2*-алгебра о-представленне

Согласно соотношению (2.2) подпространство о замкнуто относительно операции коммутации в , [ о, о] с о, и является подалгеброй . При этом соотношение [ о, а]с а индуцирует линейное представление Та алгебры. Ли о на про- [c.18]

Следствие 2. Для любого представления я алгебры Щ справедливо равенство " т [В, л (аа [ ])] = О для всех е Э и всех [c.366]

Левые части уравнений системы (4.6) принимают значения в разных подпространствах ( +ь -i и о соответственно) алгебры , градуировка которой задается элементом Я подалгебры 5и(2). С учетом этого систему (4.6) можно переписать в виде представления типа Лакса (1.1) с операторами = [c.136]

Их мы интерпретируем как алгебру глобальных наблюдаемых, ассоциированную с и алгебру глобальных наблюдаемых на бесконечности. Если Яф — представление, канонически ассоциированное с состоянием ф, то соответствующие алгебры мы обозначим просто через 58ф (й) и 58ф. Непосредственно видно, что 58 я (Э )"/ я (Э ). Действительно, с одной стороны, по построению 58 я (9 )". С другой стороны, из локальной коммутативности следует, что для каждой области О] удовлетворяющей условию 6 й, справедливо включение я(Э (Й1)) Ея(Э ( 2)). Таким образом, включение я (Я (й ))" я (9 (й)) выполняется для всех областей Образуя пересечение [c.375]

При этом переход 5( 1, о) (из у(х,1д) к у[х,1 )) и далее переход 5( 2, 1) (из у х,1 ) к у(д , 2)) дает тот же результат, что и переход 5( 2, о) (основное свойство представления). Это представление (элемент алгебры) задается следующим эволюционным уравнением [c.243]

Напомним, что, приступая к обобщению С -алгебры Я, мы стремились найти такую С -алгебру ( обобщенных наблюдаемых ), которая допускала бы спектральную теорему. Девис [62] доказал в этой связи, что спектральная мера, ассоциированная с самосопряженным элементом конкретной -алгебры Б, принадлежит 2. Этот результат непосредственно следует из того, что если 2 — конкретная 2 -алгебра и О — компактное хаусдорфово пространство (например, спектр элемента Л=- Л еБ), то любое С -представление л (5 (О)->Б допускает единственное расширение до ст-представления 2 (О) в 2. [c.192]

Примечание. Теорема 3 интересна тем, что позволяет свести исследование представлений КАС к исследованию представлений С -алгебры 21. Напомним, что алгебру 21 мы определяли как бесконечное прямое произведение тождественных экземпляров четырехмерной С -алгебры Шч, а поэтому можем пользоваться всеми средствами, применявшимися в 1 в случае представлений прямого произведения С -алгебр. Кроме того, теперь у нас есть одно дополнительное упрошение, а именно алгебры гНу теперь конечномерны. С одним из следствий, к которым приводит данное обстоятельство, мы уже встречались в теореме 2. В другой связи алгебра 21 будет рассмотрена нами в гл. 4. Отметим, в частности, что теорема 3 позволяет получать аналоги различных следствий из теоремы И, приведенной в гл. 3, 1. Приведем лишь один пример. Дискретные представления, полученные в 1 как частные случаи представлений НППП, возникают точно таким же образом снова и с точностью до унитарной эквивалентности определяются классом эквивалентности [п] бесконечных последовательностей т = = /Иу 2+ Шу — О или 1 . Представление, ассоциированное с последовательностью т = 0 7 2+ , выделяется среди дискретных представлений как стандартное представление в пространстве Фока, построенное для вакуума ). [c.350]

Для определенности рассмотрим систему N тождественных точечных частиц, о которой говорилось в разд. 2.4. Начнем с замечания, что любой оператор Ь квантоводинамической алгебры всегда можно представить в виде, совершенно аналогичном выражению (3.1.8). Действительно, используя формализм вторичного квантования, развитый в разд. 1.5, и в частности представление (1.5.22), запишем [c.107]

В уравнении (0.2), которое часто называют представлением нулевой кривизны, величины Г н О обычно являются матрицами, элементы которых зависят от неизвестных функций, входящих в нелинейное уравнение. Они могут быть также дифференциальными операторами по некоторой дополнительной переменной. И в том, и в другом случае с ними удается связать некоторую алгебру, которая и определяется видом этих матриц и операторов. Уравнения (0.2) обладают богатой ал1 бр.шче крй ст ктуррй. Конкретизируя ее, удается построить.бес-конечные наборы интегрируемых систем. Так, в монографии [7] покат-зано, как каждой полупростой алгебре Ли можно сопоставить непериодическую цепочку Тоды, и предъявлена схема их интегрирования. В работе [4] алгебрам Каца — Муди сопоставляются периодические цепочки Тоды. В работгос [23, 24] с помощью однородных пространств построены системы нелинейных уравнений Шредиигера, а в работах [25-28] изучалась связь супералгебр и суперсимметричных цепочек Тоды. Этот список легко продолжить. Здесь были перечислены лишь самые простые и наиболее известные примеры, иллюстрирующие связи между алгебраическими конструкциями и системами интегрируемых уравнений. Остановимся далее на тех алгебраических конструкциях, которые приводят к построению Ь — Л-пар или Р — С -систем и пс зволяют отыскивать ПБ, а также на самих ПБ, возникающих таким путем, и рассмотрим их детальнее на конкретных примерах. Начнем же мы с того, что дадим определение ПБ. [c.6]

При разработке любой логической схемы первоочередной задачей является выбор логических элементов, которые следует использовать. Так, например, может быть использован ряд канонических двоичных множеств логических элементов. Чтобы сделать наше обсуждение условий вхождения логического элемента в каноническую систему более живым, в разд. 4.2 дано краткое описание проблемы полноты двоичной логики. Этот вопрос, обобщенный до представлений о полноте многозначной логики, является решающим при определении, когда группа оптических явлений может рассматриваться как часть канонического множества оптических логических элементов. В разд. 4.3 описан специфический пример многозначной логической системы, обладающей слабой полнотой,— системы счисления в остаточных классах (ССОК). Еще совсем недавно алгебра ССОК рассматривалась применительно к арифметическим вычислениям в остаточных классах. По вопросу оптической реализации различных операций в ССОК имеется большое число публикаций, обзор которых сделан в разд. 4.4. Оптические элементы могут образовывать стандартные блоки оптической многозначной логической схемы. В заключительном, в значительной мере техническом разделе описаны некоторые из необходимых тестов, служащих для установления принадлежности многозначной логической функции каноническому множеству. В этом случае такие многозначные логические функции и их оптическая реализация могли бы послужить новыми элементами оптических многозначных логических схем. [c.114]

В этом месте уместно остановиться на вопросе о взаимосвязи различных форм представления типа Лакса (111.1.1), а именно реализацией операторов вида (III. 1.7) в бесконечномерной простой алгебре Ли конечного роста, приво .-ящей к (1.1), и представлением, связанным с соответствующей конечномерной простой алгеброй Ли и ее конечномерными представлениям , приводящими к системе (1.2), которая отличается от (1.1) тотько конформным преобразованием. С этой целью вспом1 лрл, что бес.. хнечномерные простые градуированные алгебры Ли, используемые в настоящей книге, поро.ждаются своей локальной [c.194]

Групповые соображения позволяют сделать определенные заключения о квадратичных комбинациях различных )ешений уравнений скалярной Л-пары 1-го представления алгебры. Квадратичные комбинации любых волновых функций этпх уравнений являются волновыми функциями 2/-Г0 представления алгебры. [c.201]

Теперь мы кратко остановимся на соотношении между физической и унитарной эквивалентностью. Нетрудно сообразить, что из унитарной эквивалентности следует физическая эквивалентность. Действительно, два унитарно эквивалентных представления я и р имеют одно и то же ядро и, следовательно, физически эквивалентны (теорема 7). В правильности такого соотношения можно также убедиться, исходя из теоремы 2, которая позволяет на основании унитарной эквивалентности представлений я и р заключить, что /л( л) =/р( р)- Взяв слабые -замкнутые оболочки правой и левой частей этого равенства, мы получим /л ( я) =/р ( р)- Это равенство и означает, что представления я и р физически эквивалентны. Второе доказательство говорит о том, что требование физической эквивалентности следует считать более слабым, чем требование унитарной эквивалентности, поскольку условие j ( ) э /р (ЗЗр) и /р ( р) э э/р,(ЭЗр,) , по-видимому, менее жесткое, чем условие /р(23р) = = /ц( ц) - Действительно, имеются примеры физически эквивалентных представлений, которые унитарно не эквивалентны. Одним из наиболее интересных для нас случаев следует считать представления канонических антиперестановочных соотношений. С -алгебра, порожденная КАС, простая ). а поэтому все ее [c.141]

Обозначим через Яф(й) и Уф(8) сужения представлений Яф (91) и Уф (91) на алгебру Гильберта 2 (Ж), рассматриваемую как подалгебра алгебры Я. Согласно теореме о коммутанте алгебр Гильберта [76, 77, гл. 5, 2, п. 1, теорема I], Яф(8) = Ур (8)". Поскольку 2 Е Я, мы имеем [c.249]

Во-первых, на протяжении данного пункта мы исходили из предположения о том, что эволюцию во времени бесконечной системы можно рассматривать ак непрерывную группу автоморфизмов алгебры Я. Подобное допущение отнюдь не тривиально, поскольку эволюция во времени бесконечной системы определяется предельным переходом от конечной системы, для которой можно определить гамильтониан, и, таким образом, допускает прямую физическую интерпретацию. Если сказать несколько иначе, то проблема сводится к тому, чтобы вычислить термодинамический предел способом, не приводящим к противоречию с динамикой. Такой непротиворечивости удается легко достичь для довольно широкого класса нетривиальных квантовых решеточных систем (гл. 4, 2, п. I), где, как было показано, эволюция во времени оказывается именно тем автоморфизмом С -алгебры Я, который нам хотелось бы связать с бесконечными системами. Но вообще говоря это не так. Например, недавно было доказано [70, 446], что эволюцию во времени бесконечного свободного бозе-газа нельзя рассматривать как автоморфизм С -алгебры Я, но можно рассматривать как автоморфизм алгебры фон Неймана, порожденной представлением, которое ассоциировано с состоянием Гиббса (при температуре выше критической). Так же обстоит дело в модели БКШ [70] ) и в классе обобщенных моделей Вейсса для ферро- и антиферромагнетизма [104]. В последнем случае эволюция во времени, определенная для каждой фазы в отдельности, согласуется с эволюцией во времени, определенной для состояния Гиббса, образованного фазами. Во всех этих случаях удалось сформулировать соответствующие обобщения условия КМШ и добиться обобщения большей части результатов, изложенных в данном пункте, в частности теоремы 9 о коммутанте. [c.274]

Доказательство. В силу теоремы 7 представление Вейля унитарно-эквивалентно представлению ЗВф(< с), где Ф (/) = (Ф. (f) Ф). По лемме на стр. 306 представление 2Вф( с) допускает каноническое расширение до представления Лф С -алгебры А( с), где ф — естественное расширение состояния ф с Шзс с) на Д( с). Очевидно, что состояние ф О-ин-вариантно и является т1-кластером. На основании теоремы 8 из гл. 2, 2 можно заключить, что ф — единственный О-инва-рнантный вектор состояния на циклическом представлении я(Д(< с)). Но рассмотрим теперь замкнутое подпространство натянутое на множество Очевидно, что Жа устой- [c.318]

Существующий в настоящее время рецепт определения эволюции во времени для системы, бесконечно протяженной в пространстве, можно сформулировать следующим образом. Пусть 0 — подмножество множества состоящее из возрастающих последовательностей 0 , таких, что для каждой области О е найдется некоторое конечное положительное целое число Л/(О), обладающее свойством й е для всех п Ы 0). Например, в качестве Й можно было бы выбрать последовательность кубов с ребром и центром в начале координат. Предположим далее, что в однозначно определена эволюция во времени а (0- В частности, это означает, что мы ввели некоторые граничные условия в Затем для каждого элемента Я, принадлежащего некоторой области 0 8. мы изучим предел а (/)[/ ] при ->оо в подходящей топологии . Если последний существует и определяет элемент а Ц) [/ ] алгебры Э и, кроме того, если оператор щ изометрический, то его можно продолжить по непрерывности с иэ (0) на 9 . Затем необходимо проверить непрерывность отображения щ по 1. Ясно, что осуществление такой программы требует нескольких доказательств сходимости. Как мы увидим в 2, такие доказательства действительно удается провести для некоторого класса взаимодействий в квантовой решетке со спином. Но даже в пределах этого класса имеются взаимодействия с достаточно большим радиусом, для которых наблюдаемые, бывшие локальными при / = 0, утрачивают свой локальный характер в процессе эволюции во времени. В предельном случае (вандерваальсов предел) мы не можем более определять отображение щ как автоморфизм алгебры 8 , хотя по-прежнему можем определять его для интересующих нас представлений я как автоморфизм бикоммутанта я (9 )". Как мы увидим в 2, аналогичная ситуация возникает и в случае свободного бозе-газа. [c.357]

Был сфорхмулирован [41, 82, 281] ряд алгебраических условий, эквивалентных условию существования ковариантного представления упорядоченной пары (Я, К ), удовлетворяющего спектральному условию, и было доказано [89], что эти условия не зависят от остальных аксиом (т. е. аксиом изотонности, локальной коммутативности и К -ковариантности) теории, даже если теорию ограничить, потребовав дополнительно, чтобы алгебра К была простой и удовлетворяла аксиоме сечения времени (т. е. если А — область пространства Минковского Ш, заключенная между двумя гиперплоскостями ( , и ( 2, К ), то чтобы семейство 01 (О) 1 й е й, й с= А) уже порождало алгебру Ш эту аксиому иногда называют аксиомой слабой примитивной причинности [163]). [c.370]

Поскольку квазилокальная алгебра 9i квантовой решеточной системы является сепарабельной по норме простой и неабелевой алгеброй, на которой Z действует т1-абелевым образом, мы можем на основании теоремы 14 из гл. 2, 2 заключить, что всякое Z -инвариантное состояние ф на 3i, где ф — экстремальное состояние на [c.386]

Как показал Штёрмер, это условие эквивалентно любому из двух следующих условий а) ф — экстремальное G-инвариантное состояние и б) ф= Фу. где ф ==ф(,. Кроме того, Штёрмер в столь общем случае дал общую классификацию типов примарных представлений, ассоциированных с такими состояниями, когда фо есть фактор-состояние на 9 o. Представление Яф принадлежит к типу / , когда состояние фо есть гомоморфизм, к типу / , когда оно чистое состояние и не гомоморфизм, и к типу П , когда это след и не гомоморфизм. Представление Лф принадлежит к типу П , если состояние фо не является ни чистым состоянием, ни следом и, кроме того, вектор состояния на Лф(Э о), порожденный вектором Фо е Яф , есть след. Наконец, представление Лф принадлежит к типу III, если только что определенное состояние на Яф (Э о) не является следом. И лея такую классификацию, мы можем, исходя из нашей алгебры квазилокальных наблюдаемых квантовой решеточной системы, построить факторы типа 1 , II, и III. Действительно, пусть фо состояние на 3 2. рассмотренное в первых примерах в гл. 2, 1, п. 2, 5. Если = oo, то фо — чистое состояние и не гомоморфизм. Следовательно, ф —примарное состояние типа 1 (физически ф есть основное состояние нашей свобод ной системы, взаимодействующей только с магнитным полем) Если = 0, то фо = след, но не гомоморфизм. Следовательно ф—примарное состояние типа II, (с физической точки зрения ф — состояние при бесконечной температуре). Если О < < оо то, как нетрудно сообразить [поскольку мы в явном виде по строили коммутант Лф (Э о) ], фо принадлежит последнему классу состояний, в силу чего ф —примарное состояние типа III Кстати, данное обстоятельство служит иллюстрацией того что теорема 14 из гл. 2, 2 применима именно в той области которую мы указали. Нетрудно видеть [303], что полученные [c.387]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...