Треугольник Куранта

На рис. 2.2.1 записаны основные характеристики этого конечного элемента для произвольного п и приведены графики для специальных случаев п=2 и п З. В случае = 2 этот элемент известен также как треугольник Куранта (см. разд. Библиография и комментарии ). [c.56]

Первый из злементов, обычно называемый треугольником Куранта [c.51]

Нетрудно заметить, что при решении уравнений гиперболического типа методом сеток основное значение приобретает параметр а. Действительно, зная решение в узлах двух рядов на участке ограниченной протяженности, можно определить решение в третьем ряде в меньшем (на единицу с каждой стороны) числе узлов — таким образом удается заполнить узлы в треугольной области. С другой стороны, известно, что для волнового уравнения область влияния есть треугольник со сторонами, наклоненными к осям под углами л/4 (что соответствует а=1). Поэтому условие а 1 (называемое условием Куранта) есть необходимое условие сходимости последовательности (lim h, 1- 0) приближенных решений к точному. [c.181]

Простота пространства Куранта связана с тем, что внутри каждого треугольника три коэффициента функции у = О] + + й2Х- - а у однозначно определяются значениями и в трех вершинах. Это Означает, что функцию можно удобно описать, задавая узловые значения, или, что то же самое, 5 имеет удобный базис. Более того, у вдоль каждой стороны оказывается линейной функцией одной переменной и эта функция очевидным образом определяется значениями на концах стороны. Значение у в третьей вершине не влияет на функцию вдоль этой стороны независимо от того, где расположена эта третья вершина. Поэтому непрерывность у на стороне гарантируется непрерывностью в вершинах. [c.95]

Этот выбор все еще хорош, если 8 — пространство Куранта кусочно линейных функций с узлами в вершинах треугольников. Так как И/ интерполирует ы = 0 в граничных узлах, то И/= О вдоль всей границы многоугольника и И/е5 . Стандартная теорема 3.3 об аппроксимации дает величину ошибки в энергии. Несомненно, что приближение около границы очень плохое. [c.228]

Доказательства существования и единственности могут основываться на итерациях интегральных соотношений, выражающих значение в точке в виде интегралов по соответствующему характеристическому треугольнику (например, Р Р[Р для Р на рисунке 5.1). В целом построение аналогично итерациям Пикара для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь молено сослаться на Куранта и Гильберта ([1], стр. 458). [c.129]

Для того чтобы продемонстрировать различие между теоремами, рассмотрим треугольные элементы Куранта. Сначала в качестве шаблонного элемента возьмем элемент Куранта на стандартном треугольнике с вершинами (0,0), (0,1), (1,0). Для него из общей теории аппроксимации вытекает, что если I) И 2 (I2). то [c.91]

Треугольники Куранта приводят к очень интересной матрице жесткости К. Для уравнения Лапласа получается стандартная пятиточечная разностная схема, если треугольники строятся регулярным образом, т. е. разбиением квадратной сетки диагоналями в северо-восточном направлении. (Более точную девятиточечную схему можно аналогично получить с помощью билинейных элементов [Ф9], но это редко . . лают.) Такая простая и систематическая структура матриц зг есткости позволяет использовать для решения уравнения KQ = р быстрое преобразование Фурье. Оно дает отличный результат на прямоугольнике его применение на непрямоугольных областях успешно развивается в работах Дорра, Голуба и др. С математической [c.96]

К такому классу относятся важные физические Задачи с дополнительными условиями. Для несжимаемой жидкости, например, полезно наложить ограничения у и = О для всех пробных функций. Представители французской школы (Крузей, Фортен, Гловинский, Равьяр, Темам) обнаружили, что хотя треугольники Куранта не соответствуют условиям, сходимость можно установить при использовании [c.103]

В частности, треугольник Куранта получил свое название после работы Куранта [1]. Прямоугольники типа (2 ) и (S ) называются также серендиповыми конечными элементами, так как их открытие действительно потребовало определенной изобретательности ) Другие примеры серендиповых конечных элементов можно найти у Зенкевича [3, стр, 122, 124, 135], в частности для п — 3. Заметим, что Зламалом [6] дан другой интересный подход для таких серендиповых конечных элементов. Треуголь- [c.111]

Билинейный элемент на прямоугольниках можно легко соединить с линейным элементом. Куранта на треугольниках, так как и тот и другой полностью определяются значениями у в узлах. Возможны и другие комбинации билинейную функцию на треугольнике с узлом в середине одной из сторон можно соединить с квадратичной функцией на соседнем элементе. Вообще билинейные пробные функции лишь чуть-чуть старше линейных, так как они точно воспроизводят член второго порядка ху. Для лапласиана = —А главная диагональ матрицы жесткости К, построенной с помощью билинейных элементов, пропорциональна 8, а остальные элементы пропордиональны —1 и соответствуют восьми соседним точкам на плоскости. В трехмерном пространстве, очевидно, нужно рассматривать трилинейные функции вида а + й2Х + азу а г + а ху а хг + a yz + + аъхуг такая функция опять определяется значениями в углах. [c.107]

Рассмотрим пару примеров в этой общей постановке. Для общеупотребимых кусочно линейных функций на треугольниках (треугольниках Тёрнера или Куранта) узлы Zj — это вершины триангуляции, а операторы Dj все нулевого порядка DjV = о . Неизвестные имеют вид qj = v Zj) и базис образован пирамидальными функциями, определяемыми равенствами ф (2г)=6гз. То же справедливо для билинейных функций на четырехугольниках и для квадратичных на треугольниках, но здесь множество узлов Zj содержит и середины сторон. Для эрмитовых кубических функций одной переменной появляются производные каждый узел Zj участвует в двух парах (Zj,I) и (Zj,d/dx). Мы различали два вида базисных функций ф — функции ijjj и toj. Для эрмитовых бикубических функций на каждый узел приходится четыре параметра, соответствующих v, Vx, Vy и Vxy, т. е. оператор D равен I, д/дх, д/ду и д /дхду. Для пространства кубических функций Z3 на треугольниках узлы в вершинах тройные, а в центрах тяжести треугольников простые. [c.124]

С помощью теоремы 3.5 можно количественно сравнить два различных полиномиальных элемента или два одинаковых элемента с разными геометрическими формами. Рассмотрим две регулярные триангуляции плоскости одна содержит диагонали в обоих направлениях, другая — только в одном (рис. 3.4). Комбинационно они совершенно различны. В триангуляции а одни узлы связаны с четырьмя соседними, а другие — с восемью. В б каждый узел имеет шесть соседних. Рассмотрим пространство Куранта 8 непрерывных кусочно линейных функцй на этих треугольниках. Так как в триангуляции а вдвое больше узлов, чем в б, то размерность пространства 8а (соответствующего триангуляции а) вдвое больше размерности пространства [c.180]

Полученное приближенное решение м единственно и имеет кусочнолинейную структуру, т.е. линейно на каждом элементарном треугольнике Т е. н. Напомним, что в соответствии с изложенным ранее материалом и аппроксимирующими свойствами элементов Куранта полученное решение [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...