Преобразование билинейное

Канонические преобразования. Билинейный инвариант. При произвольном преобразовании (х, у)— у ) канонические уравнения (86.6) примут вид [c.289]

Рассмотрим билинейную форму относительно векторов х и у, значение которой инвариантно при преобразованиях координат [c.57]

В консервативной системе с одной степенью свободы билинейная форма может быть понимаема как инвариант Пуанкаре, спинор — как некоторое частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре для некоторого возмущенного движения. Группа преобразований движения, как это хорошо известно, будет бинарной группой. [c.358]

Найдем закон преобразования коэффициентов инвариантной билинейной формы [c.392]

Подставив в равенство (1 .15) значения компонент Xi и У по формуле (1 .12), получим закон преобразования коэффициентов инвариантной билинейной формы [c.392]

Подстановка в (1. 15) значений компонент x k и yi согласно (1 .П) приводит к закону обратного преобразования коэффициентов инвариантной билинейной формы [c.392]

При условии, что система не находится во внешнем магнитном поле и не вращается как целое. В этом случае гамильтониан системы Я является билинейной функцией импульсов частиц и, следовательно, инвариантен по отношению к преобразованиям (7.160). [c.183]

Можно ли ввести что-нибудь подобное в гамильтоновом фазовом пространстве Имеются ли какие-либо инвариантные дифференциальные формы, которые могли бы в нем играть роль формы ds , как в лагранжевом пространстве конфигураций Такая дифференциальная форма, связанная с каноническими преобразованиями и инвариантная при этих преобразованиях, действительно существует, хотя она и отличается принципиально от римановой формы ds . Она также квадратична относительно дифференциалов, но связана при этом с двумя перемещениями и не имеет ничего общего с расстоянием. Геометрия фазового пространства имеет, таким образом, необычную метрику. Она похожа скорее на некую геометрию, в которой могут измеряться не расстояния, а площади. Поскольку основной дифференциальный инвариант канонических преобразований линеен по каждому из двух бесконечно малых перемещений, мы будем называть его билинейной дифференциальной формой . На основе этой инвариантной дифференциальной формы может быть построена полная теория канонических преобразований. [c.241]

Поскольку каждый из операторов флуктуаций плотности электронов является билинейной формой от фермиевских операторов, в фурье-преобразовании [c.28]

Оператор Q действует на скоростные аргументы функции /. Он описывает эффекты взаимодействий и в связи с этим называется оператором столкновений. Величина Q , /), т. е. интеграл (6.1), называется интегралом столкновений или просто столкновительным членом. В этом разделе мы изучим некоторые свойства интеграла Q, которые, несмотря на его сложную форму, позволяют выполнять различные преобразования во многих принципиально важных задачах. Фактически мы исследуем здесь несколько более общее выражение, а именно билинейное выражение [c.86]

Билинейное преобразование и критерии устойчивости [c.45]

Собственно справедливость формулы (20) при любых ортогональных преобразованиях репера, определяемого матрицей А, и оправдывает название матрицы У тензором. В частности, из формулы (20) следует, что для любых векторов х, у е скалярная функция - билинейная форма [c.176]

Определения функции Вигнера (3.1) и (3.2) сформулированы в терминах матрицы плотности или билинейной формы от волновой функции. Поэтому общая стратегия нахождения функции Вигнера заключается в том, чтобы начать с квантового состояния, заданного с помощью р или ф), вычислить эти величины в сдвинутых точках х /2 и осуществить фурье-преобразование по отклонению Такая процедура предполагает, что путь к функции Вигнера всегда лежит через [c.99]

Соотношение (15.32) показывает, что билинейное выражение из компонент а и Ь после преобразования переходит в билинейное выражение из компонент а и Ь с теми же коэффициентами, а [c.172]

Важным свойством преобразований из группы Вейля является инвариантность относительно них корневой системы / алгебры к) и билинейной симметричной формы на [c.28]

Как преобразуется соотношение (14), если сделать с уравнениями преобразования 342 Ясно, что мы должны иметь одно-билинейное соотношение между двумя определенными решениями преобразованных уравнений [c.514]

Так как матрица двойной билинейной формы, стоящей в фигурных скобках, будет ортогональной, то для определителя шестого порядка шд,у, получается значение / 0. В соответствии с уравнениями (3 4) каноническое преобразование будет иметь следующий вид [c.128]

В результате преобразования оба оператора (5.112) становятся билинейными [c.208]

Если билинейные полиномы, использованные в преобра зовании (4.25), заменить на полиномы более высокой степени, можно ввести дополнительные точки, определяющие преобразование, и одновременно распространить изопараметрические аппроксимации на криволинейные четырехугольники. [c.94]

Основной изопараметрический пример состоит в билинейном преобразовании квадрата в четырехугольник (рис. 3.6). Преобразование координат из 5 в (Э осуществляется по формулам [c.186]

Якобиан этого преобразования постоянен, так что этот шаг предпринимается для удобства. А вот следующий шаг важен надо связать координаты х, у с , т) так, чтобы заданная граничная точка X, У ) переходила в среднюю точку ( /г, 7г). На практике (X, К) и, следовательно, X, У ) часто выбираются на середине дуги, но это необязательно. Отображение билинейно [c.188]

Линейная форма (7.23) канонического преобразования неременпых q р, и Q , Р, имеет билинейный ковариант [c.232]

Билинейная дифференциальная форма. В любой теории преобразований имеются основные величины, которые при преобразовании не меняются. Они являются основными инвариантами, которые определяют собой природу преобразования. Начав изучать канонические преобразования, мы установили инвариантность дифференциальной формы 2 pibqi, откуда следовала инвариантность канонических уравнений. Однако затем выяснилось, что канонические уравнения остаются инвариантными и при более общих условиях. Необходимое и достаточное условие каноничности [c.240]

Резюме. Условие того, что преобразование является каноническим, может быть сфомулировано без помощи производящей функции S. Характерным свойством канонических преобразований является инвариантность циркуляции вдоль любой замкнутой кривой в фазовом пространстве. Это же самое свойство может быть представлено в дифференциальной форме. Мы получаем определенное дифференциальное выражение, билинейную дифференциальную форму , инвариантную относительно канонических преобразований. Эта билинейная дифференциальная форма аналогична величине ds в метрической геометрии. Однако в то время, как линейный элемент соответствует одному бесконечно малому перемещению, билинейный дифференциал соответствует двум бесконечно малым перемещениям. Поэтому он скорее подобен элементу площади, а не элементу расстояния. [c.245]

Эта система я уравнений Пфаффа называется союзной с данным пфаффианом < j легко видеть, что, как и билинейный ковариант, она инвариантна по отношению к преобразованию переменных. [c.253]

Формулы (24.8.1), (24.8.2) можно вывести простым и изящным образом, рассматривая так называемый билинейный ковариаит. Рассмотрим две произвольные вариации dx и б.х точки а5о = ( 1о, Япо, Pia< Pio, > Pno) фазового пространства. Обозначим через dX и б.Х соответствующие вариации преобразованной точки Хо = (( io, ( 2о> . . ., Qno, Pio, Рга, , Рпо)- Тогда справедливо равенство [c.496]

С помощью билинейного коварианта можно получить также условия контактности преобразования, выраженные нами ранее через скобки Лагранжа ( 24.7). Если правую часть равенства (24.8.5) выразить черёз dQ и dP, а также 6Q и 6Р, то получим [c.497]

Легко видеть, что (87.19) есть достаточное условие для каноничности преобразования. Эта инвариантная билинейная форма может рассматриваться как основа теории КП, так же как известные инвариантные квадратичные формы dx -Ь dy -f dz ) и (dx -f dy + dz — dt ) могут считаться соответственно основами преобразования твердого тела в пространстве и лоренц-преобразовапий в пространстве времени. Так же как эти квадратичные формы определяют квадраты инвариантных элементов длины, так билинейная форма определяет инвариантный элемент площади [c.292]

Преобразование (1) сохраняет билинейную форму ( . Ч) = 5 11 — 1 11. определённую на двумерных векторах (контравариавтвых) и Т). Это позволяет ввести в линейном пространстве таких векторов кососиммет рическую метрику [c.644]

Рассмотрим пространство бинарных форм (однородных многочленов от двух переменных) нечетной степени. На этом четномерном линейном пространстве действует группа линейных преобразований плоскости. С точностью до множителя существует ровно одна невырожденная кососимметрическая билинейная форма на этом пространстве, инвариантная относительно действия группы 8Ь(2) линейных преобразований с определителем единица. Эта форма задает на многообразии бинарных форм нечетной степени естественную симплектическую структуру. [c.447]

Упражнение 17. Покажите, что биквадратичная и бикубическая субпараметрические аппроксимации (разд. 4.3), использующие билинейное преобразование для перевода произвольного четырехугольника в единичный квадрат, могут интерполировать точно полиномы второй и третьей степени соответственно по а и Покажите, что если / является многоугольником, граничные условия точно согласованы и интегралы вычисляются аналитически, то оценка (5.18) справедлива при к = 2 и 3 соответственно. [c.131]

Треугольники Куранта приводят к очень интересной матрице жесткости К. Для уравнения Лапласа получается стандартная пятиточечная разностная схема, если треугольники строятся регулярным образом, т. е. разбиением квадратной сетки диагоналями в северо-восточном направлении. (Более точную девятиточечную схему можно аналогично получить с помощью билинейных элементов [Ф9], но это редко . . лают.) Такая простая и систематическая структура матриц зг есткости позволяет использовать для решения уравнения KQ = р быстрое преобразование Фурье. Оно дает отличный результат на прямоугольнике его применение на непрямоугольных областях успешно развивается в работах Дорра, Голуба и др. С математической [c.96]

Заметим, что, хотя полиномы от л и не переходят, вообще говоря, в полиномы от I и т), линейные полиномы х, у представляют исключение. Само преобразование координат выражает X и у как билинейные функции от и т), и, конечно, постоянная функция остается постоянной. Если эти три полинома принадлежат пробному пространству, то выполнение условия сходимости гарантировано, т. е. все решения и = а х уу с постоянной деформацией точно воспроизводятся в S . Это всегда верно для изопараметрических преобразований и сходимость обеспечена. Субпараметрический случай еще лучше если пробное пространство содержит все биквадратичные или бикубические функции от I и т), то оно содержит и все биквадратичные или бикубические функции от х и а S имеет степень 2 или 3 соответственно. Поэтому в предположении, что углы четырехугольника Q заключены строго между О и я, аппроксимация в полной мере возможна, а ошибка в деформациях равна 0 Ф ), как и должно быть. [c.187]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...