Нормальная нагрузка на границе полупространства

Нормальная нагрузка на границе полупространства [c.371]

В случае одной сосредоточенной силы, нормальной к границе полупространства оно может быть получено наложением особых решений, соответствуюш.их, во-первых, действию сосредоточенной силы в неограниченной упругой среде, во-вторых, линии центров расширения (элементарное решение второго типа). Решение для одной сосредоточенной силы далее легко обобщается с помощью принципа наложения на случай произвольной, распределённой по границе нормальной к ней нагрузки. Второй путь решения заключается в сведении рассматриваемой задачи к некоторой краевой задаче теории потенциала — оказывается (это можно получить, исходя из общего решения в форме П. Ф. Папковича), что задача теории упругости о разыскании напряжённого состояния в полупространстве при заданном значении нормального напряжения на границе полупространства и при отсутствии на ней касательных напряжений и сводится к разысканию одной гармонической функции, обладающей всеми характеристическими свойствами потенциала простого слоя, распределённого по плоской области загружения с плотностью, пропорциональной интенсивности нагрузки. [c.90]

Нормальная нагрузка, распределенная по круговой области на границе полупространства (общий случай). На рис. 5.10,сс представлен вид из конца о и z на круговую область, по которой равномерно распределена нагрузка, с радиусом Ъ и центром в начале координат О там же показана произвольная точка Q с координатами z, х, для которой необходимо определить перемещения и напряжения, обусловленные упомянутой нагрузкой. В действительности имеют место два случая, которые требуют отдельного рассмотрения случай, представленный на рисунке когда точка Q располагается вне области приложения нагрузки. [c.337]

На границе полупространства приложена нормальная нагрузка. Граничные условия для касательных компонент тензора напряжений при Хз = О запишем в виде [c.300]

Пространственные осесимметричные задачи могут решаться применением преобразования Ханкеля, например, полупространство, нагруженное усилиями, симметричными относительно оси симметрии и приложенными нормально к границе, или нагруженное сосредоточенной силой внутри области (задача Миндлина). Для задачи о сплошном нли полом конусе при различных нагрузках на границе можно использовать многомерное преобразование Фурье. [c.127]

Предположим, что на полупространство 2<0 давит штамп, ограниченной поверхностью г= о(х, у), и что под действием заданной внешней нагрузки штамп переместится поступательно и повернется. Если вне штампа на границе полупространства действует нормальное давление интенсивности ц х, у), то, как это следует из формул (1.1), (1.2), для [c.187]

М. Д. Мартыненко [165—167] получил ряд приближенных формул для определения давления под основанием как односвязного, так и двухсвязного штампа, близкого в плане к круговому, в предположении, что заданы перемещение штампа, нормальная нагрузка вне штампа и касательные усилия на границе полупространства. При различных предположениях им получены приближенные формулы для связи между перемещением штампа и силой и моментами, приложенными к штампу, а также для осадки границы полупространства вне штампа. Для эллиптических штампов, близких в плане к круговым, получена интегральная оценка точности этих формул для произвольного основания. [c.199]

При движении на границе полупространства локальной нормальной нагрузки со скоростью или касательной — со скоростью возникают антирезонансные явления в полупространстве постепенно образуется продольная или соответственно сдвиговая волна, уравновешивающая нагрузку и приводящая к ее вытеснению —смещения под нагрузкой в направлении ее действия стремятся к нулю при t —> оо. [c.363]

В общем случае на плоскость, ограничивающую полупространство, действует нагрузка q (х, у), которую можно представить как систему нормальных (а ) и касательных (т , напряжений, приложенных в некоторой области, ограниченной односвязным контуром Т (рис, 2.41). Остальная часть границы полупространства свободна от напряжений. [c.174]

Пусть штамп, имеющий форму тела вращения, вдавливается поступательно нормальной нагрузкой в трансверсально-изотропное полупространство (О г < 00, 2 0) осевой силой Р. Плоское основание штампа— круг радиуса а. Предполагается, что на контактной поверхности образуются зона трения (примыкающая к границе области контакта) и зона сцепления. Вследствие симметрии область контакта и участок сцепления будут концентрическими кругами с центром, лежащим на оси штампа. Радиус Ь окружности, разделяющей участки трения и сцепления, заранее неизвестен и должен быть определен наряду с нормальными касательными напряжениями в области контакта. Решение заключается в интегрировании уравнений равновесия трансверсально-изотропной среды при граничных условиях [c.69]

Начало координат выберем где-либо на границе оси Ох и Оу направим в граничной плоскости, а ось Ог нормально к ней по внешней нормали. Тогда интересующую нас задачу можно формулировать так требуется найти напряжения и перемещения в любой точке полупространства (т. е. для любых х, у м г < 0), если на границе г = О заданы напряжения от нагрузки Х , как функ- [c.267]

Теперь остается определить вошедшую в выражения напряжений постоянную С таким образом, чтобы нагрузка а границе (в начале координат) приводилась к заданной силе Р. Для этого достаточно потребовать, чтобы равнодействующая нормальных усилий (рис. 93, б) по любому горизонтальному сечению полупространства на постоянной глубине г = — А была равна —Р (под Р разумеем абсолютную величину силы и предполагаем ее сжимающей). Отсюда получаем условие - [c.274]

Отражение и преломление плоских волн на плоскости раздела тесно связано с действием движущейся нагрузки. Чтобы пояснить это и установить причины появления некоторых особенностей при отражении и преломлении, рассмотрим вначале отражение продольной волны от границы полупространства, на которой задано отсутствие нормальных перемещений (оу = 0) и касательных напряжений ( хг = 0). Пусть на указанную границу падает плоская волна (ве- [c.187]

Если нагрузка на границе полупространства является подвижной (под таковыми понимаются граничные условия типа (8), где область II зависит от времени), то непосредственное применение преобразования Лапласа при произвольном законе изменения во времени границы дО, затруднено. Поэтому в имеющихся в настоящее время публикациях, в основном, исследованы случаи расширения границы (90. R В. Гольдштейн [19] и J. W. raggs [94] рассмотрели для плоской задачи вариант задания на границе напряжений в виде (J33 = Т H(Vt - х) при V = onst. Показано, что вид решения существенно зависит от величины скорости V движения нагрузки. В первой из этих двух работ решение построено с использованием метода Винера-Хопфа. Проведено сравнение со стационарным решением. Существенное различие заключается, например, в том, что в последнем случае при V = j решение не существует. Вариант зависимости амплитуды Т нормальных напряжений от пространственной координаты рассмотрен в монографии И. Снеддона [62. [c.357]

В [82] сделаны также некоторые замечания относительно волны нагрузки в случае классического допущения об упругой разгрузке. На основе анализа нагружения границы полупространства напряжениями p(t) и q t), монотонно возрастающими от нуля, а затем монотонно убывающими с момента t = to, показано, что могут существовать два различных случая однозначного определения волны разгрузки. В первом случае начальная скорость волны разгрузки ограничена в пределах (когда U2s > flip) 0,2s < Со йи ИЛИ В предблах агр < Со Oip, во втором случае (когда aip > a2s) в пределах агр Со Огз или aip Со йи. Первый случай имеет место тогда, когда изменяется знак градиента нормальной нагрузки на границе dp t) dt при неизменном знаке градиента касательной нагрузки [c.200]

М. Я- Леонов [152—155] исследовал задачу о круглом штампе как в осесимметричном случае, так и в общем случае. При этом в общем случае М. Я. Леонов предполагал наличие касательных усилий на границе полупространства и нормальной нагрузки вне штампа. Им получен ряд ква[дратурных формул для определения таких характеристик контактной задачи, как давление под основанием штампа, осадка границы упругого полупространства, вие штампа, деформация границы упругого полупространства, вызванная только касательными усилиями. Кроме того, М. Я. Леонов [154] дал в замкнутой форме решение основного интегрального уравнения контактной задачи для круглого штампа, соответствующего случаю задания только осадки штампа. [c.198]

Пусть граница тела расположена вдоль плоскости z = О, т. е. тело представляе г собой пространство с плоскими щелями вдоль одной плоскости или полупространство. Если на границе заданы произвольные нормальные и касательные нагрузки, то эту общую задачу теории употгости можно свести к суперпозиции трех отдельных задач Дирихле для гармонических функций, применяя специальные представления через одну функцию. [c.548]

Из решений контактных задач теории упругости и теории пластичности следует, что как в статике, так и при скольжении касательные напряжения на границе раздела полупространство— внедряющийся индентор (радиусом R) до глубин относительных внедрений h/R = 0, 5 практически не влияют на соотношение между глубиной внедрения и приложенной к ин-дентору нормальной нагрузкой. Таким образом, можно предположить, что обычно смазочная среда слабо влияет на соотношение между сближением и нагрузкой. Однако присутствие смазочного материала в зонах фактического касания существенно влияет на силу трения и интенсивность изнашива- [c.46]

М. Tada, К. Watanabe и Y. Hirano [134] предположили, что функция имеет характер нормального закона Г аусса и неоднородность мала. В решении наряду с интегральными преобразованиями используется метод малого параметра. Последний метод применил также Г. П. Коваленко [36] в задаче с нагрузкой, распределенной по кругу с равномерно расширяющейся границей. В работе А. С. Алексеева [2] получено асимптотическое решение для акустического полупространства со скоростью звука, пропорциональной координате г , и заданным на границе перемещением или его производной по Показано, что на фронте волны конечный скачок может переходить в логарифмический разрыв. [c.359]

Определение напряженного и деформированного состояния б упругом полупространстве, нагруженном на границе Хз — 0 перпендикулярно ограничивающей его плоскости, было предметом целого ряда исследований. Так, Буссинеск ) рассматривал действие нагрузки р, равномерно распределенной по круговой области Г перпендикулярно к плоскости Хз = 0. Той же зада-чей, хотя и другим путем, занимался Тередзава ). Затем Ляв ) очень подробно и тщательно рассмотрел действие нормальной нагрузки, распределенной по прямоугольной и круговой области на плоскости х = 0. Он рассматривал не только постоянные, но и линейно меняющиеся нагрузки. Много интересных результатов по этой проблеме получили Губер ) и Фукс ). Подробное обсуждение изложенной в настоящем параграфе задачи читатель найдет в монографии Лурье (см. примечание на стр. 230). [c.233]

A. A. Каминского (1965 и сл.). При рассмотрении задачи о произвольном числе симметрично расположенных трещин, выходящих на свободную поверхность кругового-отверстия в бесконечном теле, О. Л. Бови применил для отображения такой области на внешность единичного круга приближенное представление аналитической функции полиномами, после чего стало возможным применение методов Н. И. Мусхелишвили. Проведенные им конкретное расчеты для простейших случаев одной и двух диаметрально противоположных трещин потребовали большого объема вычислительных работ, так как для достаточной точности оказалось необходимым удерживать около тридцати членов полиномиального разложения. А. А. Каминский существенно усовершенствовал метод Бови, добившись гораздо лучшей сходимости при замене отображающей функции такой рациональной функцией, которая, сохраняя особенность на концах трещин, скругляет углы в местах выхода трещины в полость. Им получены простые формулы) для определения величины предельной нагрузки в упомянутой задаче-о пластине, ослабленной круговым отверстием с двумя равными радиальными трещинами. Используя этот метод, Н. Ю. Бабич и А. А. Каминский (1965) построили решение задачи для одной прямолинейной трещины, а А. А. Каминский (1965) — для двух прямолинейных трещин, выходящих на контур эллиптического отверстия (здесь же приведены результаты, расчетов критической нагрузки в зависимости от длины трещины). В дальнейшем А. А. Каминский (1966) получил решение задач для случая, когда одна или две равные трещины выходят на контур произвольного-гладкого криволинейного отверстия при одноосном или всестороннем растяжении, и определил критические нагрузки, вызывающие развитие расширенных трещин. Г. Г. Гребенкин и А. А. Каминский (1967) в качестве примера произвели расчет критических нагрузок для двух равных трещин, выходящих на контур квадратного отверстия. В. В. Панасюк (1965) рассмотрел задачу Бови о круговом отверстии с двумя радиальными трещинами разной длины, выходящими на границу отверстия. При определении нормальных напряжений используется приближенный метод, аналогичный методу последовательных приближений, развитому в работах С. Г. Михлина (1935) и Д. И. Шермана (1935). Сравнение с решением О. Л. Бови для двух трещин одинаковой длины дает удовлетворительное совпадение. Некоторые результаты относительно влияния свободной границы полупространства на распространение терщины были получены ранее в работах Ю. А. Устинова (1959) и В. В. Панасюка (1960). [c.382]

Эта задача в приближенной постановке рассматривалась в работах [110, 116, 119, 136, 137, 139, 140]. В упомянутых работах вопрос об определении нормальных напряжений п,, возникающих под штампом, даже не ставился, т, е. в этих работах динамическая контактная задача по существу не решала . Первой из этих работ была статья Э. Рейнснера [137]. Э. Рейснер предположил, что напряжения а, под штампом распределяются равномерно. Перемещения штампа в этой работе приняты равными вертикальным перемещениям при г—О, г=0 упругого полупространства, нагруженного на границе нормальной нагрузкой, равномерно распределенной по кругу r R и периодически изменяющейся во времени. О. Я. Шехтер [ПО] указала на ошибки, имеющиеся в работе [c.327]

Термоупругая задача о вдавливании штампа, ограниченного порерх-ностыо враш,ения, в трансверсально-изотропное полупространство рассматривалась в статьях 12, 13]. При помош,и преобразования Ханкеля получены формулы, связывающие перемеш,ения границы полупространства с нормальными напряжениями и температурой на границе в том случае, если на грапице полупространства отсутствуют касательные напряжения. Штамп, ограниченный поверхностью вращения, вдавливается в трансверсально-изотропное полупространство силой Р, направленной вдоль оси симметрии штампа, а поверхность, ограничивающая Штамп, имеет заданную температуру. Тепловой контакт штампа с полупространством считается идеальным. Поверхность полупространства вне штампа теплоизолирована и свободна от внешней нагрузки. Силы трения между штампом и полупространством отсутствуют. [c.352]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...