Тензор Римана

Тензор четвертого ранга Rik.a- называется тензором кривизны или тензором Римана — Кристоффеля. [c.505]

При параллельном переносе вектора в евклидовом пространстве (Ди)7 = 0. Действительно, в евклидовом пространстве существует декартова система координат с единичным метрическим тензором. В этой системе все символы Кристоффеля равны нулю. Следовательно, равны нулю компоненты тензора Римана — Кристоффеля. [c.507]

В неевклидовом пространстве тензор Римана — Кристоффеля не равен нулю. Примером такого пространства является криволинейная поверхность, отличающаяся от цилиндрической. [c.507]

Тензор Римана — Кристоффеля. [c.23]

Выше было показано, что в трехмерном пространстве тензор Римана — Кристоффеля имеет только шесть независимых компонентов. Следовательно, условия (1.89) могут быть заменены шестью независимыми условиями вида [c.28]

Компоненты тензора деформаций, как это явствует из (3.17) или (3.18), не являются независимыми, они должны удовлетворять некоторым условиям. Эти условия могут быть получены в предположении, что тело в недеформированной конфигурации находится в евклидовом пространстве и продолжает оставаться в нем в процессе деформирования. Как известно, необходимое и достаточное для этого условие состоит в том, что тензор Римана — Кристоффеля как для недеформированного состояния S, так и для деформиро- [c.50]

Условия евклидова пространства. Тензор Римана-Кристоффеля. Рассмотрим —> —>- [c.83]

Левая часть равенства есть смешанные компоненты тензора третьего ранга. Следовательно, правая часть равенства в скобках есть смешанные компоненты R цт тензора четвертого ранга R. Тензор Римана-Кристоффеля R характеризует от- [c.83]

Число компонент тензора Римана-Кристоффеля равно 3 = 81. Из приведенной формулы следуют свойства симметрии этих компонент [c.84]

V. 6. Тензор Римана—Кристоффеля. Квадрат линейного элемента в евклидовом пространстве представляется суммой квадратов дифференциалов декартовых координат [c.886]

Здесь введены в рассмотрение четырежды ковариантные компоненты тензора Римана — Кристоффеля они выражаются через символы Кристоффеля первого рода и поэтому легче вычисляются. Действительно, [c.889]

Здесь S — произвольный инвариант, a — тензор Римана—Кристоф- [c.90]

Здесь R Y — тензор Римана — Кристоффеля на поверхности. Для него справедливо тождество [271 [c.81]

Здесь — тензор Римана — Кристоффеля, компоненты которого опреде- [c.21]

Найдем расходимость тензора Римана. Имеем [c.452]

Таким образом, отмечаем, что тензор Римана является показателем искривленности (показателем наличия масс и поля тяготения) риманова пространства. Более того, нулевой характер тензора кривизны в плоском пространстве-времени Минковского не может быть изменен никаким преобразованием координат. Следова- [c.454]

Тензор Римана - Кристоффеля первого рода [c.95]

Свойства симметрии тензора Римана - Кристоффеля. Будем рассматривать местную декартову систему координат, в которой Гд = О, а их производные отличны от нуля [c.96]

Вычислим количество независимых компонент тензора Римана - Кристоффеля в трехмерном пространстве. Фиксируя, находим 3 независимые компоненты. Независимых компонент всего будет 6. Выпишем их [c.96]

Тензоры Риччи и Эйнштейна. Тензор Риччи определяется, как свёртка тензора Римана - Кристоффеля [c.96]

Ограничения на связаны с тем, что деформация происходит в евклидовом пространстве. Значит, тензор Римана-Крис- [c.164]

Воспользуемся условием совместности деформаций, которые выражают равенство нулю тензора Римана-Кристоффеля [c.241]

Ковариантные составляющие тензора Римана — Кристоффеля определяются формулами (П. 2.14.5). Из них следуют свойства [c.625]

Из соотношений (12) можно получить выражение тензора Римана Кристоффеля через тензор Риччи [c.628]

И чтобы прийти к (15) остается раскрыть скобки и использовать свойства (14.18), (14.19) тензора Римана — Кристоффеля. [c.628]

Итак, необходимым условием существования евклидовой метрики пространства является обращение в нуль тензора Римана — Кристофсреля. [c.507]

Простейщим примером евклидова пространства двух измерений будет плоскость. Так как основным отличием между поверхностью и плоскостью является кривизна поверхности, связанная с тензором Римана — Кристоффеля, то этот тензор называется также тензором кривизны, как было сказано выше. [c.507]

Равенства, находящиеся в первых двух строках, выражают антисимметричность тензора Rprst относительно каждой пары индексов р, г н S, t. Учитывая свойства (1.88), после подсчета получаем, что из 81 компонента тензора Римана — Кристоффеля остается только шесть независимых компонентов Я 2 2, Я г ъ, R2323, Ятз, Rim, Rsisz-Известно, что во все евклидово пространство можно ввести декартову систему координат. Так как в последней компоненты метрического тензора постоянны, а следовательно, символы Кристоф- [c.27]

Можно показать и обратное. Если тензор Римана — Кристоффе-ля во всех точках пространства обращается в нуль, то в этом пространстве можно выбрать такие координаты х х , х , чтобы квадратичная форма приняла вид ds =gikdx x с постоянными коэффициентами. Постоянство этих коэффициентов указывает на евкли-довость пространства. Следовательно, равенство нулю тензора Римана — Кристоффеля является достаточным условием того, чтобы пространство было евклидовым. [c.28]

Подставляя выражения компонентов тензора Римана — Кристоф-феля (1.87) в (3.21), получим [c.51]

КРИВИЗНЙ ТЕНЗОР (Римана тензор) — локальная характеристика кривизны в римановой геометрии. К. т. определяют с помощью процедуры параллельного переноса вектора вдоль замкнутой кривой в римановом пространстве. Параллельным (ковариантно постоянным) вдоль кривой t) наз. векторное поле F (ж), для к-рою обращается в пуль коварианткая прои.- вод-пая Vf по направлению скорости кривой x =dx jdt. [c.491]

Любая другая компонента равна либо нулю, либо одной из перечисленных о точностью до знака. Тогда условия евклидовости пространства g , g получаются приравниванием нулю шести компонент тензора Римана—Кристоффеля Rijmn О- [c.84]

Структура этого выражения показывает, что величины Rrsq представляют компоненты тензора четвертого ранга, трижды ковариантные по индексам srq и контравариантные по индексу t. Это — тензор кривизны Римана — Кристоффеля его компоненты вычисляются через компоненты метрического тензора. Если последние заданы так, что тензор Римана — Кристоффеля оказывается нулевым, то уравнения (V. 6.6) интегрируемы, а пространство с линейным элементом (V. 6.2)—евклидово Ez. [c.888]

Это тензор Римана - Кристоффеля второго порядка. Хотя Гд не тензор, но их совокупность R lJ, тензор четвертого ранга. Необходимое условие Эвклидовости пространства [c.95]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...