Проецирование точки — Проецирование отрезка прямой

При рассмотрении свойств параллельного проецирования установлено, что отношение отрезков прямой равно отношению их проекций. Чтобы разделить отрезок прямой в каком-то заданном отношении, достаточно разделить в том же отношении проекции отрезка. [c.34]

Проецирование отрезка прямой на две и на три плоскости проекций. Отрезок прямой определяется двумя концевыми точками. Проекция же отрезка прямой определяется проекциями двух концевых точек. Поэтому проецирование отрезка прямой линии сводится к построению проекций концевых его точек (рис. 328). Чертеж в трех проекциях отрезка прямой АВ показан на [c.181]

Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций (рис. 62) АС 0 0 [c.38]

Изучая прямоугольное проецирование отрезков прямых или плоских кривых линий, а также фигур (треугольника, круга и др.) на три плоскости Уу Н и Ж, можно отметить, что действительные размеры и виды этих линий и фигур получаются на той плоскости проекций, параллельно которой распол(жены эти линии и фигуры (рис. 113). Например, отрезок прямой АВ, параллельный плоскости V (отрезок фронтали), проецируется в действительную длину на плоскость Кили, иначе, длина фронтальной проекции а Ь отрезка фронтали равна действительной длине этого отрезка. [c.70]

На рис. 130 дан пример общего случая проецирования отрезка аЬ, а Ь прямой из центра ss на плоскость. Плоскость здесь задана следом соответствия Рц и точкой ssi пересечения плоскости с вертикальной прямой центра проецирования. [c.96]

НИИ проецирования составляют между собой также прямой угол на фронтальной грани двугранного угла. На этой грани определяем след луча. Точку Ь определяем на фронтальной проекции луча и на расстоянии от точки аа равном отрезку горизонтальной проекции аЬ горизонтали ah, аЪ. . [c.100]

Аппарат получения наглядного изображения состоит (рис. 6.8) из точки зрения (проецирования) б, картинной плоскости П. Прямая 80, перпендикулярная картинной плоскости П, называется главным лучом зрения, точка О = 80 п П — главной точкой картины, длина с1 отрезка 80 — дистанционным расстоянием. [c.195]

На рис. 2 изображена операция параллельного проецирования отрезка АВ. Проецирующие линии всех точек этого отрезка лежат в одной (проецирующей) плоскости. Поэтому проекцией отрезка АВ является отрезок А В прямой линии. Это свойство общее для центральной и параллельной проекций. [c.8]

Рассматривая рис. 91—94, убеждаемся в справедливости второго свойства параллельного проецирования (см. 17) и для ортогональных проекций. Действительно, если точка принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой и имеют линии связи, перпендикулярные к соответствующим осям проекций. Справедливым является и обратное утверждение если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой, то и сама точка принадлежит изображенной прямой. Об этом судим по проекциям конечных точек отрезков. [c.90]

Если направление проецирования 5 выбрано неудачно, например, параллельно какой-либо грани предмета или координатной плоскости, то в аксонометрической проекции эта грань или координатная плоскость изобразятся Б виде отрезка прямой линии. Наглядность изобра- [c.102]

Построим проекции на плоскости П° осей координат. Пусть точка О проецируется в точку 0° (ее положение при заданной плоскости П° зависит от направления проецирования. Обычно она расположена внутри треугольника следов). Ось X проецируется в прямую х°, проходящую через точки 0° и X. Прямая у° проходит через точки 0° и У, а прямая г° — через точки 0° и 2. Коэффициентом искажения по оси х° является отношение 0°Х 0Х, следовательно, длина отрезка 0°Х = ОХ- и. Аналогично 0° У= О У-1) и 0°2 = 02-И. [c.178]

Сущность метода параллельного проецирования заключается в следующем. В пространстве задают плоскость проекций Р и направление проецирования N (рис. 161). Изображение предмета, например параллелепипеда, на плоскости Р строят с помощью проецирующих прямых, параллельных направлению проецирования N. Совокупность точек пересечения этих прямых с плоскостью Р представляет собой параллельную проекцию параллелепипеда. Плоскость Р, на которой строят проекцию предмета, называется плоскостью проекций. При таком методе проецирования проекции взаимно параллельных и равных между собой отрезков прямых параллельны и равны между собой (например, проекции аЬ и с(1 [c.80]

Контрольные вопросы. 1. Что называется перспективой 2. В чем заключается основной закон перспективы 3. В чем сущность метода центрального проецирования 4. Из каких элементов состоит проецирующий аппарат 5. Как изображаются на картине прямые, перпендикулярные к картинной плоскости 6. Как изображается перспектива горизонтальных прямых, параллельных картине 7. Как изображаются на картине прямые, перпендикулярные предметной плоскости 8. Какая точка называется предельной точкой прямой 9. Как обозначается точка схода для горизонтальных прямых, составляющих с картиной угол 45° 10. Каким отрезком измеряется расстояние зрителя до картины П. Что называется углом зрения 12. Что называется полем ясного зрения 13. Как строится перспектива угла, произвольно расположенного в предметной плоскости [c.231]

Второе при данном относительном положении плоскости проекций и оригинала вид изображения будет определяться направлением проецирования. Например, на рис. 7в при направлении проецирования Б проекция отрезка прямой — также отрезок прямой, а при направлении проецирования Г — точка. [c.14]

В задании 42 необходимо построить в прямоугольных проекциях и аксонометрии точки А, В и отрезок прямой СВ по заданным координатам. Аксонометрическое изображение отрезка прямой СВ и построение комплексного чертежа этого отрезка сводится к проецированию его точек С,В. Образец, выполненного задания на построение комплексного чертежа и наглядного изображения точек и отрезка прямой приведен на рис. 6. [c.8]

Б. Если удаление концов отрезка, например точек М и N на рис. 2, в, от плоскости проекций равно удалению центра проецирования 5 от этой же плоскости, то проекцией отрезка будет бесконечно удаленная прямая, называемая несобственной прямой. j 2.3. Если точка принадлежит прямой, то и проекция точки принадлежит проекции прямой. Доказательство (см. рис. 2, а) прямая D и центр проецирования 5 образуют плоскость. Точка К принадлежит прямой D, следовательно, и плоскости S D. Проецирующий луч SK и проекция D также принадлежат этой плоскости, значит они пересекутся в точке К, принадлежащей проекции D прямой D. [c.10]

Изображение предметов при помощи центрального проецирования обладает большой наглядностью, так как процесс человеческого зрения в геометрическом отношении совпадает с операцией центрального проецирования (оптический центр хрусталика глаза можно считать центром проекций, а участок задней стенки сетчатки может быть принят приближенно за плоскость проекций). Метод центрального проецирования слишком сложен и в значительной степени искажает форму и размеры оригинала, так как не сохраняет параллельности прямых и отношения отрезков. Поэтому на практике чаще пользуются методом параллельного проецирования (в частности, ортогонального проецирования). Этот метод, являясь частным случаем центрального проецирования, когда центр проекций находится в бесконечно удаленной точке Sa>, дает более простое построение изображения и в большей степени, как это будет показано дальше, сохраняет те свойства оригинала, от которых зависят его форма и размеры. [c.12]

Чертежи строят на основе метода проекций. Пусть даны точка S - центр проецирования, некоторые точки А и В, задающие отрезок, и плоскость проекций (рис. 1.1а). Если из точки 5 через точки А и В провести прямые линии, называемые проецирующими, до пересечения с плоскостью проекций П,, на плоскости в точках пересечения получим проекции точек Л, и В,. Соединяющая их линия -проекция отрезка АВ. Полученные здесь проекции называют центральными (их используют для построения изображений, именуемых перспективными). Если представить, что центр проецирования 5 находится в бесконечности, проецирующие линии будут параллельными, и проецирование в этом слз ае будет называться параллельным. [c.20]

Образование аксонометрической проекции предмета происходит следующим образом (рис. 4.1) предмет связывают с осями координат X, Y, Z и проецируют вместе с осями с помощью параллельных проецирующих прямых на расположенную определенным образом относительно осей координат аксонометрическую плоскость проекций П. Проекции осей координат X, Y, Z na плоскости П называют аксонометрическими осями. Если взять на оси координат какой-либо отрезок, например ОА, или задаться каким-либо отрезком D, параллельным оси координат, то отрезки спроецируются на П с определенным искажением. Отношение длины проекции такого отрезка к длине самого отрезка называется натуральным коэффициентом искажения для данной оси. Метод аксонометрического проецирования основан на соотношениях между отрезками, взятыми на осях координат, и их проекциями на аксонометрических осях. [c.86]

Итак, точки D, G и К, определяющие искомые направления проецирования, лежат точка D — в плоскости треугольника ЛВС, точки G и К — на перпендикуляре, восставленном из точки I к плоскости треугольника AB по разные стороны от этой плоскости и на расстоянии от нее g I = k l (см. рис. 88 и 91). Но эти точки найдены в совмещенном положении плоскости треугольника AB . Построим эти точки в исходном положении плоскости треугольника ЛВС. Проекции точек D и I займут соответственно места di, d/ и Ji, Ji (см. рис. 89). Затем из точки /], // восставляем к плоскости треугольника аЬс,а Ь с перпендикуляр gi—h—ku g] —I/—k/ (при помощи горизонтали h], hi и фронтали f, f плоскости треугольника AB ). На этом перпендикуляре от точки J], h откладываем в обе стороны отрезки li—gu 1 —g и 1 —k, 1 —ki, равные отрезкам 1 —g и Г—k. Проведя, наконец, через точку du d/ и точки 8 и fej, к/ прямые digi, d gi и d]ki, d ki, получим искомые направления проецирования, при каждом из которых эллипс плоскости Р проецируется в родственную ему окружность плоскости Q и, следовательно, треугольник AB плоскости Р — в родственный ему треугольник, подобный треугольнику ЛоЯоСо, лежащий в искомой плоскости Q, перпендикулярной любому из найденных направлений проецирования. [c.99]

Плоскость р проецируется линией р, совпадающей с гори.юнтальным следом плоскости окружность основания конуса, лежащая в плоскости Л2, проецируется отрезком [3 —4 , лежащим на оси х, а вершина конуса — точкой V По дополнительной проекции можно заключить, что сечение представляет собой эллипс, так как все образующие конической поверхности пересекаются плоскостью При этом эллипс проецируется отрезком прямой линии [К з — К - В результате того, что проецирование производилось фронтальными линиями, расстояние точек сечения от плоскости Л2 равно расстоянию их дополнительных проекций от этой плоскости. Поэтому, очевидно, точка Кз является ближайшей к наблюдателю [c.78]

Для определения точности графических построений задачи в целом найдем натуральную величину искомого треугольника, который должен быть подобен треугольнику AqBo q. Для этого проведем через вершины треугольника AB прямые, параллельные найденному направлению проецирования, и найдем точки пересечения проецирующих лучей с перпендикулярной к ним плоскостью. Одна точка, точка с, с, на чертеже уже есть. Строим точки Qj, а/ и bi, Ь/ пересечения проецирующих лучей, проходящих соответственно через точки а, а и Ь, Ь, с плоскостью, определяемой горизонталью Н и фронталью F. Соединив точки Oi, а/, Ь), bi и с, с отрезками прямых, получим искомый треугольник A Bi . Построив натуральную величину ааЬгСа треугольника A]Bi и сравнив ее с треугольником AoBq q, видим, что они подобны, что свидетельствует о точности графических построений задачи. [c.80]

Для решения задачи необходимо в искомую плоскость Q, в которой должен лежать равносторонний треугольник — ортогональная проекция на эту плоскость данного треугольника AB ,—вписать какую-нибуД Ь окружность. Для этого мысленно совместим плоскость Q с плоскостью чертежа (рис. 94). Все равносторонние треугольники, как и все окружности, подобны между собою. Поэтому в плоскость Q, совмещенную с плоскостью чертежа, вписываем какой-нибудь равносторонний треугольник AqBo q (рис. 94) и вспомогательную окружность ( катализатор ), определив ее какими-нибудь двумя взаимно перпендикулярными радиусами произвольной длины, например B Iq и /о—//о-Чтобы вписать в плоскость Р данного треугольника аЬс, а Ь с эллипс (рис. 95), соответствующий окружности, вписанной в плоскость Q, необходимо определить натуральную величину даного треугольника. Последнее можно сделать, совместив его плоскость с горизонтальной плоскостью проекций, путем вращения этой плоскости вокруг ее горизонтального следа Рк. Вписываем в совмещенное положение плоскости Р эллипс, родственный окружности, определив его двумя сопряженными полудиаметрами bil и 1—2. Точку 2 находим на прямой ась как внешне делящую отрезок ас в том же отношении, в каком точка //о внешне делит отрезок ЛоСо. Точку 1 на стороне ас треугольника abi находим как середину отрезка ас. По сопряженным полудиаметрам эллипса строим большую 1—d и малую 1—е его полуоси. Переходим к построению тех направлений проецирования, при которых эллипс изображается на плоскостях, перпендикулярных этим направлениям, в виде окружности. Для этого заменяем фронтальную плоскость проекций V (см. рис. 93 и 96) новой плоскостью Vi, определяемой новой [c.100]

Через вершины а, а Ь,Ь и с, с треугольника проводим лучи параллельно заданному направлению р, р проецирования. На любом из этих лучей, например ВВ , возьмем произвольную точку 6j, Ь], проведем через нее плоскость, перпендикулярную к проецирующим лучам, строим точки й], а/ и С], с/ пересечения этой плоскости с двумя остальными лучами. Соединив эти точки отрезками прямых, получим треугольник ЛiSi i (fljbi i, а/Ь/с/), определяющий собой ортогональную проекцию искомого треугольника. Строим его натуральную величину й2Ь2С2, совместив плоскость его с плоскостью, параллельной горизонтальной плоскости проекции, путем вращения вокруг горизонтали, проходящей через точку j. Можно считать, что достигнуто то вспомогательное положение фигур, при котором нормальное сечение параллельно горизонтальной плоскости проекций, а проецирующие лучи перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций. Имея натуральную величину <2262 2 треугольника, служащего ортогональной проекцией искомого треугольника во вспомогательном его положении, можем построить фронтальную его проекцию. Фронтальную проекцию искомого треугольника во вспомогательном его положении, как увидим, можно и не строить. Положение вершин искомого треугольника вполне определяется расстояниями их от плоскости нормального се-чения. , [c.112]

В то же время с помощью системы аксиом возмо> сно установить отношения между отмеченными основными понятиями, которые в дальнейшем служат основанием для формулировки различных геометрических предложений (теорем), составляющих теоретическую базу геометрии. Учитывая особую роль, которую играют в геометрии, в том числе и геометрии начертательной, основные понятия, целесообразно начать изложение курса начертательной геометрии, связанного с использованием метода проецирования, с рассмотрения ортогональных проекций точки, г[рямой, плоскости и определения дл ны отрезка прямой (являющегося мерой расстояния), заданного ортогональными проекциями. [c.29]

Наглядное изображение отрезка АВ прямой и его ортогонального проецирования на плоскость Р показано на рисунке 2.1. Рассмотрим ортогональное проецирование отрезка АВ с учетом свойств параллельного проецирования (1.2). Параллельные проецирующие прямые Аор и ВЬр, проведенные из точек А Vi В прямой, образуют проецирующую пдоскость Q, пересекающуюся с плоскостью проекций Р. Линия пересечения плоскостей Pvi Q проходит через проекции Ор и Ьр точек А и В на плоскости проекций Р. Эта линия и является единственной проекцией прямой на плоскости проекций Р. [c.19]

Как бы ни была направлена секуищя плоскость, она всегда рассекает сферу по окружности, которая проецируется в виде отрезка прямой, в виде эллипса или в виде окружности в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к плоскости проекции (рис. 381). Большая ось (3—4) эллипса — горизонтальной проекции окружности сечения — равняется диаметру этой окружности 3— = = 1 2 У, малая ось 1—2 получается проецированием. Точки 5 и 6 на фронтальной проекции экватора дают возможность найти точки [c.253]

Отрезок ООр, параллельный направлению проецирования, и отрезки Оу и Оху определяют прямоугольный треугольник ОуО, (угол ОуОх прямой). В самом деле, отрезок Оу перпендикулярен к пл. V, а так как пл. Р параллельна пл. V, то, следовательно, пл. Р перпендикулярна к Оу. Вращая треугольник ОуОх вокруг катета Оу, можно получить различные положения точки О, на пл. Р, причем во всех своих положениях точка О, находится на одном и том же расстоянии от оси у геометрическим местом положений точки О, будет окружность, описанная из точки у радиусом уО . На рис. 480, справа указано два таких положения Ох и О каждая из точек О, и Оз служит началом осей, из которых оси. и г сохраняют свои направления, а ось у меняет направление это выражается изменением угла а между аксонометрическими осями х и у. При этом направление проецирования меняется (см. на рис. 480 направление отрезков ООх и ООг). Угол а можно выбрать произвольно. [c.352]

Если считать, что заданы не плоскости, а их отсеки — треугольники АВС и DEF и они непрозрачны, то следует определить видимость фигур. Для этого воспользуемся конкурирующими точками скрещивающихся прямых. Возьмем, например, точки РС.АСчМ С DF (рис. 159). Их горизонтальные проекции расположены в пересечении горизонтальных проекций названных прямых (месте кажущегося пересечения). Найдя фронтальные проекции точек М и Р, устанавливаем, что точка Р при направлении проецирования, перпендикулярном П,, расположена ближе к зрителю, следовательно, она видима. Видимой будет и прилегающая к точке Р часть отрезка АС (до точки его пересечения с плоскостью DEF). О видимости отрезка А В можно судить, рассмотрев конкурирующие точки в месте кажущегося пересечения прямых DF и АВ или EF и АВ при том же направлении проецирования. [c.53]

Все точки прямой нельзя изобразить иа чертеже , так как она бесконечна. Прямую можно задать (изобразить) на чертеже, например, в виде ее отрезка. Рассмотрим орто-гона. И>ное проецирование отрезка АВ на плоскость П (рис. 3.1). Проецирующие лучи АА, и ВВ,, проведенные из точек А и В прямой, образукэт плоскость, пересекающуюся с плоскостью проекций П,. [c.21]

Наглядное изображение отрезка АВ прямой и его ортогонального проецирования на плоскость я показано на рис. 2.1. Рас-смотфим ортогональное проецирование отрезка с учетом свойств параллельного проецирования ( 1.2). Параллельные проецирующие прямые АА° VI ВВ°, проведенные из точек Ап В прямой, образуют проецирующую плоскость р, пересекающуюся с плоскостью проекций 7t. Линия пересечения плоскостей я и р проходит через проекхщи А° и В° точек 4 и на цлоскоеш проекций я. Эта линия и является единственной проекцией прямой на плоскости проекций я. [c.18]

Итак, параллельные прямые линии проецируются на плоскости проекций в виде параллельных прямых независимо от выбора направления проецирования. У параллельных отрезков односторонние крайние точки проекций являются проекциями или наиболее удаленных, или наиболее близких точек этих отрезков от плоскости проекций. Такие проекции называют однонаправленными. [c.14]

Покажем для примера проецирование ребра СЗ. Фронтальная проекция СуЗу этого ребра изображается отрезком в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекций ребро проецируется в точку Сн = 3fj. Для нахождения профильной проекции этого ребра намечают базовую фронтальную плоскость (горизонтальный след ее обозначен гпн, профильный ), проведенную через точку С, и выбирают w, На прямой nw откладывают отрезок w3vif = СуЗу. [c.95]

Метод центрального проецирования заключается в построении изображения при помощи проецирующих лучей, проходящих через одну общую точку рис. 59). Точка 5, через которую проведены проецирующие лучи 15Л), [8В), 15С), называется центром пр оецирования. Плоскость Р, па которой получаются проекции, называется плоскостью проекций. Проведя через точку А проецирующий луч до пересечения с плоскостью Р, получим центральную проекцию а. Чтобы получить проекцию отрезка ВС, необходимо провести проецирующие лучи через все его точки. Совокупность лучей образует проецирующую плоскость, которая пересекается с плоскостью Р по-прямой Ьс], являющейся искомой цен- [c.65]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...