Билинейность

Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве билинейную кососимметричную операцию, ставящую в соответствие паре векторов х,у третий вектор ъ —ху.у Е и обладающую свойствами [c.22]

В предшествующем параграфе было изучено понятие центра масс, дающее представление в целом о заданном множестве точечных масс. Здесь рассмотрим другие подобные характеристики. Пусть точки, принадлежащие некоторому множеству Q С Е , заданы радиусами-векторами г,, г = 1,...,п, с началом в полюсе О. Каждой точке припишем массу т,- > 0. В пространстве соответствующем полюсу О, образуем положительно определенную билинейную симметрическую форму, которая любой паре векторов х, у 6 ставит в соответствие скаляр [c.45]

Пусть в задано множество точечных масс Q. Значение введенной в 1.8 билинейной формы Т(х,у), взятое для одной и той же пары векторов х, у, зависит от того, какая точка пространства принята за начало векторов г,-. Выясним эту зависимость. Центр масс множества Q обозначим С. Радиусы-векторы точек из Q, имеющие начало в С, обозначим г(-, — 1,..., п, так что [c.50]

Для точки С значение билинейной формы дается выражением [c.51]

Рассмотрим билинейную форму относительно векторов х и у, значение которой инвариантно при преобразованиях координат [c.57]

Эта операция билинейна, коммутативна, дистрибутивна и ассоциативна. В результате ее применения каждой паре векторов ставится в соответствие тензор 8. Перечисленные свойства операции непосредственно следуют из вида коэффициентов Зрд. [c.57]

Доказательство. Необходимость. Пусть задано некоторое множество точечных масс. Соответствующую ему билинейную форму Т(х,у) преобразуем с использованием свойств векторного умножения [c.60]

Она есть билинейная кососимметричная операция [c.637]

Хотя система записи в виде комплексных величин очень удобна при решении линейных дифференциальных уравнений и при анализе процессов в линейных цепях, применяя ее, следует соблюдать осторожность, если рассчитываются билинейные количества, как, например, поглощение энергии и поток энергии. По указанной причине в руководстве по лабораторным работам к этому курсу относительно редко употребляются комплексные числа. Однако без комплексных величин квантовая физика выглядела бы довольно громоздко. [c.143]

Форма а и, V), задаваемая по формуле (2.408), — билинейная, симметричная и непрерывная на V, если только функция S (х) — достаточно гладкая [например, 5(x)eL (0, /)] кроме того, эта форма положительно определена. В самом деле, из физических соображений вытекает, что [c.110]

Предположим сначала, что все 8 фф, тогда из неравенства Корна для каждой из форм а (и , о ) следует положительная определенность билинейной формы а и, v) на V [c.294]

Линейное пространство со скалярным произведением, определяемым билинейной симметричной положительно определенной формой, называется евклидовым-, для обозначения п-мерного евклидова пространства будем использовать символ R". [c.309]

Пусть У 1/ —прямое произведение гильбертова пространства самого на себя функционал а (и, v), заданный на 1/ К, называется билинейным (билинейная форма), если он является линейным функционалом по каждому аргументу в отдельности. Если в определении билинейной формы положить u=v, то функционал а и, и) можно считать заданным на V в этом случае а и. и) называют квадратичным функционалом на V. [c.326]

Пусть а(и, ti) —билинейная непрерывная форма на V 0V этой форме можно поставить в соответствие некоторый линейный оператор из L V V") в самом деле, отображение [c.327]

Билинейная форма называется 1/-эллиптической (коэрцитивной или положительно определенной па V), если [c.327]

Теорема 11.1 (Лакса — Мильграма). Если а ( , и)—билинейная, непрерывная и 1/—эллиптическая форма, то эта форма определяет оператор Л е L (К V), имеющий обратный оператор A e.L( /-, 1/), причем [c.327]

Введем пространство V, двойственное к V относительно билинейной формы (, )у и пару пространств Y и Y, приведенных в двойственность посредством билинейной формы (, )у-, элементы пространств Y и Y будем обозна чать р и р. Построим функционал Ф (и, p) V Y->R, предполагаемый выпуклым по паре аргументов (и, р), причем [c.338]

Билинейным ковариантом линейной формы [c.232]

Билинейный ковариант полного дифференциала есть нуль. Билинейный ковариант суммы линейных форм есть сумма билинейных ковариантов линейных форм. [c.232]

Связь инварианта (16) с оптико-механической аналогией обнаруживается, если заметить, что левая часть (16) есть иное выражение билинейного коварианта принципа аналогии Гамильтона [c.283]

Правая часть предыдущей формулы называется билинейным ко-вариантом формы (oij, или внешней производной соа [c.290]

Рассмотрим комплексное векторное пространство. Метрика задана билинейной формой [c.357]

Отсюда билинейная фундаментальная форма пространства запишется так [c.357]

В консервативной системе с одной степенью свободы билинейная форма может быть понимаема как инвариант Пуанкаре, спинор — как некоторое частное решение уравнений в вариациях Пуанкаре для некоторого возмущенного движения. Группа преобразований движения, как это хорошо известно, будет бинарной группой. [c.358]

Ковариант билинейный 232, 290 Количество движения 94 Коммутатор 293 Конец вектора 9 [c.364]

Поэтому с учетом того, что спектральная интенсивность и функции Грина являются билинейными функциями операторов А и В, находим [c.178]

Заметим, что оператор плотности является, подобно классической фазовой плотности, симметричным относительно перестановок частиц. Действительно, в квантовой механике не все собственные функции гамильтониана являются допустимыми волновыми функциями системы, а лишь те из них, которые удовлетворяют определенным свойствам симметрии. Для систем частиц с нулевым или целым (кратным К) спином (бозе-частицы) допустимы лишь волновые функции, симметричные относительно одновременной перестановки координат и спинов частиц, а для систем частиц с полуцелым (в единицах К) спином (ферми-частицы) допустимы лишь антисимметричные относительно перестановки координат и спинов волновые функции. В выражение (11.30) для оператора плотности входят не все, а лишь допустимые волновые функции и из этого билинейного выражения видно, что независимо от сорта частиц оператор плотности не меняется при перестановке частиц. [c.194]

Найдем закон преобразования коэффициентов инвариантной билинейной формы [c.392]

Подставив в равенство (1 .15) значения компонент Xi и У по формуле (1 .12), получим закон преобразования коэффициентов инвариантной билинейной формы [c.392]

Подстановка в (1. 15) значений компонент x k и yi согласно (1 .П) приводит к закону обратного преобразования коэффициентов инвариантной билинейной формы [c.392]

При условии, что система не находится во внешнем магнитном поле и не вращается как целое. В этом случае гамильтониан системы Я является билинейной функцией импульсов частиц и, следовательно, инвариантен по отношению к преобразованиям (7.160). [c.183]

Подставим в неравенство (8.19), выражающее диссипацию энергии как билинейную функцию потоков и обобщенных термодинамических сил, линейные соотношения (8.22). В результате имеем [c.202]

Евклидова структура в линейном пространстве Я" задается скалярным произведением двух векторов. Конкретно скалярное произведение можно задать с помощью какой-нибудь положительно определенной билинейной симметрической формы, устанавливающей соответствие между парой векторов и некоторым числом. Другими словами, скалярное произведение Г1 гз гьГ2 Я" — это операция, имеющая свойства [c.15]

Вводя билинейную форму (2.459), можем считать ее заданной на всем npo TpaH tBe тем самым производится нужное [c.118]

Повторяя рассуждения, приведенные в предыдущей задаче, убеждаемся в том, что билинейная форма а(и, v) является положительно определенной на V, непрерывность ее очевидна. Следовательно, по теореме Лакса — Мильграма задача (2.495), (2.515) [в (2.495), (2.515) и необходимо заменить на и имеет в V решение и прито.м единственное. По теореме 1.2 эта ироблема эквивалентна задаче минимизации функционала [c.125]

Доказательство равенства (4.47) осуществляется непосредственной проверкой с использованием билинейности двойной свертки [c.166]

Говорят, что в линейном пространстве L задана скалярная функция ф = ф(и) векторного аргумента и, если каждому вектору и s L поставлено в соответствие число ф. Функция ф (м) называется линейной с1юрмой, если ф(Х + [хг ) = >1ф (г ) + [Яф(гр). Скалярная функция ф = ф(и ,. .., и ) р векторных аргументов называется р-линейной формой, если она линейна по каждому из своих аргументов. В частности, при р = 2 соответствующая форма называется билинейной. Билинейная форма ф (и, ) называется [c.308]

В пространстве L задано скалярное произведение (умноо/сение), если а L задана билинейная симметричная нерырожденная форма для скалярного произведения векторов д и у будем использовать обозначения (х, у) или х у. Невырожденность скалярного произведения означает, что из (j , J ) = 0 следует j = 0. [c.308]

Линейная форма (7.23) канонического преобразования неременпых q р, и Q , Р, имеет билинейный ковариант [c.232]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...