Маятник точное решение

Найдем теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (13). Так как [c.410]

Дополнение 1. Точное решение задачи о колебании математического маятника [c.236]

Длина нити математического маятника изменяется по-закону l(t)=lQ+vt. Найти точное решение уравнения движения [c.177]

Точное решение (20) показывает, что период колебаний маятника зависит от начальных условий движения (начального отклонения фо при этом, чем больше фо, тем больше и период колебания маятника). [c.295]

Если угол отклонения маятника не является малым, то период колебаний будет определяться так же, как и период колебаний математического маятника в случае точного решения, т. е. [c.420]

Длина нити математического маятника изменяется по закону l(t) = lo- -vt. Пайти точное решение уравнения движения в окрестности положения равновесия. Исследовать случай v < /gi- [c.230]

Точное решение для вынужденных колебаний системы связанных маятников. Мы рассматривали свойства вынужденных колебаний связанных маятников в непрерывном приближении. Найдем теперь точное решение уравнения движения маятника, находящегося в ряду связанных маятников. Перепишем уравнение (62) [c.139]

Каково время движения по другим траекториям, например по траекториям типа 1 на рис. 13.3 а Это — движение на дне потенциальной ямы, следовательно, это — почти линейные колебания, и их частота определяется из линеаризованной задачи. Для траекторий типа 2 на рис. 13.3 а, близких к сепаратрисе, зависимость х 1) приведена на рис. 13.3в. В том случае, если в (13.3) (1Ш х)/(1х = зтж, т. е. наш осциллятор — это просто маятник, получается известное точное решение, выражающееся через эллиптический интеграл [3]. [c.277]

Другой пример симметричного вида восстанавливающей силы, для которого может быть получено точное решение, представляет собой маятник (см. рис. 2.3). Здесь уравнение движения [см. уравнение (2.4а) в п. 2.11 имеет вид ф + sin ф = О, где р = g/L. В данном случае угловых колебаний соотношения (2.6) и (2.7) принимают следующую форму [c.145]

Рассмотренный в предыдущем параграфе пример маятника показывает, какие математические трудности возникают при точной постановке задачи о нелинейных колебаниях. Вместе с тем необходимость в решении задач такого рода, выдвинутых вначале астрономией и механикой, а затем главным образом радиотехникой, настолько возросла, что потребовала созданий при ближенных методов, доступных для практических вычислений. [c.504]

Его можно очень точно определить путем отсчета числа колебаний маятника между двумя узлами биений и, таким образом, получить удобный и точный критерий для суждения о том, насколько близко достигнут резонанс. Особенность рис. 32, которая наглядно представляет решение дифференциального уравнения, идентичного уравнению (21.20), заключается только в том, что на ней изображен случай полного резонанса, которому соответствует Т = оо. [c.156]

Нахождение движения артиллерийского снаряда, спутника, поезда, самолета, ракеты и т. п. — все эти задачи решаются приближенными методами ), причем решение может быть найдено с любой степенью точности даже в самой точной из наук— астрономии — все формулы, по словам А. Н. Крылова, приближенные. Даже во втузовском курсе механики, например, в учебнике ( 88, 89, 91, 95, 113, 161) читатель встретится с приближенными методами при изучении движения артиллерийского снаряда, при нахождении времени в эллиптическом движении планеты или спутника, при рассмотрении вынужденных колебаний точки, при изучении колебаний физического маятника, при изучении влияния враш ения Земли на падение тяжелой точки в пустоте и т. п. [c.40]

Из приближенного решения (21) следует, что период малых колебаний маятника (малые фо) не зависит от начальных условий, т. е. малые колебания математического маятника являются простыми гармоническими колебаниями. В прилагаемой таблице даны значения , вычисленные по точной фор- [c.295]

Решение этого уравнения связано с математическими трудностями, поскольку оно содержит слагаемое с sin ф. К счастью, однако, результат физически очевиден, поскольку точно такое же уравнение описывает движение маятника с произвольно большим углом отклонения ф. Левая часть уравнения (5.79) есть угловое ускорение. Первое слагаемое в правой части отвечает угловой компоненте [c.584]

Задача определения приведенной длины маятника была поставлена Мерсе-ном (1646 г.). Над цею работали многие ученые (Декарт, Роберваль, Кавендиш, Пикар и др.). Полное и точное решение этой задачи Гюйгенсом (1673 г.) явилось едва ли не первым случаем геометрического интегрирования, первым точным решением задачи по динамике твердого тела, первым введением понятия момента инерции и, безусловно, создало эпоху в развитии физико-математических наук., [c.335]

Пример. Нелинейные эффекты. Теперь мы рассмотрим маятник, который колеблется с амплитудой настолько большой, что мы не можем пренебрегать членом, содержащим 0 в разложении в ряд sin 0, как мы это делали выше в (22). Какое влияние на движение маятника оказывает член, содержащий 03 Это элементарный пример ангармонического осциллятора. Ангармонические, или нелинейные, задачи обычно с трудом поддаются точному решению (за исключением тех случаев, когда используются электронновычислительные машины), однако во многих случаях приближенные решения дают нам достаточно ясное представление о рассматриваемом явлении. Разложение sin 0 в ряд с сохранением членов, содержащих 0 , обычно называемое разложением до порядка 0 , имеет вид [c.211]

Чему будет равна частота маятника при больших амплитудах В этом случае движение не может характеризоваться только единственной частотой. Мы уже видели, что наиболее важный член (т. е. наибольший по величине) — это член с sin o и поэтому частоту ы мы можем назвать основной частотой маятника. В нашем приближении со дается вторым выражением (38). Член, содержащий sin Зсо/, называется третьей гармоникой основной частоты. Из нашего обсуждения выражения (33) вытекает, что точное решение содержит бесконечное число гармоник, большинство из которых оказываются очень малыми. Из (33) следует, что амплитуда основной компоненты движения равняется 0о амплитуда компоненты третьей гармоники равна е0о. [c.214]

Точное решение задачи о плоском математическом маятнике можно найти в Основном курсе теоретической механики Н. Н. Бухгольца, часть , ОГИЗ, 1945, стр. 328. [c.486]

Уравнение (7.20) нелинейное, ибо неизвестная функция ф входит в него не линейно, а под знаком синуса его нельзя проинтегрировать до конца в элементарных функциях — его точное решение (приведенное в 165 учебника) выражается так называемыми эллиптическими функциями времени ). Ограничиваясь случаем малых колебаний, полагаем приближенна 81пф Ф и приходим к линейному уравнению ф + ф = 0. Такой метод, называемый методом линеаризации, позволяет заменить нелинейное дифференциальное уравнение линейным хотя при такой замене мы получаем не точное решение задачи, а приближенное, справедливое лишь при некоторых ограничениях, тем не менее этот метод весьма широко применяется в физике и в технике. В рассматриваемом случае нет особого смысла находить точное решение математической задачи — оно все равно не будет точным с физической точки зрения, ибо при составлении уравнения (7.20) мы пренебрегаем сопротивлением воздуха и сопротивлением в подвесе маятника. [c.163]

Чтобы исследовать структуру вторичных резонансов вблизи сепаратрисы, нужно сначала найти выражение для переменной действия. Это можно сделать либо по теории возмущений, отправляясь от движения по невозмущенной сепаратрисе, либо вычислить действие прямо из точного решения для маятника вблизи сепаратрисы (см. п. 1.3а). Хотя оба метода требуют довольно сложных вычислений, выражение для переменной действия было найдено многими авторами, и мы приведем полученные результаты, не вдаваясь в детали самих вычислений. Ниже мы будем следовать работе Смита [383 ] и Смита и Перейры [387 ], где действие было получено непосредственно из точного решения. [c.267]

Эта зависимость выведена нами в предположении, что ускорение w и угол отклонения а суть величины постоянные (т. е. в предположении равномерно переменного движения поезда и относительногр покоя маятника). На самом деле ни ускорение w, ни угол а ие остаются строго постоянными. Точное решение задачи при переменных w п а может быть получено при помощи соображений, которые будут изложены в главе VIII. [c.22]

Проблема центра качаний была поставлена, можно сказать, в конкурсном порядке, тем же Мерсенном, который так интересовался открытиями Галилея в акустике. Отсылая за подробностями к гл. V (см. стр. 97), укажем здесь, что Гюйгенсу принадлежит не только решение задачи о центре качания, т. е. приведенной длине физического маятника, но и точная трактовка вопроса о периоде малых колебаний математического маятника. Таким образом, была решена задача и о периоде малых колебаний физического маятника. Гюйгенс определил также центры тяжести и центры качания для многих фигур, открыл циклоидальный маятник и доказал (строгую) изохронность его колебаний. Все это шло об руку с техническими изобретениями часов с коническим маятником, часов с циклоидальным маятником, с существенным усовершенствованием обычных маятниковых часов, идея которых возникла у Гюйгенса, видимо, вполне самостоятельно. Гюйгенсу не удалось создать хронометра, удовлетворяющего требованиям моряков, но его технические изобретения во всяком случае позволили значительно уточнить измерение времени, столь существенное и для исследования колебаний. Его вклад в теорию колебаний тоже велик помимо указанного выше явления, он открыл явление, названное позже принудительным консонансом . С этими (конструк- [c.254]

Из рассмотренного видно, что одним из главных направлений, по которому шло совершенствование гироскопического компаса, было сокращение его девиаций повышением точности удержания системы в горизонтальной плоскости. Решение этой принципиальной задачи — создание с помощью маятника и гироскопа достаточно точно горизонтируемой базы — было необходимо не только для хорошей работы гироскопического компаса, но имело важное самостоятельное прикладное значение. Поэтому еще во второй половине XIX в. было затрачено немало труда на практическое осуществление приборов такого назначения. Наиболее удачной была разработанная Г. Фле-рие конструкция гирогоризонта, служившего дополнением к секстанту и позволявшего определять местоположение корабля по светилу в отсутствие видимости горизонта. За нее Флерие был удостоен удвоенной премии Париж- [c.154]

Потребности мореплавания, как известно, в течение многих столетий стимулировали развитие точных наук — астрономии, математики, механики. Тем не менее к началу XX в, практическая навигация оставалась еще делом недостаточно надежным. Успех его зависел от условий погоды, знания течений 179 и искусства штурмана. Поэтому в самом начале развития гироскопической техники обозначилось стремление заменить астрономическое определение места, требующее наблюдения светил и горизонта, работой механической системы, содержащей гироскопы, маятник и часы. Такую цель преследовали заявки М. Керри (1903),.В. Алексеева (1911) и Ф. Свини (1911) В предложенных ими устройствах два свободных гироскопа указывали неизменные относительно звезд направления, а гиромаятник — вертикаль. Пользуясь этими средствами, зная точку отправления судна и учитывая с помощью хронометра угол поворота Земли относительно звезд за время пути, можно определять текущее географическое место корабля подобно тому, как это делается посредством секстанта. Однако эту принципиальную возможность в то время отделяла от возможности реальной необходимость решения двух проблем. [c.179]

Хрупкость ИЛИ пластичность многих образцов, например свободных пленок, затрудняет использование одного этого измерения в достаточном широком температурном диапазоне, т. к. растяжение пленки под грузом может влиять на результаты. Существуют два решения этой проблемы или маятник переворачивается и вес гирь уравновешивается, чтобы минимизировать силу растяжения, приложенную к образцу (показано схематически на рйс, 1 4), шш. лшф ь1ТИ-е нанос.ится на металлическую фольгу (или стеклоткань), которая образует подвеску простого маятникового устройства и выдерживает вес гири. Если использована металлическая фольга, то для определения модуля покрытия необходимо предварительно определить его для фольги. Однако для точного определения модулей серьезной проблемой является геометрический фактор, поскольку уравнение для модуля содержит разность кубов толщины покрытия с фольгой и собственно фольги [33]. Поскольку толщину часто бывает трудно определить достаточно точно и она может изменяться с температурой (в результате отверждения, потери растворителя и т. п.), это может привести к серьезным ошибкам. Менее очевидный недостаток заключается в том, что рабочая частота также изменяется с температурой (из-за изменений эластичности покрытий, которые могут быть значительными даже в армированных пленках). Эти трудности могут быть преодолены, если использовать методы, рассмотренные ниже. [c.406]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...