Формулы из тензорного анализа

F. Некоторые формулы тензорного анализа [c.27]

Четырехмерный тензор =/"гз э э называется тензором электромагнитного поля, а четырехмерный вектор А = A э называется векторным потенциалом. На основании формул тензорного анализа получим [c.279]

ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА [c.405]

В физической газодинамике реагирующих сред широко используют математический аппарат векторного и тензорного анализа. В связи с этим целесообразно привести сводку наиболее часто употребляемых формул тензорного и векторного анализа. При записи последующих формул использованы обозначения f, g — скаляры А, В, С, D—векторы Т — тензор V — оператор Гамильтона (набла), символический вектор, выражение которого в декартовой д д д [c.451]

Сделаем некоторые пояснения в связи с формулой (286). Там касательное напряжение трения имеет двойной подстрочный значок ij. В правой части выражения значок i поставлен у с и значок / у J . Чтобы не писать в прямоугольной или другой пространственной координатной системе зависимости в трех проекциях на координатные оси, удобно, не лишая запись ее полного содержания, каждую зависимость писать в одном выражении, но таком, чтобы в нем содержались все три проекции векторов на три координатные оси. Этого можно добиться, если от обычных обозначений координат перейти к обозначениям, используемым в тензорном анализе Три координаты, или проекции, обозначаются одной величиной, скажем х, но с подстрочными значками /, 2 и 3. Если раньше координаты обозначались х, у и г, то теперь соответственно они будут обозначены Xj, х, и Xs- [c.164]

Пользуясь здесь и дальше векторным и тензорным анализом, мы будем это делать в соответствии с [14]. В частности формула [c.177]

Проведение действий векторного и тензорного анализа в криволинейных координатах целиком связывается со знанием величин gsh, а в случае ортогональных криволинейных координат — коэффициентов Ляме Hs. Часто для вычисления последних можно избежать использования формул (III. 3.2), требующих применения соотношений связи (III. 1.1), заменив его рассмотрением элемента дуги dhS координатной линии q . [c.853]

Здесь S — немой индекс. В ранее принятых обозначениях, когда использовались ортогональные декартовы координаты (ортогональный триэдр единичных векторов is), не было нужды в различении верхних и нижних индексов. В общем тензорном анализе оно должно последовательно проводиться немые индексы всегда располагаются один сверху, второй снизу, а свободные имеют одинаковое расположение в левой и правой частях формулы. По повторяющемуся дважды снизу или дважды сверху индексу суммирование не ведется. Например = 3 (три слагаемых), тогда как запись gss представляет одночлен (значение gst при S = ). [c.871]

Внешняя простота и симметрия формул общего тензорного анализа теряется при переходе к ортогональным криволинейным координатам и физическим составляющим тензоров. Этот переход вместе с тем сопряжен с громоздкими записями поэтому вычисления в ортогональных координатах, с которыми преимущественно приходится иметь дело, предпочтительно проводить, пользуясь изложенными в Приложении И приемами. [c.886]

Изложим кратко основные факты из дифференциальной геометрии, необходимые для дальнейшего. С деталями вывода приводимых формул можно ознакомиться по книгам, посвященным дис еренциальной геометрии и тензорному анализу [7—11) ) [c.103]

Уравнения и формулы общей теории оболочек в предыдущих главах были выведены для случая, когда срединная поверхность оболочки отнесена, к линиям кривизны. Обобщение этих результатов для произвольной косоугольной системы координат можно получить, используя приемы и символику тензорного анализа. Приводимые ниже тензорные уравнения и формулы заимствованы в основном из [41 ]. Предлагались и другие варианты этих соотношений, которые можно найти, например, в изданных в СССР работах [77. 107] и в работах зарубежных авторов [165—168]. [c.79]

Важное место в тензорном анализе занимает операция ковариантного дифференцирования. Ковариантные производные тензоров поверхности первого и второго рангов определяются формулами [c.20]

A.l, Формулы из тензорного анализа. Свяжем декартовы координаты Z , i= I, [c.198]

Некоторые применения тензорного анализа в механике 84 Уравнения движения материальной точки (84). Уравнение Лагранжа 2-го рода (84). Формула Громеки (86). Уравнения равновесия в криволинейной системе координат (87). Тензор скоростей деформаций (87). Связь между тензорами напряжений и деформаций (88). [c.6]

Для численного решения удобно развернуть зависимости (29) в виде трех формул для стц, а22> Oi2- Индексные обозначения при этом можно заменить на обычно употребляемые в технической литературе так оц, 022, < 12, ёц, мы заменим на Oj , Оу, х, Ёу, 72Y y соответственно. Эти обозначения лучше согласуются с теми, которые применялись ранее в работах по микромеханическому анализу. Отметим, в частности, что ei2 заменена на / Уху того, чтобы перейти от тензорных компонент деформации сдвига к техническим ее компонентам, обычно используемым в численных методах. [c.222]

При составлении исходной системы уравнений для пространственных рычажных механизмов применяют матричные, векторные, тензорные, винтовые и другие методы. Ниже представлены векторный метод, основанный на применении векторной рекуррентной формулы [5], и матричный метод, базирующийся на использовании матриц 4x4. Векторный метод позволяет не только рациональным образом составить исходную систему уравнений анализа, но и найти ее решение в аналитической форме для большинства рассматриваемых механизмов. [c.420]

Векторы и тензоры. В этой статье употребляются традиционные обозначения векторного анализа. Применение этих обозначений приводит к предельной краткости изложения и вместе с тем поясняет физический смысл формулы. Мы используем в основном стандартные векторные операции, однако в отдельных случаях возникает необходимость применения выражений, которые могут показаться необычными или двусмысленными. По этой причине удобно определить все операции при помощи компонент вектора тогда легко выяснить смысл уравнения, переписав его в виде проекций на оси координат. Этот метод имеет еще и то преимущество, что любому уравнению при желании можно сразу дать тензорную интерпретацию. [c.7]

Метод скользящих индексов наряду с символикой тензорного анализа весьма удобен для записи- математических формул, Он сокращает запись и облегчает уяснение физического сл)ысла. Независимые переменные обозначаются разными индексами, а не различными наименованиями. Например, декартовые координаты X, у, г обозначаются х,, х , Хз (xi = x Х2 = у Хз = 2). Для слагаемых суммы находится общий член суммы, из которого отдельные слагаемые [c.7]

Операпии второго порядка. Рассмотрим следующие операции второго порядка, часто используемые в тензорном анализе. Эти операции задаются формулами [c.81]

Важное значение в тензорном анализе имеет теорема Раячи ковариантные производные ковариантных, смешанных и контравариантных составляющих метрического тензора равны нулю. Действительно. применяя вторую формулу (П. 6) к величинам имеем по (П. 4.16) и (П. 4.14) [c.789]

Результаты предыдущей главы имеют много физических применений. Очевидно, что классификация собственных векторов по симметрии является полезной сама по себе. Затем свойства симметрии собственных векторов можно использовать в разного рода тензорных вычислениях аналогично более известному квантовомеханическому случаю, который будет обсуждаться ниже в гл. 11, где нужно вычислить матричные элементы, являющиеся интегралами от произведений функций. В классической динамике решетки реализуется похожая ситуация. В ней при определении свертки оператора с собственными векторами возникают величины, напоминающие матричные элементы. Такая свертка похожа на скалярное произведение, и получаются соотношения, напоминающие формулу Вигнера — Экарта. Такое рассмотрение допускает максимальное использование симметрии, в частности если имеются в распоряжении соответствующие коэффициенты Клебша — Гордана. Как следует из 18, 60 и т. 2, 16, коэффициенты Клебша — Гордана для пространственных групп стали публиковаться только в последнее время, но можно надеяться, что они будут вычислены в большом количестве в ближайшем будущем,- Использование тензорного анализа упрощает расчеты такого рода и показывает, что рассматриваемые метричные элементы можно представить в виде произведений приведенных матричных элементов на множители, полностью определяемые симметрией. [c.298]

Займемся теперь выяснением вопроса о том, как изменяется тензорное поле при переходе из данной точки х в бесконечно близкую точку j + dj . Начнем со случая векторного поля а = а(х). Никаких проблем не возникает, если система отсчета — декартова или косоугольная, общая для всего пространства здесь применяются формулы и определения классического анализа При использовании криволинейных систем и компонента а> вектора а и базисные векторы ei = dxjda<- зависят от точки j , поэтому [c.321]

В нашем анализе мы будем исходить из граничных уравнений (6.8.22). Напомним, что в этих уравнениях тензорные поля fJji Q) и Т л ( > Q) определяют контрольные смещения и ( (Q) и усилия t i (Q) в точке поля Q от действия единичной силы Fj (Р) = = (1, 1) в точке нагружения Р. Напомним также, что формулы [c.138]

Это исчисление не только во много раз сокращает выкладки и делает все основные формулы легко обозримыми, но, и что является особенно важным, дает непосредственную возможность проверить инвариантность всех основных уравнений теории пластин и оболочек, изготовленных из анизотропных стеклопластиков. Здесь уместно привести слова В. ургатти, прекрасно охарактеризовавшего значение тензорного исчисления для современной механики и физики ...Общность этого анализа, который говорит и пишет на языке, общем для всех ветвей математической физики, его ясная и часто красноречивая краткость, его быстрота перенесения идеи в формулу и формулы в идею, свойственное ему одновременное удержание в себе интуиции и логики, синтеза и анализа делают из него научный и дидактический инструмент поистпне первоклассный . [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...