Векторных пространств прямое произведение

Векторное пространство, действительное 56 Векторных пространств прямое произведение 327 [c.416]

Теорема. Для типичного семейства векторных полей множество особых точек полей семейства образует гладкое подмногообразие в прямом произведении фазового пространства на пространство параметров. [c.15]

Локальным семейством векторных полей (и Xq, о) называется росток поля V в точке (j q, eq) прямого произведения фазового пространства и пространства параметров представителями таких ростков являются семейства векторных полей". [c.16]

Определение минимакса, максимина, седловой ТОЧКИ. Пусть функционал F зависит от двух переменных (возможно, векторных или функциональных) U и 2. другими словами, функционал F определен на прямом произведении Е = Е У,Е евклидовых пространств Е и Каждому фиксированному значению щ можно поставить в соответствие число [c.42]

Полное пространство произведения (64.1) разлагается на прямую сумму полных неприводимых векторных пространств, т. е. [c.169]

Функции являются векторными в спиновом пространстве, и их произведение в (15.21) следует понимать как прямое произведение Л—спиновый оператор, или матрица. Мы приходим к выражению, аналогичному выражению (11.12) для матрицы [c.413]

Читатель должен вспомнить, что для того, чтобы преобразование, Q сохраняло скалярное произведение, в некотором векторном пространстве, т. е. для того, чтобы Q(и). Q(v) = U-V V U. V, необходимо и достаточно, чтобы Q было тензором, удовлетворяющим условию (4). Из (4) сразу видно, что det Q = 1. Если det Q = -f-1, то Q представляет собой поворот. Произвольный ортогональный тензор представляет собой либо поворот, либо произведение поворота на центральную инверсию —I, г. е. Q = R, где R —поворот, причем (вещественными) собственными числами Q могут быть лишь 4-1 и —1. Если, как мы везде предполагаем, dim F = 3, то 1 является собственным числом для любо.го R и соответствующее характеристическое пространство для него одномерно, за исключением случая, когда R=l, Последнее утверждение — это знаменитая теорема Эйлера любой отличный от тождественного поворот около некоторой точки является в действительности поворотом вокруг некоторой однозначно определенной прямой. [c.35]

Поля направлений и неавтономные дифференциальные уравнения. Пусть v — зависящее от времени векторное поле, т. е. отображение, сопоставляющее каждой точке t, х) некоторой области прямого произведения оси времени R и фазового пространства V вектор фазового пространства (приложенный в точке х). [c.14]

Введем теперь понятие бесконечного прямого произведения С -алгебр. Для этого мы последовательно определим бесконечные прямые произведения векторных пространств, алгебр с инволюцией и С -алгебр. Попутно мы сделаем некоторые замечания относительно понятия бесконечного прямого произведения гильбертовых пространств, которые также играют важную роль в дальнейшем. [c.327]

Наряду с векторным пространством V над Р, порожденным элементами XI,. .., Хп, будем рассматривать векторное подпространство над Р, равное прямому произведению пространства V, взятого [c.183]

Бифуркационные диаграммы главных семейств (3= ).. Множество особых точек полей любого из семейства (3= ) образует гладкое подмногообразие в произведении фазового-пространства на пространство параметров. Бифуркационная диаграмма для главного семейства (3 ) (множество значений параметра, при которых особые точки семейства сливаются) — это множество коэффициентов многочленов степени р+1, имеющих кратные корни. При р=1 это множество — одна точка, при j, = 2 — полукубическая парабола, при ц = 3 — ласточкин хвост (рис. 5). Деформации векторных полей на прямой с вырожденной особой точкой возникают в теории релаксационных колебаний, как уравнения медленных движений в окрестности точки на складке медленной поверхности ( 2, гл. 4). В п. З.Г указаны только топологические нормальные формы таких деформаций. Для приложений существенны также гладкие нормальные формы они исследуются в 5 главы 2 и оказываются очень похожими на главные семейства (3= ). [c.24]

В основе прямого (бескоординатного) тензорного исчисления лежит понятие тензорного произведения линейных пространств. Строгое определение и описание конструкции тензорного произведения содержится в [12, 28, 41, 58]. Здесь мы ограничимся перечислением основных свойств тензорного произведения. Тензорное произведение двух евклидовых векторных пространств Зт и Эп обозначается Эт Эп и представляет собой линейное пространство, порождаемое тензорными (диадными) произведе-. ПИЯМИ вектора из Эщ на вектор из Эп. Тензорное-произведение [c.7]

В главах 2—7 и 9 излагается теория пространственных групп. В гл. 2 дается описание структуры кристаллических пространственных групп как групп симметрии трехмерного пространства кристалла. Особое внимание уделяется математической структуре кристаллических пространственных групп. Мы не приводим полного описания 230 пространственных групп, так как оно вместе с иллюстрациями имеется в литературе. В гл. 3 дается обзор стандартного материала по теории представлений конечных групп. Хотя этот материал широко известен, он необходим нам как основа для изложения теории представлений пространственных групп. В гл. 4 излагается теория представлений группы трансляций Неприводимые представления групп трансляций кристалла играют центральную роль в теории, поэтому важно рассмотреть их надлежащим образом, а также правильно ввести понятие первой зоны Бриллюэна. Далее в гл. 5 дается детальный вывод построения и свойств неприводимых предста влений и векторных пространств кристаллической пространственной группы . Этот материал оказывается центральным для характеристики собственных функций и собственных значений при их классификации по симметрии. Рассмотрение в главах 6 и 7 посвящено определению коэффициентов приведения для пространственных групп. Эти коэффициенты приведения являются основными входящими в рассмотрение величинами при определении правил отбора. С математической точки зрения они являются коэффициентами рядов Клебша — Гордана в разложении прямого произведения неприводимых представлений двух пространственных групп. [c.19]

Обратимся теперь к содержанию последующих глав 4 и 5. Каждая пространственная группа содержит нормальную подгруппу трансляций Поскольку группа X абелева (в действительности является прямым произведением трех циклических групп), ее неприводимые представления и неприводимые линейные векторные пространства одномерны. Неприводимые представления характеризуются волновым вектором к и бло-ховским вектором [21]. Набор допустимых значений к заполняет первую зону Бриллюэна кристалла и характеризует все неприводимые представления группы 3 . [c.49]

Характерной чертой калибровочных теорий является то, что в каждой точке р рассматриваемого пространственно-временного многообразия М нмеется пространство внутренних симметрий . Это либо группа Ли С (если мы имеем дело с самим калибровочным полем), либо векторное пространство, на котором действует груп та ( (если мы имеем дело с полями материи). Если взять eкoтopyю открытую окрестность 1] точки р М, то пространство В, в котором живут поля, имеет вид прямого произведения Это [c.193]

Рассмотрим еще произведение листа Мёбиуса на прямую, получаемое из пространства отождествлением точек t, х, г) и —г). Разбиение этого пространства на интегральные кривые уравнения j =0, г = 0 называется слоением Мёбиуса. Это слоение является линейным приближением при изучении предельного цикла с мультипликаторами - -1 и —1. При усреднении в этом слоении возникают 52-эквивариантные векторные поля на плоскости, деформации которых описаны в п. 4.4 главы 1. [c.57]

Для дальнейшего изложения представляют интерес плюкеровы координаты прямой. По методу Плюкера положение прямой в пространстве трех измерений определяется заданием скользящего вектора v (рис. 5) и вектора Й = г X v, представляющего векторное произведение вектора-радиуса г некоторой точки А, [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...