Метрический тензор. Декартовы тензоры

МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР. ДЕКАРТОВЫ ТЕНЗОРЫ 25 [c.25]

Метрический тензор. Декартовы тензоры [c.25]

Вновь, поскольку система координат декартова, метрический тензор представляется единичной матрицей, и, таким образом, из уравнения (3-1.46) следует [c.123]

На плоскости с декартовой прямоугольной системой координат заданы векторы, образующие между собой угол тг/4. Найти метрический тензор, для которого они ортонормированы. [c.73]

При параллельном переносе вектора в евклидовом пространстве (Ди)7 = 0. Действительно, в евклидовом пространстве существует декартова система координат с единичным метрическим тензором. В этой системе все символы Кристоффеля равны нулю. Следовательно, равны нулю компоненты тензора Римана — Кристоффеля. [c.507]

Сравнивая теперь эти равенства с равенствами (10.20), видим, что каждый вектор flh является единичным [равенство (10.20Ь)] и что при I ф k векторы Oi и аи взаимно перпендикулярны [равенство (10.20а)]. Следовательно, условие (10.21 ) является условием ортогональности матрицы А в пространстве конфигураций с метрическим тензором Т. В декартовом пространстве таким метрическим тензором является единичный тензор 1, и поэтому условие (10.2Г) сводится здесь к обычным условиям ортогональности. [c.355]

Шаровой тензор и девиатор. Шаровым называется симметричный тензор второго ранга, у которого тензорной поверхностью является сфера. Шаровым является метрический тензор g [формула (1.68)]. Действительно, в главной системе координат т -, т] , Т1 , которая всегда прямоугольная декартова, главные компо- [c.46]

В прямоугольной декартовой системе координат компоненты метрического тензора gtj равны элементам единичной матрицы 6и [формула (1.38)]. Тогда [c.224]

В прямоугольной декартовой системе координат компоненты метрического тензора (контравариантные g i и ко- [c.295]

Здесь, согласно общепринятым обозначениям, запятая, стоящая перед нижним буквенным индексом, означает ковариантное дифференцирование относительно пространственного метрического тензора Доказательство получается непосредственно уравнения (12.52) и (12.54) сформулированы для произвольной пространственной координатной системы и, следовательно, справедливы в частном случае декартовой прямоугольной системы отсчета. Однако в такой системе ковариантное дифференцирование (, k) сводится к частному дифференцированию относительно х и уравнения (12.55), [c.405]

Для любого состояния t можно всегда выбрать декартову телесную координатную систему, в которой все координатные поверхности суть плоскости и компоненты метрического телесного тензора уц(%, i) не зависят от [c.414]

При произвольной деформации такая координатная система не останется декартовой во всех других состояниях. Однако при однородной деформации материальные плоскости остаются плоскостями (глава 2) и, следовательно, декартова телесная координатная система остается декартовой (косоугольная система изменяется вследствие непостоянного взаимного наклона координатных плоскостей, принадлежащих различным семействам). Компоненты телесного метрического тензора в такой координатной системе будут зависеть от состояния I, но не от координат частиц I. [c.414]

В эйлеровых декартовых координатах (х ) метрический тензор равен бгj, символы Кристоффеля равны нулю, тензор напряжения определяется вектором истинных напряжений ( 6) о = а - е заменяя в (8.8) ->1, и ускорение w на й х, t) dt, [c.119]

Здесь Уй =/ — якобиан преобразования при переходе от декартовой системы координат к произвольной криволинейной х —контравариантные компоненты метрического тензора. [c.129]

Векторы ортогональны к поверхности jf = onst. Метрическим ко- и контрава-риантным тензором декартовой системы координат является дельта-функция Кро-некераб (см. (А1.6)), а ко- и контравариантными векторами базиса являются единичные векторы ej. [c.198]

Символы, определяемые выражениями (1-4.11) и (1-4.10), называются символами Кристоффеля первого и второго роДа соответственно. Как видно из этих соотношений, они являются комбинацией производных метрического тензора по координатам и обра-ш аются в нуль, если компоненты метрического тензора постоянны, как это имеет место в декартовой системе координат. Известное правило суммирования распространяется также и на эти символы. Индексы в символах Кристоффеля первого рода считаются нижними, а в символах Кристоффеля второго рода один из индексов считается верхним и два — нижними. [c.32]

Равенства, находящиеся в первых двух строках, выражают антисимметричность тензора Rprst относительно каждой пары индексов р, г н S, t. Учитывая свойства (1.88), после подсчета получаем, что из 81 компонента тензора Римана — Кристоффеля остается только шесть независимых компонентов Я 2 2, Я г ъ, R2323, Ятз, Rim, Rsisz-Известно, что во все евклидово пространство можно ввести декартову систему координат. Так как в последней компоненты метрического тензора постоянны, а следовательно, символы Кристоф- [c.27]

В декартовой системе координат ковариантные и контравари-антные векторы совпадают друг с другом совпадают также ковариантные производные с обычными производными, так как в этом случае метрический тензор постоянен, следовательно, символы Кристоффеля равны нулю. [c.51]

В искривлённом пространстве-времени общей теории относительности (в конечных, не малых, областях) уже нельзя ввести декартовы координаты и использование криволинейных координат становится неизбежным. В конечных областях искривлённого пространства-времени ds записывается в криволинейных координатах в общем виде (7). Зная gjiv как ф-ции 4 координат, можно определить все t oM. свойства пространства-времени. Говорят, что величины определяют метрику пространства-времени, а совокупность всех наз. метрическим тензором. С помощью вычисляются темп течения времени в разных точках системы отсчёта и расстояния между точками в трёхмерном пространстве. Так, ф-ла для вычисления бесконечно малого интервала времени di по часам, покоящимся в системе отсчёта, имеет вид [c.190]

Таким образом, используя наряду с основным базисом взаимный базис нам удалось выразить скалярный инвариант вектора через его коварианткые и контравариантные компоненты, не привлекая компоненты метрического тензора в форме, аналогичной выражению инварианта в прямоугольной декартовой системе координат [c.29]

При задании меры деформации (значит, и обратного тен зора = м) искомым является вектор г, определяющий положение точки в у-объеме, тогда как ее положение в У-объеме и метрический тензор в этом объеме известны — известны R п G (например, положение в V-объеме задается декартовыми координатами Xs, G = Е = isis). [c.89]

В Э рассматриваются различные скалярные z(x, t), векторные z(x, t), тензорные z(x, t) функции поля, которые все преобразуются к Л на основании (9.1). Декартовы в момент t = to вмороженные в вещество координаты (л г) образуют криволинейную пространственную систему координатных линий и поверхностей с непрерывно меняющейся во времени t>to геометрией. Вещество не может сходить с линий и проникать сквозь эти поверхности. Три вектора репера Эг (х, t) при х = onst в Э показывают всю кинематику защемленной в нем физической частицы, а метрический тензор gij 9i9j — относительные смещения по t непроницаемых граней косоугольного параллелепипеда, заключающего частицу. [c.126]

Для квадрата длины волокна фр = р (9.20 ) компоненты тензора Z представляют собой ковариантные компоненты метрического тензора в лагранжевых координатах Z,j=gij = oij + 2eij и Zjj — = bij — в декартовых эйлеровых. Из (9.28), (9.27) находим [c.136]

Так как в декартовой системе координат метрический тензор представляет собой дельту Кронекера б, ковшоненты которой постоянны, то = 0. Это — тензорное уравнение, вследствие чего оно справедливо в любой другой системе координат, т. е. метрический тензор удовлетворяет выражению = 0. Учитывая это и записывая 8 g, /8 t, получаем [c.16]

Из примера видно, что значат в конкретном случае формулы (7.13), каково отличие метрического тензора для иеинерциальных систем цт инерциальных. Если (7.19) переходом к декартовой системе приведется к (7.16), то (7.22) никакими преобразованиями, сохраняющими указанное вращение К в К, к виду (7.16) не привести. Зависимость координат от времени при вращении системы непременно даст отличные от единиц множители при дифференциалах в интервале (7.21), а вместе с тем и новые элементы тензора. [c.294]

В эйлеровом пространстве в декартовых координатах (х ) метрический тензор равен символы Кристофеля равны нулю, тензор напряжений 5 определяется ктором истинных напряж ний заменяя в.(10.8) - 1, х - х - и ускорение ш [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...