Метрическая топология

Равномерной топологией называется топология, индуцированная на (Ж) операторной нормой. Ее также называют иногда сильной операторной топологией или метрической топологией множества 33(Ж). Именно такую топологию мы рассматривали до сих пор, когда говорили о ЗВ(Ж) как о С -алгебре. [c.149]

Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, в том числе в материаловедении и механике деформируемых тел, основаны на приближенной аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, отрезками, плоскостями, многоугольниками, многогранниками, сферами, метрическая и топологическая размерности которых равны между собой. При этом внутренняя структура исследуемого объекта, как правило, игнорируется, а процессы образования структур и их взаимодействия между собой и с окружающей средой характеризуются интегральными термодинамическими параметрами. Это, естественно, приводит к утрате значительной части информации о свойствах и поведении исследуемых систем, которые, в сущности, заменяются более или менее адекватными моделями. В некоторых случаях такая замена вполне оправданна. В то же время известны ситуации, когда использование топологически неэквивалентных моделей принципиально недопустимо. В частности, при изучении сложных динамических систем необходимо учитывать особенности топологии как тонкой структуры объектов, так и фазовых траекторий системы. Дробная метрическая размерность таких объектов не только характеризует их геометрический образ, но и отражает процессы их образования и эволюции, а также определяет динамические свойства. [c.33]

Топологические ограничения включают печатный способ проведения соединений запрещение пересечений в одном слое проводников, принадлежащих разным электрическим цепям число слоев металлизации заданную последовательность контактных площадок и т. п. Критерии оптимизации также могут быть топологическими (минимальное число пересечений, число связей и др.) или метрическими (минимальные площадь кристалла, суммарная длина соединений и т. п.). Синтез топологии целесообразно проводить сначала по топологическим критериям и ограничениям, используя упрощенные модели элементов, ячеек и соединений БИС, а затем разработать общий вид топологии на основе моделей, учитывающих метрические параметры БИС. [c.155]

Полученный эскиз топологии отображается на ДРП, учитывающем реальные метрические параметры БИС. Такому дискретному рабочему полю соответствует более мелкая координатная сетка, размер дискрета /г==/т+ р. где 1т — ширина трассы сигнального соединения минимальной ширины /р — минимальное расстояние между двумя сигнальными соединениями. Элементы топологии БИС отображаются на реальное ДРП следующим образом каждый дискрет рабочего поля может быть пустым, занятым ячейкой, выходной контактной площадкой, межслойным переходом или соединением. [c.164]

Следствие 4.3.17 верно, даже если две меры взаимно не сингулярны. Это может быть доказано с помощью разложения меры на эргодические компоненты (см. теорему 4.1.12), которое дает единственное представление инвариантной меры как интеграла по эргодическим мерам (таким образом, множество инвариантных мер в сущности представляет собой симплекс). Однако зависимость метрической энтропии от меры довольно тонка, поскольку она нередко не является непрерывной (в слабой топологии). Сосуществование этой линейности с отсутствием непрерывности связано с тем обстоятельством, что даже на множестве эргодических мер энтропия не непрерывна например, слабый предел периодических атомарных мер может обладать положительной энтропией. [c.182]

Лемма 13.2.2. Метрика Хаусдорфа на замкнутых подмножествах компактного метрического пространства определяет компактную топологию. [c.428]

П1 в. Метрические пространства. Для определенных совершенно естественных понятий топологическая структура неудовлетворительна в том смысле, что требуется наличие равномерной структуры, т. е. топологии, в которой можно как-то сравнивать окрестности различных точек. Такая структура может быть определена абстрактно она существует, например, для топологических векторных пространств (см. определение П 2.1), но гораздо удобнее производить сравнение окрестностей для метрических пространств. [c.696]

Подмножество Нот(Х) пространства С(Х,Х), состоящее из гомеоморфизмов X иа себя, не является ни открытым, ни замкнутым в С°-топологии. Оно обладает, однако, естественной топологией, которая превращает его в полное метрическое пространство, а именно топологией, индуцированной метрикой [c.698]

Часто топология линейного пространства задается более удобной метрической структурой. [c.698]

Набор Топология определяет структуры данных, описьшающих связи (отношения) между геометрическими сущностями - классами набора Геометрия . К структурам топологических данных относятся вершины, ребра, линии к касных моделей, участки поверхности, оболочки - совокупности связанных через ребра участков поверхности, тела - части пространства, ограниченные оболочкой, совокупности тел, в том числе простые конструкции вида частей цитандра, конуса, сферы, тора. В наборе имеются также средства 1) для скругления острых углов и кромок, т. е. формирования галтелей постоянного или переменного радиуса 2) для поддержания непрерывности при сопряжении разных поверхностей 3) для метрических расчетов - определения длин ребер, площадей участков поверхности, объемов тел, центров масс и моментов инерщ1и. [c.270]

Машинная графика решает задачи, связанные с универсальными преобразованиями графической информации, не зависящими от прикладной специфики САПР, и включает в себя средства отображения графической информации и средства гео.метрического моделирования. Геометрическое моделирование основано на получении, преобразовании и использовании геометрических моделей. Геометрическая модель — это математическое или информационное описание геометрических свойств и параметров объекта моделирования. В зависимости от способов описания геометрических объектов (на плоскости или в пространстве) различают двухмерную и трехмерную машинную графику. Базовыми преобразованиями графической информации являются элементарные операции с геометрическим объектом сдвиг, поворот, масштабирование, мультиплицирование (размножение изображения объекта), выделение окна (выделение фрагмента изображения для работы только с этим фрагментом). Более сложные преобразования графической информации связаны с построением проекций, сечений, удалением невидимых линий и др. В общем случае геометрическое моделирование применяется для описания геометрических свойств объекта проектирования (формы, расположения в пространстве) и решения различных геометрических задач — позиционных и метрических. Позиционные задачи связаны с определением принадлежности заданной точки замкнутой плоской или трехмерной области, пересечения или касания плоских или объемных фигур, оценкой минимального или максимального расстояния между геометрическими объектами и др. Такие задачи возникают, например, при контроле топологии БИС. Метрические задачи связаны с определением площадей, объемов, масс, моментов инерции, центров масс н др. [c.228]

Напомним, что вещественные непрерывные функции иа компактном метрическом пространстве X образуют банахово пространство С(Х) с нормой Л1 = Jriaxl / (д ) . Слабая топология на пространстве С(Х) непрерывных линейных функционалов се С(Х)—>R порождается множествами вида [c.11]

Пусть Л1(ХФ) обозначает множество всех нормированных Ф<-ннвариантных борелевских мер па X. Множество Лi(X,Ф), наделенное слабой топологией, является компактным метрическим пространством [17], Для V Л (Л(<7,/), 40 и боре-левского множества Е а X определим рЧ( ) = у(р- ( )). Поскольку ф, - р = р с мы получаем отображение [c.133]

Множество М Х) всех нормированных борелевских мер на компактном метрическом пространстве X, снабженное слабой топологией, является компактным метризуемым простран- [c.187]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Замечание. Совокупность открытых множеств индуцирует топологию с базой, состоящей из открытых шаров. Дополнения замкнутых множеств открыты. Данные определения согласованы с соответствующими определениями для топологических пространств. Для метрических пространств свойства компактности и секвенциальной компактности равносильны. [c.697]

Топологическое пространство называется метризуемьш, если существует метрика, индуцирующая данную топологию. Любое метрическое пространство нормально и, следовательно, хаусдорфово. Метрическое пространство обладает счетной базой топологии тогда и только тогда, когда оно сепарабельно. И наоборот, используя предложение П 1.4, мы получаем следующий результат. [c.697]

Очевидно, что понятие сети можно рассматривать как обобщение понятия последовательности. Такое обобщение необходимо, если топологическое пространство Ж не удовлетворяет первой аксиоме счетности, т. е. если нельзя утверждать, что для каждой точки х Ж существует счетный базис окрестностей. Мы не вводили это обобщение ранее потому, что С -ал-гебра Я с топологией, индуцированной нормой, относится к числу тех метрических пространств, которые удовлетворяют первой аксиоме счетности. В этой связи заметим, что метрическое пространство X удовлетворяет второй аксиоме счетности (т, е. в Ж суп1ествует счетный базис окрестностей) в том и только в том случае, если оно сепарабельно (т. е. существует счетное подмножество х элементов пространства Ж, которое плотно в Ж). Вернемся теперь к множеству <3 всех состояний на С -алгебре 9 . Выясним, является ли множество < , снабженное -топологией, метрическим пространством. Ответ на этот вопрос утвердителен в том и только в том случае, если алгебра (и, следовательно, самосопряжённая часть алгебры 31) сепарабельна. Кроме того, если алгебра Я сепарабельна, то множество также сепарабельно, поскольку оно компактно ). Но поскольку нам необходимо рассматривать и несепарабельные С -алгебры, мы не предполагаем, что множество , наделенное -топологией, является метрическим пространством, и будем работать не с последовательностями, а с сетями. [c.135]

Ко всякому локально компактному метрическому пространству Q можно присоединить одну точку так, что получится компакт Q =QU5 (причем топология в Q как в множестве, лежащем в компакте Q, будет совпадать с топологией, а priori данной в Q). [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...