дополнительные связи между внешними переменными,, так как это эквивалентно уменьшению числа независимых переменных. Например, изменение площади поверхности тела однозначно определяется изменением его объема при однородной (с сохранением формы) деформации тела. [c.24]

Процесс превращения внутренней энергии в энергию излучения происходит во Есем объеме твердого тела, но энергия излучения частиц, расположенных далеко от поверхности, поглощается самим телом, а в окружающую среду попадает только энергия, испускаемая тонким поверхностным слоем. Поэтому излучение тела оценивается поверхностной плотностью потока собственного излучения Е, которая представляет собой количество энергии излучения, испускаемое единицей площади поверхности в единицу времени. Плотность потока собственного излучения учитывает излучение во всех направлениях и при всех длинах волн (Я = О оо ). [c.247]

Работа, которую необходимо затратить, чтобы разделить кристалл на отдельные достаточно далеко расположенные и не взаимодействующие частицы, определяет внутреннюю энергию кристалла. Эта энергия пропорциональна величине, характеру сил связи и числу связей, т е. обп.ему кристалла. Поверхностная энергия всего кристалла пропорциональна его поверхности. Поэтому диспергирование кристалла, ведуп ,ее к увеличению его поверхности и образованию bo6oahiiIx связей без изменения объема, должно сопровождаться увеличением поверхностной энергии. При соединении двух тел поверхностная энергия уменьшается пропорционально суммарной площади соединившихся поверхностей и может выделиться в виде теплоты или затратиться на подстройку в кристаллической решетке одного кристалла к другому. [c.53]

Возьмем определенный центр вытесненного объема С и ориентируем тело таким образом, чтобы соответствующая площадь плавания Р) была горизонтальна. Рассмотрим в ориентированном таким образом теле другую площадь плавания Р ), и пусть С есть соответствующий центр вытесненного объема. Можно доказать, что точка С будет выше, чем С. В самом деле, площадь плавания Р ) отделяет от тела такой же объем V, как и площадь (/ ), поэтому [р ) пересекает (/ ) и добавляет к прежнему объему V новый объем над площадью Р), равный объему, который она отсекает от преж-нето объема ниже площади (р). Новый вытесненный объем отличается от прежнего лишь тем, что часть элементов прежнего оказалась перемещенной выше, благодаря чему новый центр тяжести С окажется выше, чем С. Поэтому так как точка С есть самая нижняя точка поверхности (С), то плоскость, касательная к поверхности в этой точке, горизонтальна, т. е. параллельна площади Р). Наконец, поверхность (С) (как геометрическое место точек С) вся лежит над своей касательной плоскостью, т. е. по одну ее сторону (какова бы ни была эта плоскость). Следовательно, эта поверхность выпуклая. [c.287]

НАПОР [<гидростатический определяется отношением полной потенциальной скоростной характеризуется отношением кинетической) энергии некоторого объема жидкости к массе жидкости в этом объеме температурный — разность температур двух различных смежных или разделенных стенкой сред, между которыми происходит теплообмен] НАПРЯЖЕНИЕ механическое [служит мерой внутренних сил, возникающих в деформированном теле и определяемой отношением выявленной силы к величине элементарной площадки, выбранной внутри или на поверхности тела в гидроаэростатике определяется как сила, отнесенная к единице площади поверхности, на которую она действует касательное возникает под действием сил, касательных к нормальное возникает под действием сил, нормальных к> поверхности тела трение численно равно силе внутреннего трения в газе, действующей на единицу площади поверхности слоя] электрическое (численно равно суммарной работе, совершаемой кулоновскими и сторонними силами при перемещении по участку цепи единичного положительного заряда анодное прилагается между анодом и катодом электронной лампы или гальванической ванны зажигания обеспечивает переход несамостоятельного газового разряда в самостоятельный переменное, действующее значение которого вычисляют (для периодического напряжения) как среднеквадратичное значение напряжения за период его изменения пробивное вызывает разряд через слой диэлектрика сеточное приложено между сеткой и катодом электронной лампы и служит для запирания лампы при определенном значении его на участке цепи равно произведению его сопротивления на силу тока) НАПРЯЖЕНИЯ механические (контактные возникают на площадках соприкосновения деформируемых тел температурные образуются в теле вследствие различия температур составных его частей и ограничения возможностей теплового расширения со стороны окружающих частей тела или других тел остаточные вызываются крупными дефектами материала, неоднородностью кристаллической структуры и дефектами атомно-кристаллических решеток) [c.253]

Развитие кинематики в древности связано с кинема-тико-геометрическим моделированием движения небесных тел в астрономии, применением движения в геометрии (например, у Архимеда) п развитием общих физико-механических теорий, которое следует главным образом аристотелевской традиции. Все это в той или иной мере отразилось на характере трактата Герарда. Основной интерес Герарда направлен на исследование соотношений между движениями линий, площадей и объемов, которые рассматриваются последовательно в его трактате. Заметим, что, следуя античной традиции, под термином движение Герард часто понимает скорость. Говоря о равных движениях на дуге и равных движениях в точке он, очевидно, имеет в виду скорость равномерного движения. Сравнивая линии двух фигур, Герард вводит принцип соответствия между двумя бесконечными множествами элементов. Этот метод обнаруживает большое сходство с приемом Архимеда, который тот применил в Послании о методе , хотя этот трактат, по всей вероятности, не был известен в средневековой Европе. В согласии с этим приемом Герард рассматривает линии как совокупности точек, площади — как совокупности линий и т. д. Если поверхности равны п любые их линии, взятые в том же отношении, равны и если ни одна из так взятых линий не имеет большего движения, чем линии другой поверхности, то и сама поверхность не будет иметь большего движения . Герард всегда сравнивает перемещения, происходящие за равные промежутки времени. [c.64]

Набор Топология определяет структуры данных, описьшающих связи (отношения) между геометрическими сущностями - классами набора Геометрия . К структурам топологических данных относятся вершины, ребра, линии к касных моделей, участки поверхности, оболочки - совокупности связанных через ребра участков поверхности, тела - части пространства, ограниченные оболочкой, совокупности тел, в том числе простые конструкции вида частей цитандра, конуса, сферы, тора. В наборе имеются также средства 1) для скругления острых углов и кромок, т. е. формирования галтелей постоянного или переменного радиуса 2) для поддержания непрерывности при сопряжении разных поверхностей 3) для метрических расчетов - определения длин ребер, площадей участков поверхности, объемов тел, центров масс и моментов инерщ1и. [c.270]

Специалисты по тепло- и массообменному оборудованию рассчитывают тепловые и технологические схемы с целью определить начальные и конечные параметры рабочих тел каждого из элементов схемы рассчитывают и подбирают стандартное и типовое оборудование конструируют новое по заданным нагрузкам и режимам его работы анализируют установившиеся, периодические и переходные режимы работы установленного оборудования выбирают рациональные и тепловые и технологические схемы и оптимизируют конструкции тепло- и массообменных аппаратов рассчитывают поля скоростей, температур, концентраций и давлений в объеме аппарата, их распределения по толщине и площади поверхности тепло- и массопере-даюших элементов и т.п. [c.286]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...