Метод медленно меняющихся амплитуд

Отмеченные выше существенные особенности диссипативных систем, заключающиеся в том, что любые свободные колебания в системе, предоставленной самой себе, неизбежно затухают, приводят к тому, что для количественного рассмотрения свободных колебаний с учетом потерь нельзя без существенных оговорок пользоваться методом последовательных приближений, в котором за нулевое приближение принимается гармоническое движение. Данный метод может применяться лишь для ограниченных временных интервалов в случае достаточной малости затухания, и поэтому его использование с подобными оговорками существенно снижает его практическую ценность. Это заставляет нас в тех случаях, когда не удается найти прямое и точное решение дифференциального уравнения, описывающего систему, искать другие пути нахождения приближенного решения, учитывающего специфику нелинейных диссипативных систем и пригодного для любого интервала времени. Из возможных методов нахождения приближенного решения следует в первую очередь указать на метод поэтапного рассмотрения н, в частности, на кусочно-линейный метод, а также на метод медленно меняющихся амплитуд. Кусочно-линейный метод, пригодный для любых типов трения и нелинейности, основывается на замене общего рассмотрения движения всей системы в целом решением ряда линейных задач — уравнений, приближенно описывающих различные этапы движения системы, на которых ее можно считать более или менее [c.45]

Метод медленно меняющихся амплитуд является весьма мощным средством анализа движений в исследуемых системах, обладает большой общностью, может давать непрерывное решение для любых временных интервалов и позволяет изучать общие свойства движений, процессы установления и стационарные режимы, но в полной мере применим лишь к ограниченному (правда широкому и весьма важному) классу колебательных систем, а именно, к системам с малой диссипацией и малой нелинейностью, в которых колебания мало отличаются от гармонических. [c.46]

К преобразованному уравнению применим метод медленно меняющихся- амплитуд (ММА). Таким образом, формально этим методом можно воспользоваться н для анализа систем с большой нелинейностью (при малой диссипации) при соответствующем нелинейном преобразовании переменных ). [c.47]

Метод медленно меняющихся амплитуд и его применение к расчету колебаний в слабо нелинейных системах с малым затуханием [c.70]

Изложенный Б предыдущем параграфе метод поэтапного рассмотрения, как указывалось, не накладывает никаких ограничений на нелинейность исследуемой колебательной системы и пригоден для любых законов затухания. Однако этот метод обычно приводит к громоздким вычислениям или сложным графическим построениям, причем полученные результаты относятся только к одному виду движения при заданных начальных условиях и не позволяют наглядно представлять общие особенности движений системы при различных условиях и разных значениях ее параметров. Поэтому весьма важно рассмотреть те приближенные методы, которые хотя бы для ограниченного класса колебательных систем могли бы дать единое решение для любого момента колебательного процесса при произвольных начальных условиях. Такого рода приближенный метод был в свое время предложен Ван дер Полем и получил в дальнейшем название метода медленно меняющихся амплитуд. Он позволяет весьма успешно исследовать класс колебательных систем с малой нелинейностью и малым затуханием. Электрические контуры с ферромагнитным сердечником при малых потерях на гистерезис в области значений амплитуд магнитного поля, далеких от насыщения, контуры с нелинейными емкостями при аналогичных ограничениях, линейные контуры с постоянными Ь и С при малых затуханиях (независимо от их линейности или нелинейности), многочисленные механические аналоги указанных выше высокодобротных линейных и нелинейных систем составляют тот класс систем, в которых движения можно приближенно рассчитывать методом медленно меняющихся амплитуд. Условия малой нелинейности подобных систем [c.70]

МЕТОД МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИХСЯ АМПЛИТУД [c.71]

Рассмотрим теперь другой вариант метода медленно меняющихся амплитуд с переходом от исходных координат х и i к новым переменным — амплитуде А и фазе 6, которые такл<е являются медленными переменными в масштабе времени т. [c.74]

Применение такого варианта метода медленно меняющихся амплитуд иногда упрощает нахождение стационарных решений, особенно в задачах, где отсутствует опорное колебание (вызванное, например, внешней силой, модуляцией параметра, синхронизирующим сигналом), фазовый сдвиг (фаза) которого относительно искомого колебания естественно вошел бы в решение. К подобным системам относятся, в частности, пассивные линейные и нелинейные колебательные системы, автоколебательные системы и др. Некоторое облегчение решения задач этот вариант метода ММА дает также в тех случаях, когда нелинейные характеристики каких-либо параметров колебательной системы аппроксимируются высокими степенями разложения в ряд. [c.75]

Проиллюстрируем теперь метод медленно меняющихся амплитуд примерами его применения к расчету колебаний в простейших системах. [c.75]

Линейный контур с постоянным затуханием (линейный осциллятор с затуханием). Эта задача легко решается прямым интегрированием дифференциального уравнения (2.2.6), но для иллюстрации метода проделаем соответствующие расчеты для свободных колебаний методом медленно меняющихся амплитуд. [c.75]

Это уравнение принадлежит к типу x- -x = llf (х, х), и к нему можно применить метод медленно меняющихся амплитуд. Используем вариант с медленно меняющимися амплитудами и и п. Укороченные уравнения будут иметь вид [c.77]

Применение метода медленно меняющихся амплитуд к анализу поведения слабо нелинейных систем с малыми потерями при гармоническом силовом воздействии [c.119]

В 2.5 были описаны основы метода медленно меняющихся амплитуд применительно к анализу автономных слабо нелинейных систем с малым затуханием. Там же были даны примеры применения этого метода для исследования свободных колебаний в некоторых нелинейных системах. Однако исходные положения, на которых основана возможность получения упрощающих задачу укороченных уравнений, допускают также применение этого метода к случаю систем, находящихся под внешним воздействием. [c.119]

Тогда в соответствии с изложенным методом медленно меняющихся амплитуд имеем [c.121]

В отличие от описанного пути нахождения методом медленно меняющихся амплитуд приближенного решения уравнения (3.3.1), мы для упомянутого ранее случая существенного различия между р и (UQ (т. е. области, далекой от резонанса) должны поступить несколько иначе. [c.122]

Применим к (4.5.2) приближенный метод решения — метод медленно меняющихся амплитуд. Тогда, как и для автономных систем, решение можно искать (для первой области неустойчивости) в виде [c.164]

Решение этого уравнения, как и прежде, ищем методом медленно меняющихся амплитуд с помощью следующих подстановок [c.176]

Рассмотрим применимость метода медленно меняющихся амплитуд для анализа автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью. Для этого, как известно, необходимо, чтобы дифференциальное уравнение, описывающее добротную колебательную систему, можно было привести к виду [c.228]

При достаточно высокой добротности Qn для решения уравнения (11.4.3) можно использовать метод медленно меняющихся амплитуд (см. 2.5). Решение уравнения (11.4.3) будем искать в виде [c.361]

Решим методом медленно меняющихся амплитуд задачу [c.387]

Дифракция, дисперсионное расплывание волновых пакетов. Наиб, адекватна нелинейным задачам юнгов-ская трактовка дифракции (см. Дифракция волн). Её матем. аппарат никак не связан с принципом суперпозиции и базируется на параболич. ур-нии для комплексной амплитуды (см. Волны), описывающем поперечную диффузию поля, что тесно связано с методом медленно меняющихся амплитуд. [c.297]

Р<<1, у<<1, то к решению (6.4.2) для определения режимов автоколебаний применим метод медленно меняющихся амплитуд [2, 4, 1, 5]. [c.355]

В основе изложенной в настоящем параграфе теории уширения спектра и развитого в [23] подхода, лежит метод медленно меняющихся амплитуд. Ясно, что результаты такой теории неприменимы, когда длительность импульса составляет несколько периодов несущей частоты. В этом случае необходимо решать непосредственно уравнение (2.2.1). Заметим, что в [24] это уравнение решено методом многих масштабов и получено как изменение формы огибающей импульса, так и асимметричное уширение спектра. [c.85]

Для решения уравнений вида (9.1) с достаточно малыми [х разработан ряд асимптотических (приближенных) методов, из которых в настоящей главе будут изложены два метод медленно меняющихся амплитуд (метод Ван-дер-Поля [186]) и метод Пуанкаре [184, 185]. Первый из них дает возможность найти асимптотические решения [c.652]

Чтобы исследовать систему уравнений (9.2) при достаточно малых значениях параметра л, можно воспользоваться следуюш,им приближенным методом исследования нелинейных систем, который будем называть методом медленно меняющихся амплитуд или методом Ван-дер-Поля [186, 187, 190, 35, 36]. Именно, вместо уравнений (9.2) можно рассматривать другие, составленные по определенному рецепту, вспомогательные, так называемые укороченные уравнения Ван-дер-Поля, которые позволяют сравнительно просто получить приближенные решения исходных уравнений (тем более точные, чем меньше значение параметра л). В частности, задача отыскания периодических решений уравнений (9.2) (задача отыскания предельных циклов на фазовой плоскости лг, у) сводится к несравненно более простой задаче нахождения состояний равновесия укороченных уравнений. Следует отметить, что метод Ван-дер-Поля является адекватным методом исследования нелинейных систем, в том смысле, что этот метод учитывает специфику нелинейных систем, их характерные черты, так как укороченные уравнения, так же как и исходные уравнения, являются нелинейными. [c.653]

Метод медленно меняющихся амплитуд [c.119]

И ДЛЯ описания непериодических процессов, для этой цели более удобным представляется другой метод, а именно метод медленно меняющихся амплитуд, предложенный Ван дер Полем и впервые примененный им для решения названного его именем уравнения [c.120]

Метод медленно меняющихся амплитуд. Этот приближенный метод был предложен Ван дер Полем для широкого класса задач о колебаниях систем со слабой нелинейностью, когда дифференциальное уравнение движения можно представить в виде [c.50]

Рассмотрим решение уравнения (2.32) по методу медленно меняющихся амплитуд для общего случая, а затем вернемся к частному случаю (2.33). [c.51]

Конечно, при интегрировании в правых частях величина А считается постоянной. Именно эта операция усреднения составляет существо метода медленно меняющихся амплитуд. [c.52]

Хотя В данном случае метод медленно меняющихся амплитуд не дал новых результатов, но ниже мы увидим, что он окажется весьма полезным при решении других нелинейных задач. [c.54]

В дальнейшем изложении метода медленно меняющихся амплитуд (ММА) мы будем следовать Л. И. Мандельштаму и Н. Д. Папалекси, которые в своей работе (ЖЭТФ 4, 1934) впервые дали математическое обоснование метода ММА и областей его применимости. [c.71]

Вводя через подстановку (3.6.2) новую переменную соответствующую колебанию с частотой, близкой к собственной частоте системы ([c.122]

Здесь Vj и V2 — парциальные частоты контуров, 26,- = MivjSi — Ri/Li, St нелинейная крутизна, зависящая от напряжения затвор — исток, соответствующего генератора, i, д — коэффициенты связи a/ = g/vf, i = l, 2, где g —малая емкость связи. Для решения системы (7.6.1) методом медленно меняющихся амплитуд положим [c.278]

Приближённые уравнения нелинейной геометрической оптики связанные волны. Для большинства практически интересных задач Н. о. ур-ние (18) можно упростить, пользуясь методом медленно меняющихся амплитуд. Для плоских волн, распространяющихся в слабонелинейной среде, [c.297]

Эффективным методом получения приближенных уравнений, описывающих распространение короткого волнового пакета, является метод медленно меняющихся амплитуд (ММА) [6, 18]. В его основе лежит естественное предположение о медленности изменения комплексной амплитуды импульса на масштабах среднего периода колебаний 7о=2я/(Оо (юо — средняя частота импульса) и средней длины волны Xo— TJniwo)- Такой подход справедлив вплоть до длительностей импульсов т /Го 10. Метод ММА адекватен, таким образом, большинству задач линейной (и, как мы убедимся далее, нелинейной) оптики фемтосекундных импульсов. Вместе с тем в современной лазерной физике появился и такой необычный объект как лазерный импульс длительностью в один период [84]. Естественно, в этом предельном случае приближения, основанные на предположении о медленности изменения амплитуды, в принципе непригодны. [c.20]

Решение уравнения (1.7) можно упростить, если применить метод медленно меняющихся амплитуд [28]. Согласно этому методу поле волны представляется в виде произведения медленно меняющейся на длине волны амплитуды Е г) на быстроосциллирую-щую экспоненту, определяющую распространение волны [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...