Представления простой С*-алгебры

К моменту написания настоящей монографии не было найдено общего выражения для системы уравнений скалярной пары представления произвольной простой алгебры Ли, и чтобы установить некоторую ясность по данному вопросу, мы рассмотрим примеры классических алгебр 2-го ранга А , В с Сч). Простейший случай алгебры А, приводящий к уравнению синус-Гордона, будет подробно рассмотрен со всех точек зрения в следующем параграфе. [c.196]

Примечание. На протяжении всей книги мы будем понимать термин подпространство как замкнутое линейное многообразие Ш. Читатель должен иметь в виду, что в литературе иногда встречается иное толкование термина подпространство . Некоторые авторы называют подпространствами просто линейные многообразия, а свойство замкнутости, когда оно имеется, оговаривают особо. Приведенное нами определение неприводимости в действительности является определением топологической неприводимости, которую, вообще говоря, необходимо отличать от алгебраической неприводимости. Определение последней мы получим, заменив подпространство в приведенном выше определении линейными многообразиями . Из алгебраической неприводимости тривиально следует топологическая неприводимость. Обратное утверждение не очевидно, но тем не менее верно для представлений С -алгебр [205 99, следствие 2.8.4]. Поэтому нам в дальнейшем нет необходимости проводить различие между алгебраической и топологической неприводимостью. [c.111]

В предлагаемом учебном пособии представлен достаточно общий расчетный аппарат, позволяющий решать широкий круг задач статики, устойчивости и колебаний многослойных стержней, пластин и оболочек. Рассматриваемые методы расчета названы здесь вариационно-матричными. Это объясняется тем, что для решения задач используются приемы вариационного исчисления и матричной алгебры. Сочетание таких математических процедур позволяет для сложных моделей деформирования, которые характерны для описания многослойных конструкций с неоднородной структурой и ярко выраженной анизотропией, во-первых, получать разрешающие уравнения, строго соответствующие исходным гипотезам, и, во-вторых, достаточно просто программировать алгоритмы расчетов. [c.3]

Если лагранжиан С левоинвариантен (т. е. г> ( ) = 0), то С зависит лишь от переменных и матрица В обращается в нуль. В этом случае уравнения Пуанкаре являются замкнутой системой уравнений на алгебре д матрицы А и. Ь дают их представление Гейзенберга. Такое представление не всегда точное если группа С абелева, то с,у = О и уравнение (8.5) вырождается в тривиальное тождество. Однако представление Гейзенберга является точным для случая, когда д — простая алгебра (как в задаче Эйлера). [c.107]

Формальное выражение для старших векторов фундаментальных представлений. Существует другой, более непосредственный по сравнению с приведенным в п. 2, способ явного нахождения замкнутых выражений для старших векторов фундаментальных представлений, формально применимый и для бесконечномерных простых алгебр Ли. С этой целью введем в рас- [c.68]

Построение решений без использования представления типа Лакса ). В ряде случаев, в частности для расчетов в конкретных физических приложениях, связанных с классическими сериями простых алгебр Ли, оказывается предпочтительным использовать явные выражения для решений систем (III. 1.9) или (III. 1.10) через определители некоторой матрицы, а не общую формулу (1.11) или (1.12). По этой причине здесь мы [c.145]

Их мы интерпретируем как алгебру глобальных наблюдаемых, ассоциированную с и алгебру глобальных наблюдаемых на бесконечности. Если Яф — представление, канонически ассоциированное с состоянием ф, то соответствующие алгебры мы обозначим просто через 58ф (й) и 58ф. Непосредственно видно, что 58 я (Э )"/ я (Э ). Действительно, с одной стороны, по построению 58 я (9 )". С другой стороны, из локальной коммутативности следует, что для каждой области О] удовлетворяющей условию 6 й, справедливо включение я(Э (Й1)) Ея(Э ( 2)). Таким образом, включение я (Я (й ))" я (9 (й)) выполняется для всех областей Образуя пересечение [c.375]

Вычислительный аппарат векторною исчисле1П1я. Конечной целью решения практических задач, в частности, анализа или синтеза (проектирования) механизмов, является числовое, а не символическое, представление параметров механизмов, поэтому от векторных обозначений необходимо перейти к числовым предславлениям параметров. Наиболее просто векторы преобразуются к проекциям в прямоугольной декартовой системе координат, широко используемой в аналитической геометрии. Метод скалярных ортогональных проекций в сочетании с алгеброй чисел является предпочтительным математическим аппаратом векторного исчисления. Выбрав прямоугольную систему координат Оху>2, осям абсцисс, ординат и аппликат которой соответствуют орты I, j и к, представим произвольные векторы a, Ь, с и т. д. через их скалярные проекции [c.43]

Данный метод может быть обобщен и на случай произвольных простых алгебр Ли при этом потребуются рекуррент 1ые ч оотношения (1.7Л1) между старшими векторами фундаментальных представлений, которые для алгебр Вг, Сг, Dr, G2, Ft и Ее, 7,8 не столь просты, как в серии Аг. С этой целью перепишем систему (III. 1Л0) в виде [c.152]

В этом месте уместно остановиться на вопросе о взаимосвязи различных форм представления типа Лакса (111.1.1), а именно реализацией операторов вида (III. 1.7) в бесконечномерной простой алгебре Ли конечного роста, приво .-ящей к (1.1), и представлением, связанным с соответствующей конечномерной простой алгеброй Ли и ее конечномерными представлениям , приводящими к системе (1.2), которая отличается от (1.1) тотько конформным преобразованием. С этой целью вспом1 лрл, что бес.. хнечномерные простые градуированные алгебры Ли, используемые в настоящей книге, поро.ждаются своей локальной [c.194]

Форма (3.24) уравнения, коэффициентные функции которого совпадают с обобщенными потенциалами Баргманна, наводит на мысль об их связи с алгеброй Аг. Действительно, как будет установлено в следующем параграфе, спектральные уравнения простейщего (векторного) представления Аг совпадают с (3.24). Это обстоятельство будет иметь решающее значение для нахождения простейших солитонных решений периодической цепочки Тода, связанных с такими представлениями в случае серии Аг. [c.218]

Теперь мы кратко остановимся на соотношении между физической и унитарной эквивалентностью. Нетрудно сообразить, что из унитарной эквивалентности следует физическая эквивалентность. Действительно, два унитарно эквивалентных представления я и р имеют одно и то же ядро и, следовательно, физически эквивалентны (теорема 7). В правильности такого соотношения можно также убедиться, исходя из теоремы 2, которая позволяет на основании унитарной эквивалентности представлений я и р заключить, что /л( л) =/р( р)- Взяв слабые -замкнутые оболочки правой и левой частей этого равенства, мы получим /л ( я) =/р ( р)- Это равенство и означает, что представления я и р физически эквивалентны. Второе доказательство говорит о том, что требование физической эквивалентности следует считать более слабым, чем требование унитарной эквивалентности, поскольку условие j ( ) э /р (ЗЗр) и /р ( р) э э/р,(ЭЗр,) , по-видимому, менее жесткое, чем условие /р(23р) = = /ц( ц) - Действительно, имеются примеры физически эквивалентных представлений, которые унитарно не эквивалентны. Одним из наиболее интересных для нас случаев следует считать представления канонических антиперестановочных соотношений. С -алгебра, порожденная КАС, простая ). а поэтому все ее [c.141]

Однако представляется чрезвычайно трудным найти какие-нибудь физические основания для того, чтобы С -алгебра Я, порожденная наблюдаемыми, обязательно была И -алгеброй, т. е. множество Я как банахово пространство было двойственным некоторому банахову пространству. И даже, как показывают некоторые хорошо известные физические примеры, это, вообще говоря, не так. Достаточно упомянуть о том, что С -алгебра канонических перестановочных соотношений не является -алгеброй всех ограниченных наблюдаемых в пространстве Фока, хотя ее представление в пространстве Фока точно и неприводимо. Здесь имеет смысл подробнее остановиться на значительно более простом случае классической механики, поскольку он хорошо иллюстрирует основные особенности рассматриваемой проблемы и облегчит нам подход к общему, квантовому случаю. [c.185]

Для физиков, занимающихся дифракцией, разупорядочение представляет интересный пример дифракции от несовершенного кристалла, относящегося к первому из двух основных классов, обсуждавшихся в гл. 7. По существу этот случай мы рассматриваем с некоторыми замечаниями и дополнительными соображениями о практических сложностях в случае динамического рассеяния, а также о возможном привлечении комбинации теории рассеяния со статистической механикой. Ограничимся простыми твердыми растворами типа бинарных сплавов, составленными атомами сортов А и В в дробных отношениях /Пд и /Пв. Предположим, что разупорядо-ченные сплавы имеют простые структуры, такие, как о. ц.к. для Р-Си2п или г.ц.к. для сплавов Си—Аи (фиг. 17.1, а, б). Переход к системам, содержащим более двух сортов атомов и обладающим более сложными структурами, усложнит алгебру рассмотрения, но существенно не изменит наших представлений. [c.369]

Специфика выражения (5) состоит в том, что вся угловая и спиновая зависимость амплитуды сосредоточена в функции /в. Отсылая за подробностями к цитированным работам, укажем, что это связано с простой алгеброй лагранжианов перечисленных выше взаимодействий. Например, для четырехчастичных взаимодействий определенная квадратичная комбинация лагранжианов имеет ту же угловую и спиновую структуру, что и сам лагранжиан. Но той же причине условие унитарности ведет к простому представлению [c.75]

В уравнении (0.2), которое часто называют представлением нулевой кривизны, величины Г н О обычно являются матрицами, элементы которых зависят от неизвестных функций, входящих в нелинейное уравнение. Они могут быть также дифференциальными операторами по некоторой дополнительной переменной. И в том, и в другом случае с ними удается связать некоторую алгебру, которая и определяется видом этих матриц и операторов. Уравнения (0.2) обладают богатой ал1 бр.шче крй ст ктуррй. Конкретизируя ее, удается построить.бес-конечные наборы интегрируемых систем. Так, в монографии [7] покат-зано, как каждой полупростой алгебре Ли можно сопоставить непериодическую цепочку Тоды, и предъявлена схема их интегрирования. В работе [4] алгебрам Каца — Муди сопоставляются периодические цепочки Тоды. В работгос [23, 24] с помощью однородных пространств построены системы нелинейных уравнений Шредиигера, а в работах [25-28] изучалась связь супералгебр и суперсимметричных цепочек Тоды. Этот список легко продолжить. Здесь были перечислены лишь самые простые и наиболее известные примеры, иллюстрирующие связи между алгебраическими конструкциями и системами интегрируемых уравнений. Остановимся далее на тех алгебраических конструкциях, которые приводят к построению Ь — Л-пар или Р — С -систем и пс зволяют отыскивать ПБ, а также на самих ПБ, возникающих таким путем, и рассмотрим их детальнее на конкретных примерах. Начнем же мы с того, что дадим определение ПБ. [c.6]

Итак, чтобы перейти от классической теории к квантовой, в представлении Гейзенберга надо просто рассматривать динамические переменные системы д, р, /,.. . в классических уравнениях движения случайными и некоммутирующими величинами, а сами уравнения — стохастическими. Решение этих уравнений определяет некоторое преобразование случайной переменной / ( о) - / (0> в котором время играет роль параметра преобразования. Отличие от классической теории случайных процессов проявляется лишь в использовании некоммутативной алгебры и в процедуре усреднения (15), которая производится с помощью комплексной функции ф ( о). [c.48]

Из анализа структуры системы положительных корней простых алгебр Ли (см. табл. II) следует существование такого упорядочения, при котором каждый суммарный корень располагается между своими составляющими. Фиксированное этим принципом расположение корней (вообще говоря, не единственное) будем называть Е+-упорядочением. Оно обладает следующим важным свойством. Именно, совокупность положительных (отрицательных) корней, расположенных правее любого наперед взятого корня в S+, и отрицательных (положительных) корней, расположенных левее его, образует корневую систему подалгебры . (Действительно, из определения S+-yno-рядочения с очевидностью вытекает, что сумма р 7 е / + любых двух положительных Р и 7 корней, лежащих левее некоторого корня а, расположена между р и v и, следовательно, левее ос.) Это упорядочение играет выделенную роль среди других способов расположения корней (не только по причине наиболее жесткой их фиксации). Оно обладает целым рядом замечательных особенностей, в частности, как мы увидим в дальнейшем, приводит к универсальной параметризации элементов всех компактных простых групп Ли Ж в обобщенных углах Эйлера, которая позволяет довольно просто получить факторизованные по этим углам выражения для инвариантной меры Хаара на Ж, старших векторов их неприводимых представлений, и т. п. [c.33]

Последнее вытекает из представления (III. 1.7) в двумерном пространстве, записанного в свободном от калибровочного произвола виде, в котором функции , = ехр(/гх), и u+j — —(t/2)x . зависят лишь от одной переменной / = —г(г+—-2 ).) Здесь. SS i и hj — корневые векторы и образующие картановской под-.алгебры отвечающие простым корням в некотором конечномерном представлении . Поэтому в соответствии с (1.44) имеем d/dt)SpU Q, т. с. величины Iq p, x)sSpL (/) являются интегралами движения. [c.154]

Приведенная процедура интегрирования суперсимметричного уравнения (П1. 1.14) обобщается естественным образом на системы, связанные с произвольными градуированными супералгебрами Ли. При этом центр тяжести задачи лежит в построении элементов Jf и ехр Я по известным Ж+, удовлетворяющим, как и в случае алгебр Ли, уравнениям (1П. 1.25). Подчеркнем, что даже при канонической градуировке с знания старших векторов фундаментальных представлений элемента простой супергруппы недостаточно для нахождения общих решений. Это проявляется уже в простейшем разобранном выше примере, в котором, исходя только из старшего вектора JiS) = — v v — г г нельзя восстановить qbyHKHHH ехр 2х и со . [c.175]

Теперь каждый элемент алгебры содер.жит в качество множителя параметр к в ссотнетствующей степени, и, таким образом, все элементы начинают различаться друг от доуга. Единственно, что не удается различить с помощью Я, это элемент Ж подпространства о от суммы картановскп.х образующих простых корней. Представление типа Лакса в форме (1,3) совпа- [c.194]

В этой книге мы ото кдествляем ) я(гЯ) с факторалгеброй 9 /Кегя. Заметим далее, что если 9 —простая алгебра (т. е. не содержит замкнутых двусторонних собственных идеалов), то всякое ненулевое представление я алгебры Я [т. е. п Я)ФО для некоторого элемента 7 = Я] является точным, С понятием ядра представления тесно связано понятие физической эквивалентности, рассматриваемое в п. 4. [c.107]

Алгебру Клиффорда Ко ) и состояния на ней подробно изучали Шейл и Стайнспринг [362], которые показали, что алгебра Клиффорда о ( ) — простая, и рассмотрели ее связь с представлениями КАС. Можно задать на (Ео(Ж) абстрактно норму и определить затем замыкание (5 ( ) алгебры Клиффорда о( ) по этой норме ). Связь между (Ж) и алгеброй 91 устанавливается следующим положением [154, предложение 3.7] существует единственный изоморфизм Т, отображающий (5 ( ) на 91 и такой, что если е,, е ,. .. е, . .. — ортонормированный базис в то [c.351]

Был сфорхмулирован [41, 82, 281] ряд алгебраических условий, эквивалентных условию существования ковариантного представления упорядоченной пары (Я, К ), удовлетворяющего спектральному условию, и было доказано [89], что эти условия не зависят от остальных аксиом (т. е. аксиом изотонности, локальной коммутативности и К -ковариантности) теории, даже если теорию ограничить, потребовав дополнительно, чтобы алгебра К была простой и удовлетворяла аксиоме сечения времени (т. е. если А — область пространства Минковского Ш, заключенная между двумя гиперплоскостями ( , и ( 2, К ), то чтобы семейство 01 (О) 1 й е й, й с= А) уже порождало алгебру Ш эту аксиому иногда называют аксиомой слабой примитивной причинности [163]). [c.370]

Как мы уже говорили, Мисра [280] доказал, что сама алгебра 9i простая, если а) она является равномерным замыканием алгебр фон Неймана ЭТ(Й), определенных для всякой ограниченной открытой области Q с в сепарабельном гильбертовом пространстве б) алгебра R удовлетворяет обычным требованиям изотонности, трансляционной ковариантности и локальной коммутативности в) для всякой ограниченной открытой области Q с существует ограниченная открытая область Q[, такая, что QsQi и 9 (й]) — фактор ). Кроме того, Мисра доказал, что если все ЭТ (Q) — бесконечные факторы, то для любых двух представлений Л и Ла алгебры 9i существует -изоморфизм а, отображающий Л] (9i) на Ла (9i) и такой, что а ° Л) (9i (Q)) = Л2 (9i (й)) для всякой ограниченной открытой области Q. В этом случае -изоморфизм а для каждой области Q в отдельности можно задать унитарным оператором. [c.373]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...