Продольные колебания стержня переменного сечения

Вывести дифференциальное уравнение Р продольных колебаний стержня переменного сечения (5 — площадь сечения). [c.265]

Уравнение продольных колебаний стержня переменного сечения с сосредоточенной массой т и нагруженного распределенной и сосредоточенной нагрузкой (рис. 7.7, а) [c.313]

Приближенные методы расчета продольных колебаний стержней переменного сечения даны в приложении П.6. [c.123]

Б. Продольные колебания стержней переменного сечения (ступенчатых) и стержней с присоединенными массами [c.284]

Продольные колебания стержня переменного сечения 174 сл. [c.262]

Вывести дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня переменного сечеиия (5—площадь сечения). [c.392]

Для количественного описания процесса продольных колебаний стержней переменно о сечения принимаю ряд допущений, позволяющих значительно упростить вывод расчетных зависимостей [И 172—174]. Так, принимают, что продольная деформация не сопровождается поперечным движением элементов [c.174]

Перейдем теперь к изучению колебаний систем с непрерывным распределением масс. Простейшим примером здесь может служить задача о продольных колебаниях стержня постоянного поперечного сечения. На рис. 6.6.1 показан элемент стержня, который в недеформированном состоянии был заключен между сечениями тп ш pq с, координатами х и х + dx соответственно. Фиксируя некоторый момент времени t, когда сечение тп занимает положение т п, сечение pq — положение p q, обозначим перемещение левого сечения, первоначальная координата которого была X, через и. Смещение и является функцией двух переменных — времени t и координаты в недеформированном состоянии X, поэтому смещение сечения с координатой x + dx будет [c.187]

В гл. 4 приведена теория колебаний упругих тел. Рассмотрены следующие задачи продольные, крутильные и поперечные колебания стержней и балок, колебания стержней переменного поперечного сечения, колебания мостов, турбинных лопаток и корпусов судов, а также обсуждена теория колебаний тел круговой формы — колец, мембран, пластин и турбинных дисков. [c.15]

В тех случаях, когда распределенная масса и сечение стержня переменны по его длине, следует вместо уравнения продольных колебаний (11.180) исходить из уравнения [c.133]

Вывод дифференциального уравнения. Предположим, что приложенные к стержню силы направлены вдоль его оси. Обозначим /п (л ) — погонную плотность стержня, —модуль Юнга и S x) — площадь поперечного сечения. Будем характеризовать процесс продольных колебаний функцией (л , t), представляющей в момент времени t смещение частиц стержня, имевших в положении равновесия координату X. Выбранная здесь геометрическая переменная называется переменной Лагранжа. [c.111]

Отметим, что новая симметризация позволяет исследовать целый ряд неоднородных задач математической физики. В частности, авторы [28] рассмотрели задачу о продольных колебаниях закрепленного по концам неоднородного стержня с переменной плотностью, модулем Юнга и площадью сечения, а также задачу о емкости конденсатора при неоднородной проводимости пространства. В [28] получены изопериметрические неравенства для минимальной частоты собственных колебаний и емкости соответственно. [c.211]

Покажем теперь, что задача о продольных колебаниях этого стержня может иметь лишь единственное решение при условии упругой заделки его концов (в частности, при свободных или при жестко закрепленных концах), а также задания перемеш ения сечений гг, их скоростей (1и/(И и, кроме того, напряжений а в начальное мгновение о= О как функций переменной ж, т.е. продольной координаты сечений стержня. [c.483]

Расчетную модель опорной конструкции можно представить в виде двух продольных балок или плоских рам переменного поперечного сечения, связанных поперечными связями в виде балок или колец (рис. 1). В частности, такими связями служат корпуса механизмов, установленные на раме. Рама соединяется с фундаментом амортизаторами, каждый из которых в расчете рассматривается как сосредоточенный упруго-вязкий элемент. Балки рамы могут совершать вертикальные и крутильные колебания. Ротор и балки опорной конструкции разбиваются на участки. Расчетная модель участка представляется стержнем постоянного поперечного сечения с распределенными параметрами. К концу стержня присоединяется жестко сосредоточенная масса т -, обладающая моментами инерции к повороту и кручению ll, I]. Масса соединяется упруго с абсолютно жестким фундаментом и сосредоточенной массой т , обладающей моментами инерции /ф, (рис. 2). Упругие связи характеризуются жесткостями Св, Сф, v (/с = 1, 2) в вертикальном, поворотном и крутильном направлениях (на рис. 2 Z = Ь, г з, 7). Демпфирование в системе учитывается комплексными модулями упругости материала стержня и комплексными жесткостями амортизаторов. [c.6]

Пусть и - продольное перемещение текущего сечения стержня при колебаниях это перемещение зависит от расположения сечения (координаты х) и от времени 1. Таким образом, и = и(х,1)есть функция двух переменных [c.185]

Это и есть иптогральиоо уравнение продольных колебаний стержня переменного сечения. Начальные параметры iv(0) и Л (0) опреде-ляЕОтся и.з краевых условий. [c.411]

Излагается теория малых продольных, крутильных и поперечных колебаний. Выводится дифференциальное уравнение поперечных колебаний с учетом поперечного сдвига и инерции вращения, которое более известно по публикации 1921 года на английском языке. Это уравнение сыграло огромнз роль в теории колебаний упругих систем и известно в литературе как уравнение Тимошенко, а уравнения этого вида для пластин и оболочек как уравнения типа Тимошенко. Приводится решение этого уравнения для случая собственных колебаний. Затем дается изложение результатов автора в области применения тригонометрических рядов и энергетического метода для решения задачи о поперечных вынужденных колебаниях опертого по концам стержня, а также о колебаниях стержня на упругом сплошном основании. Приводится приближенное решение задачи о колебаниях стержней переменного сечения и его сравнение с точным решением. Особенно интересен приведенный здесь результат решенной ранее автором задачи о расчете балки на поперечный удар. При этом в отличие от классической известной схемы учитывались местные деформации балки в зоне удара грузом, в связи с чем появилась возможность определить закон изменения давления в месте удара, а также время соударения. [c.6]

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФОРМАМИ ROJlg БАНИЙ. Метод последовательных приближений формами колеба ний в применении к расчету поперечных (а также продольных а крутильных) колебаний неоднородных стержней является естественным обобщением метода итераций для систем с конечным числом степеней свободы. Рассмотрим, например, уравневве форм поперечных колебаний стержня переменного сечения [c.338]

Уравнения малых колебаний гибкого стержня, имеющего продольное движение. Ограничимся случаем, когда инерцией вращения и сдвига при исследовании колебаний стержня постоянного сечения можно пребречь. Уравнение малых колебаний стержня получим, воспользовавшись переменными Эйлера, для которых имеем (6.2), (4.32) [c.148]

Излучатели второго типа основываются на различных физич. эффектах электромеханич. преобразования. Как правило, они линейны, т. е. воспроизводят по форме возбуждающий электрич. сигнал. Большинство излучателей УЗ предназначено для работы на к.-л. одной частоте, поэтому в устройстве излучающих преобразователей обычно используются резонансные колебания механич. системы, что позволяет существенно повысить их эффективность. Преобразователи без излучающей механич. системы, напр, основанные на электрич. разряде в жидкости, применяются редко. В низкочастотном УЗ-вом диапазоне применяются электродинамические излучатели и излучающие магни-тострикционные преобразователи и пьезоэлектрические преобразователи. Элект-родинамич. излучателп используются на самых низких ультразвуковых частотах, а также в диапазоне слышимых частот. Наиболее широкое распространение в низкочастотном диапазоне УЗ получили излучатели магнитострикционного и пьезоэлектрич. типов. Основу магнитострикционных преобразователей составляет сердечник из магнитострикционного материала (никеля, специальных сплавов или ферритов) в форме стержня или кольца. Пьезоэлектрич. излучатели для этого диапазона частот имеют обычно составную стержневую конструкцию в виде пластины из пьезокерамики или пьезоэлектрич. кристалла, зажатой между двумя металлич. блоками. В магнитострикционных и пьезоэлектрич. преобразователях, рассчитанных на звуковые частоты, используются изгибные колебания пластин и стержней или радиальные колебания колец. В среднечастотном диапазоне УЗ применяются почти исключительно пьезоэлектрич. излучатели в виде пластин из пьезокерамики или кристаллов пьезоэлектриков (кварца, дигидрофосфата калия, ниобата лития и др.), совершающих продольные или сдвиговые резонансные колебания по толщине. Кпд пьезоэлектрич. и магнитострикционных преобразователей при излучении в жидкость и твёрдое тело в низкочастотном и среднечастотном диапазонах составляет 50—90%. Интенсивность излучения может достигать нескольких Вт/см у серийных пьезоэлектрич. излучателей и нескольких десятков Вт/см у магнитострикционных излучателей она ограничивается прочностью и нелинейными свойствами материала излучателей. Для увеличения интенсивности и амплитуды колебаний используют УЗ-вые концентраторы. В диапазоне средних УЗ-вых частот концентратор представляет собой фокусирующую систему, чаще всего в виде пьезоэлектрич. преобразователя вогнутой формы, излучающего сходящуюся сферич. или цилиндрич. волну. В фокусе подобных концентраторов достигается интенсивность 10 —10 Вт/см на частотах порядка МГц. В низкочастотном диапазоне используются концентраторы — трансформаторы колебательной скорости в виде резонансных стержней переменного сечения, позволяющие получать амплитуды смещения до 50—80 мкм. [c.14]

ШИ относительных перемещений точек при деформации можно пренебречь. Остальные гипотезы, к-рыми пользуется С. м., здесь устранены первоначально в развитии теории упругости они или подтверждаются вполне, или частью, с известным приближением, или отвергаются в связи с анализом отдельных деформаций. Элементарные теории растяжения, кручения круглых брусков, чистого изгиба вполне согласуются с теорией упругости. Изгиб в присутствии срезывающих сил, как оказывается, подчиняется закону прямой линии гипотеза Навье), но не закону плоскости (гипотеза Бернулли). Касательные напряжения при изгибе распределяются по закону параболы, но только в тех сечениях, которые имеют незначительную толщину при большой высоте (узкие прямоугольники). В других сечениях закон распределения касательных напряжений совершенно иной. Для балок переменного сечения, к к-рым в элементарной теории прилагают закон прямой линии и параболы, теория -упругости дает другие решения в этих решениях значения напряжений и деформаций гораздо выше, чем по элементарной теории следует. Общепринятый способ расчета пластин по Баху как обыкновенных балок не оправдывается теорией упругости. Ф-лы С. м. для кручения некруглых стержней не соответствуют таковым в теории упругости. Теория изгиба кривых стержней решительно не совпадает с элементарной теорией Баха-Баумана, но результаты расчета по строгой теории и на основании гипотезы плоских сечений достаточно близки. Поставлена и разрешена для ряда случаев задача о распределении местных напряжений (в местах приложения нагрузки или изменения сечения), к-рая совершенно недоступна теории С. м. Вопрос об устойчивости деформированного состояния, элементарную форму которого представляет в С.м. продольный изгиб, получил в теории упругости общее решение Бриана (Bryan), Тимошенко и Динника. Помимо многочисленных форм устойчивости стержня, сжатого сосредоточенной силой, изучены также явления устойчивости стержней переменного сечения под действием равномерно распределенных сил и другие явления устойчивости балок при изгибе, равномерно сжатой трубы, кольца, оболочек, длинного стержня при скручивании и пр. Теория упругого удара— долевого, поперечного—занимает большое место в теории упругости и включает все большее и большее чис-чо технически важных случаев. Теория колебаний получила настолько прочное положение в теории упругости и в практи-тсе, что методы расчета на ко.чебания проникают область С. м., конечно в элементарном виде. Изучены распространение волны в неограниченной упругой среде (решение Пуассона и Кирхгофа), движение волны по поверхности изотропной среды (решение Релея), волны в всесторонне ограниченных упругих системах с одной, конечно многими и бесконечно многими степенями свободы. В связи с этим находятся решения, относящиеся к колебаниям струн, мембран и оболочек, различной формы стержней, пружин и пластин. [c.208]

Подстановкой других значений тип будем иметь частоты 2, 3,... порядки. Разрешены таким путем задачи о продольных колебаниях стержней постоянного и переменного сечений, также о поперечных колебаниях при различных способах закрепления рассмотрены колебания колец, мембран, дисков и различных оболочек. Сделаны попытки оп1)одолпть величину напряжений при колебаниях Л ером (Lehr). Все жо в технических расчетах делают проверку только на частоту колебаний. В табл. 6 приведены частоты колебаний для различных случаев. С теорией колебаний тесно связано [c.221]

Четвертая глава содержит теорию колебаний упругих тел. Рассмотрены задачи о продольных, крутильных и поперечных колебаниях призматических стержней, о колебаниях стержней переменного поперечного сечения, о колебаниях мостов, турбиниых лопаток и изложена теория колебаний круговых колец, мембран, пластин и турбинных дисков. [c.6]

В. А. Барвинок и Г. М. Козлов определяли коэффициент Пуассона плазменных покрытий звуковым методом, путем возбуждения в образце стоячей волны первого тона [89]. Этот динамический способ выгодно отличается от статических испытаний, так как усиление переменного сигнала от тензорезисторов не составляет особых затруднений. В основе метода лежит особенность деформации стержня постоянного поперечного сечения при возбуждении в нем стоячей волны первого тона. Периодические продольные деформации растяжения я сжатия с частотой собственных колебаний стержня вызывают поперечные сокращения слоев материала, величина которых зависит от коэффициента Пуассона. Эти деформации измеряются тензорезисто-рами типа 2ФКПА с базой 5 мм и сопротивлением 200 Ом, которые наклеиваются на образец прямоугольного сечения. Схема для измерения коэффициента Пуассона состоит из двух мостов Уитстона, один из которых служит для определения продольной деформации, другой — для измерения поперечной деформации. Коэффициент Пуассона находится по формуле [c.53]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...