Маркова перехода

В зависимости от ряда теоретических и технических обстоятельств для данного случайного процесса вычисляли плотность вероятности ординат р (х), плотность вероятности пиков р ( /), спектральную плотность з (/) и вероятности переходов между последовательными состояниями характеристических параметров процесса Ра (цепь Маркова). [c.325]

Основными теоретическими характеристиками сложных однородных цепей Маркова (т. е. с последействием, распространяющимся на несколько предшествующих дискретных моментов времени) являются матрицы условных вероятностей перехода, значительно более сложные, чем матрица (6.47), так как каждое из k значений в момент t связано здесь не с fe значениями в момент т, а с значениями, где S — число предшествующих моментов времени, которыми определяется область последействия. Таким образом, порядок матрицы здесь, т. е. возрастает в раз. Например, для двухсвязной однородной цепи Мар- [c.204]

Кроме условных вероятностей перехода, в качестве теоретических характеристик цепей Маркова применяются еще абсолютные вероятности р (х , / ), представляющие собой вероятность того, что в момент величина х будет иметь значение Х/, какие бы значения она ни имела во все моменты времени, предшествующие tk. [c.204]

Исчерпывающими эмпирическими характеристиками цепей Маркова, соответствующими теоретическим характеристикам в виде матриц переходных вероятностей, являются матрицы условных частостей перехода из каждого возможного состояния h в предшествующие дискретные моменты времени т , Т2.....Т5 (Ti <Тг <. . . характеристиками цепей Маркова, соответству- [c.205]

Рассмотрим вероятностное описание речного стока процессом Маркова с дискретным временем для случая одной ГЭС на реке. При этом исчерпывающее вероятностное описание расходов реки в любом расчетном интервале ti—ti+ дается функцией перехода [c.90]

В цепях Маркова четко определены состояния системы Si, S2, Переход из состояния в состояние осуществляется в дискретные моменты времени t, . .., и определяется переходными вероятностями. Цепи Маркова хорошо иллюстрируются графом состояния системы, на котором кружками или прямоугольниками отмечены сами [c.46]

Марковские процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем (непрерывные цепи Маркова) характеризуют функционирование систем, у которых переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, а сами состояния дискретны, например появление отказа, неи< Правности. Для этого процесса, который также может быть изображен графом, рассматриваются плотности вероятностей X переходов системы за время М из состояния Si в состояние S, [c.46]

Заметим, что формула (82.5) уже заключает в себе некоторую гипотезу о ходе процесса. Дело в том, что в общем случае вероятность перехода из л в у может зависеть не только от аргументов, указанных в (82.5), но и от предшествующей истории частицы — от координат и импульсов в моменты времени, предшествующие Г. Если корреляция существует только между двумя последовательными событиями, то такие процессы называются цепями Маркова. Другими словами, в марковских процессах вероятность перехода из одной точки в другую не зависит от предыстории процесса, т. е. частица не обладает памятью . Марковская модель с очень хорошей степенью точности описывает кинетические процессы в газе с большой плотностью. [c.453]

По поводу этих работ Мизеса [14], [24], так же как и всех других работ такого типа, следует отметить, что они, по существу, вообще не относятся к той проблеме обоснования, которая рассматривается в настоящей работе,— к выяснению связи физической статистики и микромеханики. Мизес с самого начала отказывается от постановки задачи об установлении этой связи. Между тем, практическая невозможность решить уравнения механики для статистических систем совсем не означает принципиальную возможность от них отказаться и, в частности, не означает возможности отказаться от вполне поддающихся учету качественных следствий дифференциальных уравнений движения (на основании сказанного в 18, можно видеть, например, в каких случаях допустимо в классической механике исследование схемы цепей Маркова, а также можно видеть, что в этих случаях условие сим метрии вероятностей переходов не выполняется). Настоящая задача обоснования статистики заключается не в том, чтобы дать построение всей системы физической статистики, исходя из некоторых внутренних принципов, из специально выбранных аксиом, а в том, чтобы согласовать наличие вероятностных законов статистической механики с теми выводами, которые вытекают из микромеханики (например, в классической теории мы должны считать, что в каждом данном случае осуществляется определенное микросостояние, независимо от того, знаем ли мы его или нет, а в квантовой теории мы можем, например, извлекать следствия из стационарности [c.124]

Отметим еще, что встречающееся иногда мнение, будто бы теория Мизеса может найти физическую основу в квантовой механике (квантовые ячейки и симметричные вероятности перехода между ними), совершенно ошибочно. В главе II мы увидим, что применение схемы цепей Маркова с симметричными вероятностями перехода к квантовым ячейкам столь же лишено физического смысла, как и применение ее к классической механике. [c.125]

Это объясняется тем, что, согласно закону больших чисе.ч в его простой форме — в первом случае и согласно обобщенной предельной теореме Ляпунова (которая, как уже говорилось, применима к рассматриваемой схеме) — во втором,— пределы частостей переходов из фиксированной области в некоторую другую заданную область равны пределам частости переходов, ]гри которых система, попавшая в фиксированную область, перешла в нее из заданной области (понятно, что это заключение может быть сделано не только по отношению к областям, состоящим из группы ячеек, но и по отношению к самим ячейкам). Это свойство, называемое обычно симметрией флюктуаций относительно прошедшего и будущего или обратимостью флюктуаций, показывает, в частности, что всякая неравновесная область с подавляющей вероятностью происходит из той более равновесной области, в которую она с подавляющей вероятностью переходит. Это свойство основано лишь на зависимостях, характеризующих цепи Маркова. [c.142]

При этом предполагается плавность переходов, т. е. не допускается перескакивание через состояние. Граф такой модели является модификацией модели источника ошибок Свободы—Мюллера [1 ], получаемой из общей схемы Маркова, и имеет вид, представленный на рис. 3. [c.276]

Здесь первый множитель под интегралом показывает вероятность отсутствия удара до момента , а величина й1/т равна вероятности "измерения" на интервале Если мы переходим к усредненной по времени вероятности, то число ударов за время Л/ следует считать равным Аг/т. Таким образом, предлагаемая логика автоматически приводит к классической цепи Маркова, а квантовый подход понадобился лишь для нахождения вероятностей перехода от одного "измерения" к другому. В итоге, для многих последовательных измерений мы получаем диффузионное уравнение (143) для р , 1) с Максвелловским распределением частицы по скоростям. От этих вероятностей можно было бы перейти к матрице плотности р х,х ) = (ф х)ф х )). Но как мы видим, в этом нет большой нужды. Найденные нами усредненные волновые пакеты, которые входят в выражение (147), играют роль базиса, в котором матрица плотности имеет диагональный вид р х,х ) представляет собой случайную выборку одного из таких пакетов с вероятностью, которая предписывается извне оператором измерения М ф). В результате для описания статистических свойств случайной волновой функции основную роль играют именно свойства "измерения", а свободный пролет частицы от одного "измерения" до другого "измерения" определяет лишь величину коэффициента диффузии П. [c.142]

Несколько более тщательное использование этих соображений показывает, что левая и правая половины орбиты периода 2" нашей переплетенной системы переставляются отображением / для любого п 6 N. Кроме того, мы можем исследовать динамику орбиты периода восемь более подробно, рассматривая действие р на любой ее половине. Поскольку эти половины переставляются отображением /, такое действие корректно определено, и мы попадаем в ситуацию, аналогичную той, что встретилась нам в приведенном выше доказательстве, так что отсюда легко получить описание действия р на левой половине. Покажем, что левая половина ж.,..., а отображается в правую половину 15,..., а так, что /( а ,, а ) = а , х ) для г = 5 или г = 7 (т. е. пакетами ). Предполагая противное, мы в конце концов заключим, что должна существовать орбита периода шесть. Орбита периода восемь определяет шесть отрезков, не содержащих неподвижную точку переплетенной системы. Обозначая их символами от 7, до Ь, мы должны показать (в порядке рассмотрения представительного случая), что отношение 7, —> 7д запрещено. Но в этом случае должно выполняться условие 75 —> 7,, так как Р известно на левой половине орбиты и 7, — I. для / = 4, 5, 6, поскольку концы 1 обязательно переходят в критические точки правой половины. Так как 7 —>7, по крайней мере для одного / = 4, 5,6, мы получаем подграф Маркова 7, —> 7б /3 —> 7 . —> 7,, который содержит цикл длины шесть, вынуждая, по следствию 15.1.4, существование орбит периода шесть. Эквивалентная формулировка этого вывода состоит в том, что ни один из отрезков, содержащих точки периода четыре, не может покрыть под действием / отрезок, содержащий точки периода два. В общем случае те же самые соображения показывают, что ни один из отрезков, определенных орбитой периода 2"+ и содержащих точку периода 2" переплетенной системы, не может покрыть под действием / отрезок, содержащий точку системы периода 2" . [c.513]

Пусть пространство Ж—то же, что в примере 3, а Г — автоморфизм Маркова с матрицей вероятностей перехода П= = 11/ гЛ1 j[c.49]

Пусть S — гомеоморфизм многообразия М. Построим семейство цепей Маркова Пв, в котором закон движения случайной точки X выглядит следующим образом вначале х переходит в точку 5(д ), а затем в случайную точку у, выбранную в соответствии с распределением (- 5(д ), е). Семейство цепей Маркова Пе, удовлетворяющее указанному выше условию, называется малым случайным возмущением гомеоморфизма S. Нетрудно показать, что если /г= яе — набор инвариантных мер для цепи Маркова Пе, то всякая предельная (в смысле слабой сходимости) при е->0 мера для семейства h будет инвариантной мерой для S. Нетрудно построить примеры, когда Л при любом >0 содержит несколько мер. [c.151]

Диаграммная трактовка ( 5.10) тесно связывает статистические характеристики случайных блужданий без самопересечений с термодинамическими свойствами соответствуюш ей модели Изинга (см., например, [5.65]) и других магнитных моделей [5.66]. Есть еш е один интересный математический вопрос, напоминающий теорию критических явлений. Он относится к природе перехода от типичного поведения системы при простых блужданиях без ограничений к ее поведению в случае, когда запрещены самопересечения траекторий. Если рассматривать только ограниченное число шагов, то запрет возврата в тот же узел можно ввести по методу Маркова ( 7.6) при зтом асимптотическое поведение системы на больших расстояниях не меняется. Мы можем, однако, ввести нечто вроде потенциальной энергии отталкивания / между всеми сегментами полимерной цепочки. Тогда априорная вероятность любого перекрытия уменьшается на множитель [c.321]

Предполагается, что появление входного слова (гг = 1,. .., К) имеет вероятность q , не зависящую ни от моА- ента времени п, ни от того, какие слова появлялись и появятся в другие моменты времени. При этих условиях процесс смены состояний автомата описывается конечной однородной цепью Маркова с матрицей переход- [c.75]

О, О " и т. д. за врел1я макроскопического изменения перемешаются по области приблизительно равномерно (точное определение этого дополнительного свойства размешивающихся систем см. в гл. V), Тогда естественно предположить, что если некоторое состояние 0 происходит из состояния 0 с некоторой вероятностью такое я е как по порядку величины время 2 (это значит, что доля точек О , попадающая в равна т. е. равна, по определению, вероятности перехода), то доля точек каждого из множеств 0 0[[ и т. д. (т. е. множеств, образованных теми частями 0 , которые за время произошли из 0 0 О " и т. д.), попавшая за время в Отакже приблизительно равна Pi,2 При этом условии, как легко видеть, схема цепей Маркова делается приблизительно применимой. Следует лишь отметить, что макроскопические области, соответствующие различным значениям макроскопических параметров, никак не могут считаться приблизительно равными по величине, а возрастают по мере приближения к равновесию в огромное число раз. Поэтому (как видно из соображений обратимости уравнений механики и инвариантности значений макроскопических параметров по отношению к обращению микроскопических скоростей) даже приблизительно нельзя говорить о соблюдении условия симметрии вероятностей переходов [c.112]

Прежде чем говорить о физических основаниях, придающих этой схеме реальность, отметим результаты, которые можно получить, исходя из нее. Если мы будем производить измерения через определенные заданные интервалы времени, то с вероятностной точки зрения эта схема оказывается схемой цепи Маркова. Действительно, так как ячейки соответствуют здесь максимально полно определенным состояниям, то вероятности перехода а следовательно, и вероятности исходов последующего опыта однозначно определяются исходом настоящего опыта. Так как коэффициенты р. удовлетворяют соотношению симметрии Pii, = Pki, то, как известно из теории цепей Маркова, существует стационарное распределение, представляемое равномерным распределением вероятностей между ячейками. Если мы будем считать, что все коэффициенты РгТс (что, как будет видно в 3, можно предположить без существенного сужения физической постановки задачи), то стационарное распределение вероятностей единственно кроме того, это стационарное распределение является предельным при любом начальном состоянии системы или при любом распределении вероятностей начальных состояний. Условие Pik является достаточным для того, чтобы выполнялся закон больших чисел, согласно которому, для любого заданного начального состояния, при многократном воспроизведении начального состояния частость осуществления заданной ячейки в опыте, проводимом в некоторый заданный, достаточно удаленный момент, будет иметь пределом вероятность осуществления этой ячейки при стацирнарном (т. е. равномерном) распределении. Если выполняется условие справедлива также обобщенная предельная теорема Ляпунова [31]. Согласно этой теореме, частость осуществления заданной ячейки в данном процессе, для любого заданного начального состояния, при возрастании числа последовательных во времени опытов будет иметь пределом среднюю вероятность осуществления этой ячейки для того же процесса или (ввиду существования предельного распределения) вероятность осуществления этой ячейки при стационарном распределении. Первый из этих результатов является некоторым аналогом появления — независимо от начального состояния — равномерного распределения вероятностей на поверхности заданной энергии после [c.139]

Отличие цепей Маркова от динамических траекторш характеризуется также следующим, важным для дальнейшего (см. гл. V), обстоятельством вероятности перехода из [c.141]

Однако отмеченные отличия цепей Маркова от динамических траекторий и связанная с этим отличием невозможность воспроизвести в схеме цепей Маркова возражение обратимости не лишают временной ход флюктуаций физической системы, описываемой такой схемой, обратимого или, иначе, симметричного во времени характера. Действительно, в то время как любое начальное распределение с необходимостью переходит i стационарное равномерное распределение и разности между экстремальными значениями вероятностей монотонно убывают, при наблюдении индивидуальной системы равновесная область, соответствующая подавляющей части всех ячеек, осуществляется после времени релаксации лишь с подавляющей вероятностью,— с некоторой малой вероятностью возможны флюктуации. Фиксируем некоторую неравновесную область , состоящую из определенных ячеек, и будем определять, в какие области переходит система из этой неравновесной облает м в каких областях она была непосредственно до того, как попала в эту фиксированную область. Возможны два способа определения частости в первом случае мы рассматриваем последовательность опытов, заключающихся в том, что, исходя из произвольного начального состояния, мы ждем, пока установится (с определенной точностью) равномерное распределение вероятностей и пото. 1 возникнет фиксированная область, [c.141]

П редложение 2. Существует 5 > О, такое, что для любого Н Е —6,6) 0 отображение Пуанкаре на имеет инвариантное подмножество, на котором оно полусопряжено топологической цепи Маркова над К со следующей матрицей переходов А [c.156]

Предположим, что мы уже построили для исследуемой систелш матрицу вероятностей переходов за один шаг р = рц), удовлетворяющую условиям эргодичности и стационарности. При этом мы знаем, что если вычислять искомую функцию / (х) на каждом шаге 1 реализации цени Маркова, то среднее по времени (3) будет стохастически сходиться к искомому значению среднего по ансамблю (1). Однако оказывается, что последовательные значения /< и ft+ будут сильно скоррелированы между собой, особенно если, как это обычно имеет ме-то, они являются функциями от всех Г , а матрица (рц) соответствует перемещению одной молекулы. Вычисление / (х) может потребовать относительно много времени, поэтому представ- [c.307]

Пусть значение стохастич. неременной х (() может измеряться через сколь угодно малые промежутки времени (( — непрерывный параметр). Тогда о процессе х ( ) говорят 1 ак о марковском (плп как о цепи Маркова), если монаю ввести веронт-ность перехода у (/о, ж /, ж) йх из состояния Хо = х ((о) в состояние х, расположенное между ж и ж + йх к моменту (, к-рая полностью определяется заданием нач. состояния х в любой момент (о и пе. зависит от предыстории процесса. Плотность вероятности перехода w (( , ж /, ж) для непрерывной цепп Маркова удовлетворяет рштегральпому уравнению Смолуховского [c.436]

Эта мера совпадает с распределением вероятностей, отвб -чающим стационарной цепи Маркова с вероятностями перехода [c.209]

Состояния нашей новой топологической цепи Маркова задаются теми мультииндексами I = (г ,..., г 1), для которых пересечение (18.2.1) принадлежит В (см. определение 1.9.10 п-кратной топологической цепи Маркова). Для двух таких мультииндексов 7 = ( ,..., г ,) и / = ( ,, .. определим элемент A д, матрицы переходов следующим образом. Положим = 1, если для О А п — 2и [c.574]

Следующий по сложности случайный процесс — однородная депь Маркова с конечным числом состояний аь ., о и дискретным временем. Ее реализации тоже являются двусторонними или односторонними последовательностями символов из А, поэтому непосредственное задание данного случайного процесса тоже сводится к введению в Qn некоторой нормированной меры ц, инвариантной (жгносительно а (и согласованной с топологией). Описывать ее построение я не буду (см. т. 2), отмечу только, что если вероятность перехода из состояния а< в а,- равна нулю, то множество всех последовательностей, в каждой из которых хоть один раз а,- идет следом за а , имеет меру нуль. Зто подсказывает следующий топологический аналог. [c.160]

Пусть Л — ЛМГМ диффеоморфизма 5, причем 5]Л — топологически транзитивно. Пусть также (2л, о) — символическое представление Л, построенное посредством марковского разбиения . Рассмотрим стационарную цепь Маркова с вероятностями переходов Pij = aijZilX A)Zi, где Я(Л)—максимальное положительное собственное значение матрицы А и Z= zi —соответствующий собственный вектор (см. [3]). Пусть далее (Хо — марковская мера на этой цепи Маркова и fxo — прообраз меры (Хо под действием отображения г з. Как показано в [3], (хо — мера с максимальной энтропией для S на Л (определение см. ниже п. 3.5). Сейчас будут указаны и некоторые другие важные свойства меры хо- [c.146]

Если множество 5 состояний автомата можно разбить на не-пересекающиеся подмножества таким образом, чтобы ни при каком входном слове не мог осуществиться переход из состояний различных групп, то процесс с матрицей переходных вероятностей П будет неэргодической цепью Маркова. В этом случае энергетический спектр процесса f) зависит от стартового распределения вероятностей пребывания автомата в группах Зк своих состояний и его вычисление проводится на основании формул для энергетических спектров процессов I 1), соответствующих каждой эргодической компоненте 8к- [c.76]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...