Индекса поднятие

Операции, подобные тем, которые описываются уравнениями (1-3.35), называются поднятием и опусканием индексов ). [c.27]

Контравариантные компоненты можно получить при помощи операции поднятия индекса, используя метрический тензор. Ковариантные и контравариантные векторы поля V/ иногда обозначают символами Dif и D f соответственно. [c.31]

Другие компоненты можно получить при помощи аналогичных выражений или операций поднятия и опускания индексов. [c.34]

Сравнение уравнений (3-4.10) и (3-4.12) ясно показывает, что индексы не могут быть подняты (или опущены), поскольку, разумеется, Ajv = —Вл- [c.114]

Не приходится и говорить о том, что индексы в уравнении (3-4.17) или (3-4.19) не могут быть подняты (или опущены). [c.115]

Разумеется, хотя левые части уравнений (3-4.20) и (3-4.21) являются iV-ми производными компонент одного тензора, правые части представляют собой компоненты другого тензора. Нет необходимости вновь напоминать, что индексы в этих уравнениях не могут быть подняты или опущены. [c.115]

Путем свертывания данного тензора с метрическим тензором выполняется операция опускания или поднятия индексов у данного тензора. Эту операцию для вектора (тензора первого ранга) иллюстрируют равенства (2 .22) и (2 .23). Пусть, например, два раза контравариантный тензор а 1 дважды свертывается с ковариантным метрическим тензором. В результате получим два раза ковариантный тензор [c.411]

В математических формулах индексы и показатели степени должны быть одинаковыми по величине и одинаково опущены или подняты по отношению к линии основной строки. [c.26]

Приведем несколько необходимых в дальнейшем соотношений. Так, из формул (5.5), (5.26) и (5.29) следует правило поднятия и опускания индексов [c.256]

Два поверхностных тензора типа s ) и типа (к , S2) одинакового ранга п(к + Sj = 2 + Sj = п), получающиеся один из другого путем применения (одно- или многократного) операций поднятия и опускания индексов, называются эквивалентными. Класс эквивалентных тензоров ранга п называется тензором п-го ранга. Каждый такой класс объединяет 2" представителей. [c.17]

Легко проверяется, что при гладких обратимых преобразованиях координат х -, величины J,, с , преобразуются по формулам тензорной природы. Кроме того, эти величины получаются друг из друга путем применения операций поднятия и опускания индексов и, следовательно, составляют класс эквивалентных тензоров. Соответствующий поверхностный тензор второго ранга называется дискриминантным. Данный тензор антисимметричен и его ковариантные компоненты определяются равенствами = О, = /а. [c.20]

Операция поднятия и опускания индексов осуществляется при помощи пространственного метрического тензора по формулам [c.24]

Это правило опускания и поднятия индексов относится ко всем тензорам, например [c.199]

Опыты показали, что с повышением угловой скорости собственного вращения ротора частота собственных колебаний гироскопа относительно меридиана сначала возрастает, достигает максимума при сравнительно малом собственном кинетическом моменте гироскопа, а затем начинает убывать. Это осложняло положение. Казалось, что кинетическому моменту нельзя придать достаточно большое значение, при котором статическая погрешность прибора оставалась бы в приемлемых пределах. Тогда частота собственных колебаний прибора падала настолько, что усреднять его показания, отсчитывая их относительно индекса, связанного с кораблем, не представлялось возможным. Правда, можно было, как показывал опыт, для поднятия частоты собственных колебаний увеличить статический момент маятника, но здесь обнаруживалось еще одно серьезное осложнение. [c.147]

Это означает, что индексы могут быть опущены или подняты. [c.12]

Операции, выражаемые этими формулами, называются поднятием индекса и опусканием индекса. [c.40]

Символы Кристоффеля второго рода получаются поднятием индексов. [c.79]

Смешанные компоненты находят при помощи метрического тензора, путем поднятия и опускания индексов [c.109]

Поднятие и опускание индексов осуществляется при помощи свёртки с компонентами метрического тензора [c.211]

Пусть - ковариантные компоненты тензора деформаций, его контравариантные компоненты получим, используя операцию поднятия индексов [c.215]

Отметим, что точка сверху лагранжевых компонент тензоров означает производную по t, кружочек же — компоненты скорости тензора, получаемые поднятием и опусканием индексов с помощью метрического тензора из ковариантных компонент. [c.136]

Сравнивая с (9.33), (9.34), видим, что скорость контравариантной компоненты равна контравариантной компоненте, получаемой из скоростей ковариантных компонент путем поднятия индексов, но с обратным знаком. Отсюда следует, что скорости [c.137]

Используя тензор g , можно получить вектор = g У поднятием индекса у У. Точно так же можно поднять или опустить индекс любого тензора, например = g = ga [c.128]

Некоторые из них в отношении сопоставления элементов не отличаются от операций над двухмерными матрицами или являются очевидным обобщением последних. Такими операциями являются сложение многомерных матриц или тензоров, поднятие или опускание индексов у тензора (аналог транспонирования матриц), умножение многомерной матрицы на двухмерную (легко представляется как последовательность умножений двухмерных слоев многомерной матрицы на двухмерную), а также свертывание тензора по одному или нескольким индексам (порядок в нем аналогичен порядку при умножении на скаляр). Другие же не имеют аналогов, например умножение тензоров, в котором сопоставляется каждый элемент одного тензора с каждым элементом другого. Близка к этому и операция умножения многомерных матриц. [c.59]

В определенных случаях анализ индексов неподвижных точек с необходимостью приводит к заключению об экспоненциальной скорости роста числа периодических точек. В наиболее общей постановке этот вопрос является предметом теории Нильсена, которая объединяет гомотопии и гомологии, рассматривая индексы неподвижных точек различных поднятий данного отображения на универсальное накрытие. Среди ограниченного набора многообразий, которым уделяется специальное внимание в этой книге, эта теория дает нетривиальные результаты для отображений торов произвольных размерностей и поверхностей более высокого рода. Здесь мы сосредоточим внимание на отображениях торов, для которых основные идеи теории Нильсена могут быть представлены очень наглядно и без больших топологических затруднений. [c.338]

Величина gik, которую будем называть стандартным метрическим тензором, является частным примером стандартного тензора ранга 2. Стандартный тензор ранга п определяется как п-индексная величина (с 4 компонентами), которая по каждому индексу преобразуется как стандартный вектор, т. е. в соответствии с (9.313) для контравариантных индексов и с (9.322) для ковариантных. Связь между ковариантными и контравариантными компонентами дается с помощью правил (9.298) опускания и поднятия индексов. Таким образом, по аналогии с (9.36), (9.38) для стандартного тензора ранга 2 имеем [c.256]

Связь с устанавливается из условия согласования параллельного переноса и операции поднятия индексов. Связность согласована с метрикой, если параллельный перенос сохраняет скалярное произведение. Из этого условия получаем, что [c.70]

С помощью g осуществляется операция поднятия индексов ). В дальнейшем удобно иметь дело с таким представлением (будем называть его энергетическим) уравнений движения (5), в котором удвоенная энергия задается суммой квадратов компонент вектора состояния. В этом случае [c.44]

Контраварпантные компоненты, а также другие типы смешанных компонент тензора Va получаются поднятием второго индекса в уравнениях (1-4.9) и (1-4,14) соответственно. Символы и а, - называются контравариантными производными контрава-риантного и ковариантного векторов соответственно. [c.33]

Действительно, уи является iV-й производной ytj, и, поскольку дифференцирование по времени и поднятие индекса не коммути- [c.114]

Первая группа формул носит название деривационных формул Гаусса, вторая — деривационных формул Вейнгартена. Здесь Fij —символы Кристоффеля для поверхности, поднятие индекса у тензора производится с помощью метрического контрава-риантного тензора [c.424]

В этих формулах аключены правила операций опускания и поднятия индексов, автоматизирующие вычисления с тензорными величинами. [c.783]

Поднятие и опускание индексов. Если — любой вектор, то ковектор Va = ga(3 — внутреннес произведение ga/з и v — рассматривается как другое представление v говорят, что Va получен из v опусканием индекса. Для обращения этой операции — поднятия индекса — введем матрицу g = обратную к g [c.128]

Операции (9.16) и (9.17) называются опусканием и поднятием индексов. В декартовой системе координат евклидова пространства и разницы между ковариантными и контраварнантными компонентами нет. [c.216]

На Нт Х) имеется билинейная форма — индекс пересечения <, >. Поднимем ее на(- . Д) С помощью отображения -На пространстве Ят+1(Х ), вложенном в относительные-гомоло-гии, рассмотрим ограничение этого поднятия (как легко видеть,— нулевое). Форма на Нт+ Х ), заданная своим индексом пересечения, игнорируется. Получаем точную последовательность соответствующих решеток (пар, составленных из свободных Z-модулей и билинейных форм на них) [c.33]

Умножение на соответствующие компоненты метрического тензора сводится к поднятию или < опуоЛанию соответствующего индекса. Для векторов имеют место связи , а. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...