Весовые функции операторов

В соответствии с формулой (2.2.74), зная передаточную функцию W(р) оператора, можно найти выражение для весовой функции оператора. Оригинал функции (2.2.85) определим из таблицы преобразования Лапласа, он равен [c.74]

Весовая функция оператора (объекта) по определению является результатом действия оператора, задаваемого уравнением (3.1.11) с начальными условиями (3.1.2), на параметрическую систему б-функций, т. е. G 1,7) является решением уравнения [c.85]

Итак, весовые функции операторов Л], Л2 известны. Осталось установить правило, по которому из весовых функций сомножителей можно определить весовую функцию произведения операторов. [c.87]

При q t) = G t,x) выходная функция v t) будет весовой функцией оператора А, т. е. из (3.1.21) получим [c.88]

Используя соотношение (3.1.23), легко можно получить выражение для весовой функции G(t,r) оператора А, задаваемого уравнением (3.1.1). Подставляя в (3.1.23) выражение (3.1.20) для весовой функции оператора Ai и используя свойства б-функции и ее производных [см. (2.2.41) и (2.2.42)], получим г [c.88]

Формула (3.1.24) дает решение задачи о нахождении весовой функции оператора, задаваемого с помощью уравнения (3.1.1) с нулевыми начальными условиями. Проиллюстрируем изложенную схему определения весовой функции произведения операторов на простом примере. [c.88]

Применим общую формулу (3.1.24) для случая, когда действие оператора Л, задается с помощью формулы (3.1.26), а весовая функция оператора As определена в виде (3.1.28). Тогда для весовой функции оператора А получим [c.89]

Таким образом, параметрическая передаточная функция F(t,p) является решением уравнения (3.1.31). Это уравнение аналогично уравнению (3.1.15) для определения весовой функции оператора Ла, задаваемого с помощью уравнения (3.1.11). Уравнение для параметрической передаточной функции оператора получится из (3.1.31) подстановкой Ч ( , р) = 1. [c.90]

Таким образом, для определения правила действия оператора А на любую функцию (/) (т. е. для определения реакции объекта на любое входное возмущение) достаточно знать действие этого оператора на 8 t — т). Функция G t,x), характеризующая оператор Л (соответственно, и технологический объект, описываемый оператором Л), называется весовой, или импульсной переходной, функцией. Для любого линейного объекта выходная функция v t) определяется по входной функции u t) и весовой функции по формуле (2.2.43). Физический смысл весовой функции состоит в том, что G(t,x) определяет, какой вклад в значение выходной функции V в момент времени i дает значение входной [c.60]

С помощью весовой функции 0( ,т) линейный оператор А представлен в виде интегрального оператора. Соотношение (2.2.47) [или более общее соотношение (2.2.43)] можно рассматривать как доказательство утверждения о том, что любой линейный оператор представим в виде интегрального оператора общего вида. Это утверждение играет большую роль в теории линейных операторов оно позволяет свести исследование линейного оператора А к исследованию импульсной переходной функции G t,x). [c.61]

Таким образом, введены уже две разновидности общего интегрального представления (2.2.34) для правила действия оператора линейного объекта. Одно из них [(2.2.43) или (2.2.46)] основывается на представлении (2.2.42) входной функции с помощью параметрического семейства 6 t — т), а второе [(2.2.51) или (2.2.56)] —на представлении (2.2.49), (2.2.50) с помощью параметрического семейства экспонент (разложение в интеграл Фурье). Существенным отличием представления (2.2.51) от разложения с использованием весовой функции состоит в том, что для определения с помощью (2.2.51) результата действия оператора А на входную функцию u t) необходимо предварительно получить разложение u t) в интеграл Фурье. Поэтому представление оператора с помощью частотной характеристики удобно лишь в тех случаях, когда входная функция достаточно просто разлагается в интеграл Фурье. [c.64]

Получим соотношения связывающие между собой различные характеристики оператора — весовую и параметрическую передаточную функции. Чтобы выразить характеристику объекта F t,p) достаточно записать интегральное представление (2.2.43) с весовой функцией G(t,x) для входного показательного воздействия [c.64]

Интегральные представления (2.2.46), (2.2.56) и (2.2.67) для правила действия линейного оператора А являются частными случаями (2.2.34). В принципе можно построить множество других представлений, которые будут частными случаями (2.2.34) и получающихся при выборе более сложного вида параметрической системы функций Р(/, т) в (2.2.33). Однако все такие представления будут слишком сложны из-за трудности отыскания функции s(t), необходимой для построения исходного представления (2.2.33). Поэтому при исследовании динамики технологических процессов применяют только интегральные представления с использованием весовой функции G t, т), частотной характеристики F t, ш) [или параметрической передаточной функции F t,p)] и переходной функции Эти функции в дальнейшем будем называть ха- [c.67]

Чтобы закончить рассмотрение функций G t,r), F(t,p) и характеризующих линейный объект и его оператор, выведем соотношения, связывающие переходную функцию H t,%) с частотной характеристикой и весовой функцией. Сначала выразим весовую функцию G t, т) через переходную. Для этого представим b t — т) в виде предела последовательности функций бю, д]( — т) b t—т) == [c.67]

Пусть на вход стационарного линейного объекта подается в момент времени t = х входное воздействие в виде S-функции (единичный импульс) Ut( =S( — т) Выходная функция объекта Vx(i) определяется весовой функцией Vx(t) =Aur t) =G t,x). Поскольку оператор А является однородным, временной сдвиг — т не изменяет правила действия оператора. Согласно (2.2.25), должно быть G t,x) =Vx i) =v t — т), где v t) соответствует несмещенной входной функции u t) =8(t), т.е. v t) = [c.68]

A6(t). Это означает, что весовая функция однородного оператора зависит только от разности t — x, а не от каждой переменной t и т отдельно. В этом случае весовую функцию как функцию одной переменной t = t — т будем обозначать g(t ) [c.68]

Доказанное свойство передаточной функции очень часто используется при исследовании технологических объектов. Большинство таких объектов описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение этих систем уравнений невозможно. Однако можно упростить дифференциальные уравнения, если применить к ним преобразование Лапласа по времени. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения для функций й р) и v p), а уравнения в частных производных — в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные только по пространственной координате. Решая преобразованную систему уравнений можно получить выражение v p) через й р). Используя затем соотношение (2.2.77), найдем передаточную функцию W p), с помощью которой удобно описывать оператор объекта. После того как найдена функция W p), можно определить весовую функцию g t) и переходную функцию h(t). Для этого достаточно по таблицам преобразований Лапласа определить оригиналы функций [c.71]

Для операторов, задаваемых уравнением (3.1.1) при п>1, получить явные выражения для G t, т) и Н t, т), аналогичные формулам (3.1.7) и (3.1.8), уже не удается. Все, что можно сделать,— это получить линейное однородное уравнение для весовой функции G t,x). [c.84]

Для операторов, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, весовая и параметрическая передаточная функции являются равноценными характеристиками, причем способы их нахождения весьма похожи. Чтобы найти весовую или параметрическую передаточную функцию оператора, задаваемого общим уравнением (3.1.1), необходимо решать либо уравнение (3.1.15) с начальными условиями (3.1.16), либо уравнение (3.1.31). Эти уравнения имеют одинаковую структуру и в каждом конкретном случае можно определить, какую из функций G t, т) или F i, р) проще искать. Некоторое различие в процедурах нахождения характеристических функций появляется только для стационарных объектов. В этом случае для нахождения весовой функции по-прежнему необходимо решать дифференциальное уравнение (3.1.17), в то время как для отыскания передаточной функции используется тривиальное алгебраическое уравнение (3.1.34), решение которого (3.1.35) имеет очень простой вид. [c.97]

Для того чтобы отыскать весовую функцию стационарного объекта, необходимо, как и в нестационарном случае, решить краевую задачу для уравнений в частных производных, подобную задаче (3.2.5), (3.2.6), хотя и с постоянными во времени коэффициентами. Решить такую задачу, конечно, гораздо сложнее, чем обыкновенное дифференциальное уравнение (3.2.16) с граничным условием (3.2.17). Таким образом, при исследовании стационарных объектов, математическая модель которых включает дифференциальные уравнения в частных производных (объекты с распределенными параметрами), передаточная функция является наиболее простым и эффективным средством описания оператора. Ее отыскание — главная задача при исследовании динамики объекта. [c.101]

Без труда находим с помощью (5.4.27) выражения для весовой и переходной функции оператора А [c.250]

С помощью весовой функции g t) действие оператора А на произвольную входную функцию Свх( ) записывается в виде [c.251]

Если оператор линейного объекта задан в виде весовой функции g (t, т), т. е. уравнение объекта выражается формулой [c.348]

После разложения весовой функции А (т) в ряд вида (118), а f (v) в ряд (119), получается следующий параметрический оператор [c.370]

Последний вопрос связан с элементом объема интегрирования собственных функций оператора Гамильтона (7.26). Элемент объема, используемый при нормировке собственных функций Й (7.26), равен dq dq2... dqn (т. е. не имеет весового множителя). Однако если мы хотим получить собственные функции, нормированные с элементом объема dx = dXi dYi dZ. ....то мы должны [c.137]

В Р-представлении стационарные операторы плотности соответ ствуют функциям Р (а), которые зависят только от а . Это еле дует из выражения (7.2), которое показывает, что такие функции Р (а) приводят к функциям Я (Р, у), не изменяющимся при изменении общей фазы Р и у- Это также хорошо видно и из соотношения (7.12), которое показывает, что п т) приводится к диагональному виду, когда весовая функция не зависит от фазы. [c.91]

Для полей, представляемых оператором плотности (9.12), все средние от нормально упорядоченных произведений операторов можно вычислять по формулам, которые, как и в случае одной моды, очень похожи на формулы классической теории. Так, в этих вычислениях параметры а играют почти такую же роль, как случайные фурье-амплитуды поля в известной классической теории СВЧ шумов [17]. Весовая функция Р ( а ) играет при этом роль, аналогичную распределению вероятности для фурье-ампли-туд. Хотя это сходство оказывается весьма полезным при вычислениях, а также помогает разобраться в применении принципа соответствия, не следует забывать о том, что в общем случае функция Р ( оа ) является квантовомеханической величиной. Она может принимать отрицательные значения и точно не интерпретируется как распределение вероятности, за исключением классического предельного случая сильно возбужденных или низкочастотных полей. [c.103]

Отсюда можно видеть, что оператор плотности для поля, излучаемого хаотическим током, который не испытывает обратной реакции излучения, всегда имеет вид Р-представления (9.12). В этом случае весовую функцию действительно можно интерпретировать как распределение вероятности она имеет классическую структуру, непосредственно связанную со свойствами излучающего тока, а не с данными (неортогональными) состояниями поля. Допущение, которое мы ввели при определении данной модели (нет обратной реакции поля излучения), является весьма сильным, но оно довольно хорошо выполняется для излучающих систем радиодиапазона и СВЧ. Поля, создаваемые такими системами, должны точно описываться оператором плотности (9.24). [c.105]

Получение энергетического спектра из корреляционной функции для полей, представляемых стационарными операторами плотности, еще проще. Для таких полей весовая функция Р ( а ) зависит только от абсолютных значений а, так что [c.109]

Таким образом, выяснено, как определяется весовая функция оператора, задаваемого уравнением (3.1.11). Рассмотрим теперь процедуру, с помощью которой можно найти весовую функцию для оператора А, задаваемого с помощью общего уравнения (3.1.1). Оператор А можно представить как произведение двух операторов А =AiA2 (см. раздел 2.1). Оператор Ai действует на входную функцию u[t) по правилу [c.87]

Весовая функция оператора A=AiAs по определению есть выходная функция этого оператора, которая получается при действии А на входную функцию u t)=8(t — х). Входная функция оператора А является одновременно входной для оператора Ау. Поэтому при u t)=6 t — т) выходной функцией оператора Ai будет весовая функция этого оператора, т. е. q t) = Gi(t,x). Выходная функция q t) оператора Л] является входной для второго оператора Л2. Для определения выходной функции оператора Л осталось определить, как действует оператор Лз на функцию q t) = G2 t,x). Результат действия оператора на произвольную [c.87]

В последнее время для расчета КИН часто применяется метод весовых функций, т. е. функций Грина. В широком смысле функции Грина — это оператор, который по решению задачи, соответствующему одним граничным условиям, позволяет строить решение при других граничных условиях. В узком Смысле в качестве функций Грина часто используются функции точечного источника. Основные направления метода весовых функций намечены в работах X. Ф. Бюкнера [290] и Дж. Райса [398]. Указанный метод позволяет рассчитать КИН в двумерных и трехмерных телах со сквозными, эллиптическими и полу-эллиптическими трещинами [17—19, 210, 411], но его применение затруднено в случае криволинейных трещин, а также при нагружении элемента конструкции, отвечающем смешанным — кинематическим и силовым — граничным условиям. [c.196]

Безразмерная весовая функция ф(т) оператора А г)вх(т) 11оых(т), которая для закрытых аппаратов имеет смысл плотности распределения безразмерного времени пребывания частиц в аппарате, связана с размерной весовой функцией /(/) того же оператора соотношением [c.286]

Оценивание параметров моделей Гаммерштейна с весовыми функциями. Связь между входным д (/) и выходным у (/) сигналами описывается интегральным оператором [c.366]

Теперь мы вычислим среднее значение оператора электрического поля 8 в когерентном состоянии, предполагая, что ( -функция может быть использована как классическая функция распределения в фазовом пространстве. Тогда Q-функция выступает в качестве весовой функции njpn интегрировании классического представления (а,а ) оператора 8 а,а ) по переменным а и а. [c.373]

Пример весовой функцйи Р (а), которая принимает отрицательные значения, но приводит к положительно-определенному оператору плотности, дается выражением Р (а) — (1 Ч- А-) (пп) (X) для п > О и О < А, < Видно, что матричное представление соответствующего оператора плотности, определяемое выражением (7.12), диагонально и имеет только положительные собственные значения. [c.90]

Оператор плотности для полей, у которых максимальное число фотонов в моде ограничено числом N. представляется функциями R (Р, ), которые являются полиномами УУ-й степени по Р и у- Из поведения таких полиномов при больших I р I и I у I следует, что любая весовая функция Р (а), которая на основании (7.2) соответствует (Р, ). должна обладать сингулярностями более сильными, чем сингулярность б-функции. Такие поля, вероятно, наиболее удобно описывать с помощью -фyнкций. [c.91]

Использование Р-представления оператора плотности для описания полей приводит многие результаты квантовой электродинамики к виду, аналогичному результатам классической теории. Хотя в этих аналогиях особенно наглядно проявляется принцип соответствия, однако на этом основании нельзя считать, что классическая теория является сколько-нибудь адекватной заменой квантовой теории. Весовые функции Р (а), использующиеся в теории, нельзя строго интерпретировать как распределения вероятности. Они также не выводятся, как правило, из классического описания источников излучения. С помощью классического или полукласси-ческого анализа вообще нельзя понять их зависимость от постоянной Планка. [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...