Оригинал по Лапласу

При построении преобразования Лапласа и его обращении на оригинал у (t) были наложены ограничения (6.16), (6.27). Если к этим ограничениям добавить упоминавшиеся ранее замечания о степени гладкости функций г/ (О, ф (0. окончательно определение оригинала будет выглядеть следующим образом (применительно к любой функции у (t), не обязательно являющейся решением уравнения (6.1)). Функцию у (t) назовем оригиналом (по Лапласу), если [c.199]

Функцию Y (р), определяемую равенством (6.28), называют изображением (по Лапласу) оригинала у (t). В дальнейшем будем обозначать оригиналы строчными буквами у (t), / (t) и т. д., а соответствующие им изображения теми же, но прописными буквами [c.199]

Таким образом, установлены следующие фундаментальные особенности интеграла Лапласа (изображения по Лапласу). Интеграл сходится в полуплоскости Re /7 > Sq, где Sq — показатель роста оригинала, и равномерно сходится в полуплоскости s Si > > So, где Sj — произвольное сколь угодно близкое к о число (но не равное ему). Равномерная сходимость интеграла Лапласа и непрерывность по параметру р подынтегрального выражения / (/) обеспечивают непрерывность интеграла (изображения) в полуплоскости Re /7 > о и делают возможным при интегрировании изображения F (р) изменять порядок интегрирования в получаемом двукратном интеграле. Наконец, интеграл Лапласа (изображение F (р)) есть функция аналитическая при Re р > Sq, допустимо дифференцирование под знаком интеграла при Re р > о и при Re /7 -> + оо интеграл Лапласа исчезает (см. (6.37) ). [c.202]

Преобразованием Лапласа (изображением по Лапласу) некоторой функции (оригинала) /(/) называется функция f(p), зависящая от комплексной переменной р, определяемая с помощью равенства [c.292]

Формулой обращения преобразования Лапласа называется следующее соотношение, позволяющее найти функцию-оригинал /(/) по известному изображению f(p) [c.292]

Функция / (t) действительного переменного называется оригиналом, а функция F (р) согласно (6.58) — односторонним изображением по Лапласу оригинала / t) или просто изображением. [c.179]

С представлением об отображении связано изображение F s) для оригинала /(т). Будем в дальнейшем называть формулу (3-18) преобразованием Лапласа и обозначать L f r) , а обратным преобразовании Лапласа назовем операцию получения оригинала по изображению, что запишем в виде L- F(.s) . Следовательно, получаем [c.86]

ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИИ ИЗОБРАЖЕНИЕ ПО ЛАПЛАСУ—ОРИГИНАЛ (НА ОСНОВЕ ФУНКЦИЙ Vi И фО [c.383]

Для облегчения перехода от оригинала функции к её изображению и обратно существуют таблицы преобразований по Лапласу для часто встречающихся функций [73]. Во многих случаях переход к изображениям упрощает вид функции. Если записать уравнение для системы управления, представленной на рис. 4.2, в виде [c.214]

Оно выражает обратное преобразование Фурье (нахождение оригинала по изображению). При решении линейных дифференциальных уравнений изображение неизвестной функции находится чрезвычайно просто и задача сводится к отысканию оригинала по изображению. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа играют большую роль в современных математических методах. Перейдем теперь к представлению стационарных случайных функций с помощью рядов Фурье. [c.175]

Оригинал X (t) связан с изображением по Лапласу X (р) обратным преобразованием Лапласа [c.24]

В настоящее время разработано несколько практических способов численного обращения преобразования Лапласа, которые основываются на определении численных значений оригинала по соответствующим значениям изображений в равноотстоящих точках на действительной оси [73]. Для решения рассматриваемой задачи используется метод численного обращения преобразования Лапласа с помощью ряда Фурье [125]. Сущность его состоит в том, что известный интеграл Лапласа [c.290]

Таким образом, при применении метода преобразования Лапласа основная трудность решения той или иной задачи переносится на определение оригинала по найденному изображению. Но благодаря наличию достаточно подробных таблиц для определения оригинала по изображению метод преобразования Лапласа находит всё большее и большее применение при решениях задач механики и физики. [c.308]

Таким образом, если не пользоваться готовыми таблицами, то для определения оригинала по изображению необходимо выполнить квадратуру по комплексному переменному р вдоль бесконечной прямой, параллельной мнимой оси и отстоящей от неё на расстоянии с. Прямая Ке (р) — а называется осью сходимости интеграла Лапласа [c.309]

В уравнении (4-4) переменная 0 записана в преобразованном по Лапласу виде, а в уравнении (4-5) она обозначает оригинал. Пользуясь таблицей преобразований, запишем решение уравнения (4-5) в виде [c.89]

Так как аналитическая функция по существу полностью определяется характером и распределением ее особых точек, то можно высказать суждения о поведении различных функций, имеющих сложные интегральные представления например, по особым точкам изображения по Лапласу можно судить об асимптотическом поведении оригинала, не прибегая к вычислению соответствующего контурного интеграла. [c.523]

Х(р) —функция комплексного переменного р, называемая изображением по Лапласу оригинала ж( ), в дальнейшем она называется просто изображением х (г) р=а + г ft)—комплексное переменное [c.535]

Для осуществления одностороннего преобразования по Лапласу функция-оригинал / t) должна удовлетворять следующим условиям [c.35]

Дл5 решения линеаризованных уравнений нестационарной фильтрации при сложных граничных условиях эффективно использование интегрального преобразования исходной функции (напора или его изменения) по Лапласу—Карсону, когда в качестве операторного изображения оригинала, описываемого функцией f t), вводится функция [c.349]

При численных решениях необходимо осуществлять переход от функции оригинала f t) к изображениям F(р) и обратно. Для неразрывных функций, описываемых кривыми сравнительно простой формы (особенно монотонно меняющихся), вычисление изображения по Лапласу—Карсону может быть найдено с помощью механической квадратуры по формуле [1] [c.349]

Отыскание функций оригинала /( ) на основании численных значений ее операторных изображений F(p) по Лапласу—Карсону, заданных при нескольких значениях р, можно произвести на основе численных методов обращения интегральных преобразований. [c.350]

Такой вид наиболее удобен при теоретическом исследовании. Функция g i) является ядром интегрального оператора. Однако для определения результата действия оператора А на произвольную входную функцию u t) соотношение (2.2.77а) мало пригодно поскольку интеграл в правой части при сложном виде (0 и u t) вычислить не удается. Чаще всего для определения выходной функции v t) используется передаточная функция W p). Метод определения у (О состоит в следующем. По таблицам преобразований Лапласа ищется изображение й(р), затем строится функция u. p)W(p) и по тем же таблицам находится оригинал этой функции, который и дает выходную функцию v t). Хотя часто отыскание прямого и обратного преобразования Лапласа представляет собой трудную задачу, указанный метод наиболее эффективен для определения выходной функции объектов по известной входной функции. [c.72]

Оригинал каждого из слагаемых в этом выражении легко находится по таблицам преобразований Лапласа. В результате получим выражение для выходной функции [c.92]

Применим к (4.1.9) обратное преобразование Лапласа по пространственной координате (т. е. по переменной s). Из таблиц преобразований Лапласа находим, что оригинал функции - + ] [c.117]

Используя связь между изображением и оригиналом функции, применяя обратное преобразование Лапласа, по изображению находят решение для оригинала функции. [c.113]

При переходе от уравнения в частных производных (3-17) для оригинала W r, х) к уравнению (3-26) для изображения w r, s) использовано начальное условие W r, 0)=0. Иными словами, при применении преобразования Лапласа к производной функции И7(г, т) по времени мы удовлетворили начальному условию (3-27). [c.117]

Задачу обращения преобразования Лапласа для соотношения (V.50) можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям Лежандра. Таким образом, задача сводится к проблеме моментов на конечном промежутке [221]. [c.121]

Для нахождения оригинала функции по ее изображению были использованы известные соотношения между оригиналом функции и ее изображением, получаемым прямым преобразованием Лапласа, или специально выведенными теоремами разложения, когда Р (з) представляет собой отношение двух сходящихся степенных рядов относительно 5, показатели степени которых суть натуральные числа. [c.503]

Для нахождения по изображению (10.114) оригинала воспользуемся указанным в таблицах преобразования Лапласа следующим соответствием [18 [c.240]

Таким образом, дифференцирование оригинала по времени приводит к умножению изображения по Лапласу на параметр преобразования и вычитанию значения дифференцируемой функции для начального момента времени. В рассматриваемом нами случае начальное значение искомой скорости и равно нулкг, т. е. [c.308]

Преобразование Лапласа представляет собой математический метод, позволяющий относительно просто решать линейные дифференциальные уравнения. В результате преобразования дифференциальное уравнение (оригинал) приобретает форму алгебраического уравнения (изображение), в котором в качестве независимого переменного вместо времени используется комплексное переменное s. Решение исходного дифференциального уравнения отыскивается посредством применения к решению указанного алгебраического уравнения обратного преобразования Лапласа. Уравнения переходного процесса в системе автоматического регулирования, как правило, решаются этим методом, чему в большой мере способствует наличие достаточно полных таблиц преобразований Лапласа. Другая причина широкого распространения метода преобразования Лапласа состоит в том, что по выражению для передаточной функции системы, которая определяется как отнонтение преобразованного по Лапласу выходного сигнала к входному, также преобразованному по Лапласу, можно непосредственно получить частотные характеристики системы. Любое количественное исследование систе.мы автоматического регулирования начинается с определения передаточных функций каждого элемента структурной схемы системы. [c.29]

Интегральное соотношение (17) называется формулой Бромвича оно применяется для нахождения оригинала функции по ее изображению, если преобразование функции производится по Лапласу — Карсону. [c.501]

Согласно правилам преобразований по Лапласу—Карсону в дифференциальных уравнениях пространственные производные для такого изображения сохраняют то же выражение, как и для оригинала, а временная производная dfjdt заменяется на величину p(F—fo), где fo==f(0) — начальное значение оригинала. Аналогичным образом должны преобразовываться и граничные условия. [c.349]

Сумма членов с (л = 0, 1,2,. ..), входящая в выражение для Ф из (7.19), является изображением но Лапласу (по т и а) возмущенного решения Ф соответствующей акустической задачи (р = 0). Это проще всего доказать, если заметить-, что, во-первых, оригинал этой суммы удовлетворяет системе (7.7) и, во-вторых, можно показать, что этот оригинал (для достаточно гладких /(т)) удовлетворяет условию, обеспечивающему единственность решения акустической задачи [213], [c.508]

Умножить дифференциальные уравнения и граничные условия на выбранное ядро 1преобразова1Ния и проинтегрировать полученные выражения в соответствующих пределах по неременной, (подлежащей исключению в результате вместо системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно оригинала функций (мы получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для изображения функций, которые учитывают начальные (при иапользовании преобразования Лапласа) или граничные (при нспользовапии преобразО Ваний Фурье) условия. [c.84]

Обратное преобразование Лапласа. Процедура нахождения функции-оригинала /(t) по заданному ее изображению / (р) назьгоается обратным преобразованием Лапласа [c.346]

Начальное условие Т(х,0) = То = onst нами использовано при переходе от уравнения в частных производных для оригинала T x,z) к уравнению (17) для изображения TJ x,s), а именно при применении преобразования Лапласа к производной температуры по времени. [c.87]

По отношению к решетчатым функциям имеет то же значение, что и обычное од-востороннее прямое преобразование Лапласа по отношению к непрерывнын функциям. Здесь / [ге] — оригинал F q) — изображение решетчатой функции д = о -]- / ш — комплексное переменное, называемое параметром преобраво-вавия. [c.545]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...