Оператор полупростой

Из теорем пп. 4.3, 4.4 вытекает, что оператор полупростой части монодромии действует на расслоениях Обозна- [c.117]

Матричные элементы присоединенного представления группы Ли G играют важную роль во многих разделах теории представлений. Как будет видно из дальнейшего, они связывают между собой инфинитезимальные операторы левых и правых сдвигов на G, через них выражается весовая функция инвариантной меры Хаара на G. Для полупростых групп Ли с их помощью строятся старшие векторы неприводимых представлений, полностью определяющие структуру пространства представления G. [c.58]

Введем понятие центральных образующих или операторов Казимира К , 1 < / < г (рассмотревшего впервые задачу их вычисления для полупростых алгебр Ли) как элементов алгебры [c.59]

Общие определения. Базис рассмотренных в 1.5 неприводимых представлений полупростых алгебр Ли задавался своим старшим (младшим) элементом, из которого остальные элементы базиса получаются применением понижающих (повышающих) операторов, построенных из корневых векторов, с последующим выделением линейно-независимых взаимно ортогональных компонент. В принятых ранее обозначениях матричные элементы конечных преобразований группы О записываются в виде а Т ( ) > или <а 6>, где групповой элемент берется в соответствующем представлении. Для дальнейших приложений нам потребуются матричные элементы между старшими базисными бра- и кет-векторами, т. е. [c.67]

Инфинитезимальные операторы сдвигов на полупростых группах Ли [50] [c.72]

В заключение приведем выражение для инфинитезимальных операторов левых сдвигов на некомпактной вещественной форме иО комплексной полупростой или редуктивной группы Ли сО с алгеброй Ли снабженной градуировкой [c.79]

Общая постановка задачи. Как уже отмечалось в Г 5, п. 3, операторы Казимира произвольной полупростой группы Ли [c.83]

Конструктивное решение -задачи на собственные значения и собственные функции полного набора операторов Казимира требуется для целого ряда физических приложений теории представлений групп, в том числе при изучении квантования нелинейных динамических систем, ассоциируемых с алгебраической структурой полупростых групп Ли (см. гл. VII). При этом выбор того или иного разложения группы через ее подгруппы приводит, вообще говоря, к физически неэквивалентным квантовым системам, гамильтонианы которых отождествляются с квадратичными операторами Казимира, а волновые функции — с собственными функциями последних. [c.84]

Построение системы уравнений для собственных функций операторов Казимира как динамических величин, находящихся между собой в инволюции, требует реализации их в виде дифференциальных операторов по групповым параметрам с последующим переходом к переменным фазового пространства и отыскания спектра собственных значений этих операторов. Для квадратичного оператора Казимира произвольной полупростой группы Ли G собственные значения даются замечательной по простоте и изящности формулой Рака [c.84]

Квадратичные операторы Казимира. В дальнейшем при изучении задачи квантования нелинейных динамических систем нам потребуются явные выражения для операторов Казимира 2-го порядка естественных вещественных форм комплексных полупростых групп Ли О. Вычислим их здесь для различных параметризаций группового элемента. [c.85]

Построение операторов Казимира полупростых групп Ли. [c.87]

Это выражение справедливо и для конечномерных унитарных представлений, в том числе вырожденных, компактных групп. Таким образом, операторы Казимира бесконечномерных представлений с весами с1 ,- комплексных полупростых групп Ли получаются формальной заменой целочисленных компонент весов / на с1 1 в операторах Казимира соответствующих компактных форм. [c.89]

Связь сплетающих операторов с вопросами приводимости, эквивалентности и унитарности представлений. Одной из наиболее кардинальных проблем теории представлений полупростых групп Ли является описание всех неприводимых унитарных представлений. В случае вещественных форм данная задача особенно сложна ввиду характерных особенностей их представлений (отсутствующих для комплексных групп). Причина этого заключается, в частности, в существовании нескольких типов основных серий унитарных представлений, что находится в тес- [c.94]

Построение сплетающих операторов. Перейдем к непосредственному построению сплетающих операторов для представлений полупростых групп Ли в рамках изложенного выше асимптотического подхода. С этой целью перепишем уравнение [c.98]

Обычно квантовомеханический гамильтониан идентифицируется с радиальной частью квадратичного оператора Казимира полупростой группы Ли С в подходящей параметризации. При этом выбор базисных функций в пространстве представления О играет ту же роль, что и выбор начальных условий в фазовом пространстве функциональной группы для классической задачи (см. IV. 6). Скобки Пуассона, определяющие классическую систему, заменяются на коммутаторы динамических переменных соответствующей квантовой системы. Существует глубокая взаимосвязь между решением задачи квантования и теорией представлений групп, впервые установленная Костан-том для систем типа цепочки Тода, для которых получено интегральное представление однокомпонентных волновых функций [c.230]

Оператор Us назовем полупростой составляющей, a U — нильпотентной составляющей оператора U. В отношении оператора U, справедливо следующее важное для дальнейшего утверждение. [c.180]

Теорема 6.2. Полупростая составляющая оператора U коммутирует с операторами , . .., Ny, входящими в ассоциированный с централизованной системой оператор Uq = И Н- eNj +. .. - - e Nv [c.180]

Решение первого вопроса рассматривается ниже, где получены единообразные выражения для ядер сплетающих операторов полупростых групп Ли и операторнозначных функций (4.4.). Диагонализация матриц вида (4.3) в общем случае представляет собой существенно более сложную задачу. В ряде частных случаев она, тем не менее, решается в явном виде, например для группы и т, 1), и техника сплетающих операторов позволяет получить полный ответ на указанный круг вопросов. [c.98]

В уравнении (0.2), которое часто называют представлением нулевой кривизны, величины Г н О обычно являются матрицами, элементы которых зависят от неизвестных функций, входящих в нелинейное уравнение. Они могут быть также дифференциальными операторами по некоторой дополнительной переменной. И в том, и в другом случае с ними удается связать некоторую алгебру, которая и определяется видом этих матриц и операторов. Уравнения (0.2) обладают богатой ал1 бр.шче крй ст ктуррй. Конкретизируя ее, удается построить.бес-конечные наборы интегрируемых систем. Так, в монографии [7] покат-зано, как каждой полупростой алгебре Ли можно сопоставить непериодическую цепочку Тоды, и предъявлена схема их интегрирования. В работе [4] алгебрам Каца — Муди сопоставляются периодические цепочки Тоды. В работгос [23, 24] с помощью однородных пространств построены системы нелинейных уравнений Шредиигера, а в работах [25-28] изучалась связь супералгебр и суперсимметричных цепочек Тоды. Этот список легко продолжить. Здесь были перечислены лишь самые простые и наиболее известные примеры, иллюстрирующие связи между алгебраическими конструкциями и системами интегрируемых уравнений. Остановимся далее на тех алгебраических конструкциях, которые приводят к построению Ь — Л-пар или Р — С -систем и пс зволяют отыскивать ПБ, а также на самих ПБ, возникающих таким путем, и рассмотрим их детальнее на конкретных примерах. Начнем же мы с того, что дадим определение ПБ. [c.6]

Наиболее ярко алгебраическая структура преобразований Беклунда проявляется в случае цепочек Тоды. Это и понятно, поскольку сами эти системы строятся как чисто алгебраические конструкции каждой полупростой алгебре Ли сопоставляется непериодическая цепочка Тоды [7], а каждой алгебре Каца-Муди — периодическая цепочка Тоды [4]. и — К-пары для таким систем можно записать в симметричном виде. При такой записи как функции, входящие в нелинейные уравнения, так и функции, на которых определены уравнения линейной задачи, оказываются коэффициентами операторов, образующих некоторые алгебры Ли. Каждому из уравнений, связанных преобразованием Беклунда, отвечает своя алгебра Ли, а само преобразование Беклунда имеет г>ид специальным образом устроенного произведения этих алгебр Ли. [c.25]

С этой целью рассмотрим квантовую систему, динамические величины которой удов.тетворяют коммутационным соотношениям некой полупростой алгебры Ли а интегралами движения являются инвариантные относительно операторы (Казимира), построенные из ее элементов (см. п. 3, 1.5). Переходу к классической системе отвечает замена коммутаторов [fa, Рь] в на соответствующие скобки Пуассона Fa, Рь , а самой алгебры О — на функциональную группу G , элементами Ра которой являются функции Ра х р), задэнные на фазовом пространстве 2N переменных х и рр, 1 а, N (обобщенные координаты и импульсы Ха, хр = ря, Рэ =0, ра, хр =0а з). При этом скобка Пуассона определяется формулой [c.16]

Асимптотическая область. Построенные в предыдущем пункте инфинитезимальные операторы левых (правых) сдвигов на комплексных полупростых группах Ли и их вещественных формах позволяют, в принципе, решить задачу нахождения матричных элемеР1тов неприводимых представлений соответствующих групп, выделить унитарные компоненты и вычислить основные характерные величины теории. С этой целью из генераторов следует построить систему взаимокоммутирующих операторов Казимира (см. п. 3, 1.5) и найти их общие собственные функции, выделяя таким образом операторно-неприводимые представления, задаваемые собственными значениями операторов Казимира. [c.80]

Для операторно-неприводимых представлений эти операторы сводятся к числовым функциям их старших весов, которые будем в дальнейшем называть собственными значениями, являющимися полиномами от компонент веса. Важными свойствами операторов Казимира являются наличие для любой полупростой алгебры Ли ранга г ровно г независимых операторов Казимира и однозначность определения неприводимого представления их собственными значениями. В случае классических серий ввиду наличия матричной реализации соответствующие расчеты можно провести в тензорном базисе Картана — Вейля, тогда как для особых картановских эта возможность исключается. [c.84]

Очевидно, что наиболее прямой способ нахождения спектра собственных значений операторов Казимира любого порядка в явном виде для произвольного неприводимого представления (в том числе, неунитарного и бесконечномерного) комплексной полупростой группы Ли и ее вещественных форм состоит в непосредственном вычислении следов степеней генераторов сдвигов, содержащих наиболее простую параметрическую зависимость от весов представления. [c.85]

Вначале опишем подробно вычисление собственных значений операторов Казимира в случае комплексных полупростых групп Ли, и из соображений общности используем разложение Картана. С этой целью нам будет удобно разбить операторы (1.28 на две совокупности F , отвечающие взаимокоммутирующим. системам касательных матриц [c.87]

Среди различных подходов, использующихся при построении унитарных представлений полупростых групп Ли О, наиболее конструктивными, по-видимому, являются исследования асимптотических свойств матричных элементов и ядер эрмитовых форм. Обе эти задачи в свою очередь можно связать с изучением аналитических свойств сплетающих операторов (1.5.2) в пространстве весов представления. Кроме того, к сплетающим операторам приводит и исследование вопроса приводимости и эквивалентности представлений (см. 1.5). Нахождение явных выражений для меры Планшереля основной серии (см. П. 5) наиболее просто проводится с помощью формализма сплетающих операторов. Следует также отметить, что эти операторы играют важную роль при изучении квантовых динамических спстем как в рамках подхода, развиваемого в настоящей книге, так и в методе квантовой обратной задачи рассеяния. [c.95]

Таким образом, для эффективного использования сплетающих операторов в перечисленных выше задачах теории представлений полупростых групп Ли требуется, во-первых, знание их явных аналитических выражений (или, эквивалентно, полная информация об их аналитических свойствах) и, во-вторых, диагона-лизация функций являющихся конечномерными по кван- [c.97]

В качестве примера сплетающих операторов для произволь-нон вещественной полупростой группы Ли приведем их выражения для вещественной формы классического типа AIII, точнее— редуктивной группы U p, q), pl q, отличающейся от SUip, q) только ueHTpo vi. В этом случае интегральная форглула [c.99]

В дальнейшем при изучении задачи квантования обобщенной цепочки Тода потребуются явные выражения для так называемых векторов Уиттекера, введенных Костантом. Канонически они определяются как собственные векторы оператора сдвига основной серии унитарных представлений полупростой (или редуктивной) группы Ли С, [c.110]

Пусть О — дискретная группа, действующая на пространстве Лебега М, Ж, [х) с инвариантной мерой. Рассмотрим пространство ЛIXG и меру (яг—мера Хаара) на нем. В пространстве 2(МхС) рассмотрим слабо замкнутую алгебру операторов, порожденных операторами (х, g) = ср(х) (х, g) и (Uhf)(x,g)=f ThX,hg), где ф L (Лi), h,g G, 1 ЬЦМ Х.О). Эта алгебра ТГ(0, М) называется скрещенным произведением (М) и 1 0) относительно действия О на М, Именно эта конструкция содержится в [99]. Оказывается, что она траекторно инвариантна, т. е. если вместо С взять произвольную траекторно изоморфную ей группу О, то алгебра (С, М) не изменится. Более того, имеется способ строить эту алгебру прямо в инвариантных терминах, не используя действия (например, [69]). Поэтому алгебраические инварианты этой алгебры служат траекторными инвариантами. В настоящее время имеется развитая теория, обобщающая это построение на квазиинвариантные меры, на слоения, на С -алгебры, использующая когомологии я др. (см. обзоры [69], [97], [75], [65]). Много работ посвящено так называемой полной группе, лли группе Дая, состоящей из всех автоморфизмов Т, для которых х Т) более мелкое, чем данное траекторно1е разбиение, например, чем х(С). Полезна такая аналогия алгебра 51>1= М, фбЬ" (М) есть аналог алгебры Картана в W(G,M), а группа Дая, обозначаемая [С],— аналог группы Вейля в теории полупростых алгебр Ли. Эта аналогия [10], [69] оказалась очень шолезной для изз чения -алгебр. В свою очередь, многие продвижения в траекторной теории (например, теорема Фельдмана—Конна—Орнстейна— Вейсса (у нас — теорема 1.2)) были получены после аналогичных теорем теории 1 -алгебр (в данном случае, после теоремы Конна [643). [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...