Прямое произведение С*-алгебр

Введем теперь понятие бесконечного прямого произведения С -алгебр. Для этого мы последовательно определим бесконечные прямые произведения векторных пространств, алгебр с инволюцией и С -алгебр. Попутно мы сделаем некоторые замечания относительно понятия бесконечного прямого произведения гильбертовых пространств, которые также играют важную роль в дальнейшем. [c.327]

Прямое произведение С -алгебр 330 [c.419]

Доказательство. Пусть (е I у е 7" — ортонормированный базис в Ж. Напомним, что алгебру 4- мы определили как прямое произведение 4= 4 , где 4 для каждого 2 представляет собой экземпляр алгебры всех (2Х2)-матриц с комплексными элементами. Пусть — конечномерное подпространство в Ж, натянутое на е, г = 1, 2..... п . Взяв [c.390]

Формулы, выражающие сумму, скалярное и винтовое произведения винтов через внутренние величины — модули и углы, — оказались совершенно идентичными с соответствующими формулами для векторов при условии, что в последних модуль вектора заменяется комплексным модулем винта, а обыкновенный угол между прямыми — комплексным углом. Тождественность основных формул алгебры векторов и алгебры винтов показана в следующей таблице соответствия. [c.67]

Нельзя ли найти связь между векторами АЛ и со в общем случае Оказывается, можно, она выражена двойным векторным произведением, и ее удобно представить с помощью новой физической величины — тензора, — которая является расширением и обобщением представления о векторной величине. Для выяснения прямой связи между векторами АМ и о> найдем зависимость между проекциями АА н (О на оси координат. Предварительно по формуле из векторной алгебры [c.228]

Доказательство теоремы 4.2. В леммах 4.1 и 4.2 показано, что подпространства 58 К) имеют размерности /с и алгебра 58о разлагается как линейное пространство в прямую сумму этих подпространств. Докажем, что подпространство 58 (Я, ) является алгеброй Ли, Действительно, если Х- , Х — решения системы (4.5), то произведение элементов также является ее решением, так [c.159]

Доказательство. Для доказательства простоты алгебрь 91 достаточно показать, что всякий ненулевой морфизм я, переводящий 91 в некоторую С -алгебру 58, является изометрическим отображением. Прежде всего заметим, что каждая С -алгебра будучи копией С -алгебры 2, простая, поэтому для каждого конечного подмножества Г с Z+ прямое произведение С -алгебр 31г = 0 йу просто (в действительности алгебра 91г изоморфна [c.348]

Примечание. Теорема 3 интересна тем, что позволяет свести исследование представлений КАС к исследованию представлений С -алгебры 21. Напомним, что алгебру 21 мы определяли как бесконечное прямое произведение тождественных экземпляров четырехмерной С -алгебры Шч, а поэтому можем пользоваться всеми средствами, применявшимися в 1 в случае представлений прямого произведения С -алгебр. Кроме того, теперь у нас есть одно дополнительное упрошение, а именно алгебры гНу теперь конечномерны. С одним из следствий, к которым приводит данное обстоятельство, мы уже встречались в теореме 2. В другой связи алгебра 21 будет рассмотрена нами в гл. 4. Отметим, в частности, что теорема 3 позволяет получать аналоги различных следствий из теоремы И, приведенной в гл. 3, 1. Приведем лишь один пример. Дискретные представления, полученные в 1 как частные случаи представлений НППП, возникают точно таким же образом снова и с точностью до унитарной эквивалентности определяются классом эквивалентности [п] бесконечных последовательностей т = = /Иу 2+ Шу — О или 1 . Представление, ассоциированное с последовательностью т = 0 7 2+ , выделяется среди дискретных представлений как стандартное представление в пространстве Фока, построенное для вакуума ). [c.350]

Пусть О — дискретная группа, действующая на пространстве Лебега М, Ж, [х) с инвариантной мерой. Рассмотрим пространство ЛIXG и меру (яг—мера Хаара) на нем. В пространстве 2(МхС) рассмотрим слабо замкнутую алгебру операторов, порожденных операторами (х, g) = ср(х) (х, g) и (Uhf)(x,g)=f ThX,hg), где ф L (Лi), h,g G, 1 ЬЦМ Х.О). Эта алгебра ТГ(0, М) называется скрещенным произведением (М) и 1 0) относительно действия О на М, Именно эта конструкция содержится в [99]. Оказывается, что она траекторно инвариантна, т. е. если вместо С взять произвольную траекторно изоморфную ей группу О, то алгебра (С, М) не изменится. Более того, имеется способ строить эту алгебру прямо в инвариантных терминах, не используя действия (например, [69]). Поэтому алгебраические инварианты этой алгебры служат траекторными инвариантами. В настоящее время имеется развитая теория, обобщающая это построение на квазиинвариантные меры, на слоения, на С -алгебры, использующая когомологии я др. (см. обзоры [69], [97], [75], [65]). Много работ посвящено так называемой полной группе, лли группе Дая, состоящей из всех автоморфизмов Т, для которых х Т) более мелкое, чем данное траекторно1е разбиение, например, чем х(С). Полезна такая аналогия алгебра 51>1= М, фбЬ" (М) есть аналог алгебры Картана в W(G,M), а группа Дая, обозначаемая [С],— аналог группы Вейля в теории полупростых алгебр Ли. Эта аналогия [10], [69] оказалась очень шолезной для изз чения -алгебр. В свою очередь, многие продвижения в траекторной теории (например, теорема Фельдмана—Конна—Орнстейна— Вейсса (у нас — теорема 1.2)) были получены после аналогичных теорем теории 1 -алгебр (в данном случае, после теоремы Конна [643). [c.106]

С математической точки зрения задача состоит, как легко видеть, в разложении прямого произведения неприводимых представлений алгебры Ли (91) (которое образует, вообще говоря, приводимое представление этой алгебры) в прямую сумму неприводимы.х. [c.455]

Все приведенные выше определения теории алгебр Ли практически полностью переносятся на группы Ли. В частности, связные группы Ли называются полупростыми, простыми, ниль-потентными и разрешимыми, если таковыми являются их алгебры Ли. В полной аналогии с понятием прямой и полупрямой сумм алгебр вводятся определения прямого и полупрямого произведения групп в соответствии со свойствами инвариантности групп-сомножителей относительно внутренних автоморфизмов, именно [c.20]

Введем понятие прямой суммы двух (и более) подалгебр. Пусть Sil и йа — два вза ймно простых двусторонних идеала алгебры й. Совокупность элементов I8 -Ь С, где 35 пробегает и С пробегает 2, называется прямой суммой S i + Легко доказать, что Sij + + йа составляет алгебру. Всякое произведение S5 в силу двусто-ронности идеалов содержится и в и в а потому из-за их [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...