Ковариантное дифференцирование тензоров

Ковариантное дифференцирование тензора [c.17]

КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ ИЗ [c.113]

Ковариантное дифференцирование тензоров [c.113]

КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРОВ 1)5 [c.115]

Аналогичным образом можно записать и тензор ранга 3, полученный ковариантным дифференцированием тензора ak i [c.244]

Конечно, выражения (IV. 148) и (IV. 150) представляют компоненты одного тензора — ковариантной производной вектора а. Это можно доказать на основании формулы (1.74). Но фактическое проведение вычислений требует установления правил абсолютного дифференцирования тензоров более высокого ранга, чем первый. [c.386]

Как мы видели выше, алгебраические операции над тензорами приводят снова к тензорам, чего нельзя утверждать, как убедимся ниже, относительно их дифференцирования. Частные производные компонентов тензора составляют тензор лишь в декартовой системе координат. В криволинейных системах координат дело обстоит сложнее. Здесь приходится вводить так называемое ковариантное дифференцирование, действие которого на тензор снова даст тензор. Ковариантная производная совпадает с обычной, когда тензор отнесен к декартовой системе координат. [c.21]

При ковариантном дифференцировании используется теорема Риччи (1853—1925) ковариантная производная метрического тензора равна нулю, [c.415]

Можно также получить равенства = О, — О, т. е. при ковариантном дифференцировании метрические тензоры ведут себя как постоянные величины. [c.416]

Ковариантное дифференцирование контравариантного тензора производится по правилу [c.232]

При ковариантном дифференцировании компоненты метрического тензора играют роль постоянных — их можно выносить [c.882]

Это правило в соединении с правилами ковариантного дифференцирования обеспечивает автоматизм вычисления дифференциальных операций над тензорами любого ранга. [c.884]

Можно было бы ограничиться линейными преобразованиями координат (это делается весьма часто). Однако в нашем анализе неоднородного напряжения и неоднородной деформации такое ограничение неприемлемо. Одной из главных причин применения в реологических приложениях понятия телесного поля является то, что при пользовании ими отпадает необходимость в сложении тензоров в двух или более различных точках одного и того же многообразия (необходимость сравнивать тензоры в соседних точках все же остается, так как этого требует ковариантное дифференцирование). [c.385]

Здесь, согласно общепринятым обозначениям, запятая, стоящая перед нижним буквенным индексом, означает ковариантное дифференцирование относительно пространственного метрического тензора Доказательство получается непосредственно уравнения (12.52) и (12.54) сформулированы для произвольной пространственной координатной системы и, следовательно, справедливы в частном случае декартовой прямоугольной системы отсчета. Однако в такой системе ковариантное дифференцирование (, k) сводится к частному дифференцированию относительно х и уравнения (12.55), [c.405]

Помножим первые два равенства (6.41.6) на Ср/С д, выполним свертки, учтем, что тензоры а и с при ковариантном дифференцировании ведут себя как константы (в дальнейшем мы будем этим пользоваться без напоминания), и запишем полученные результаты, присоединив к ним равенство (6.41.7), [c.87]

В последнем равенстве слагаемые, содержащие тензоры е и х, попарна подобны в том смысле, что в каждую пару входят одноименные тензоры и одинаковое число символов ковариантного дифференцирования. Поскольку в каждую пару подобных слагаемых входит тензор Q, истинный смысл которого нам не известен, отбросим не только члены с Q, но и подобные им слагаемые. Получим [c.89]

Важное место в тензорном анализе занимает операция ковариантного дифференцирования. Ковариантные производные тензоров поверхности первого и второго рангов определяются формулами [c.20]

Дифференцирование пространственных тензоров по координатам осуществляется с учетом переменности базисных векторов, что приводит к понятию ко-вариантной пространственной производной. Для пространственных ковариантных производных тензоров первого и второго рангов справедливы представления [c.23]

В (5.6.6) — метрический тензор V — оператор ковариантного дифференцирования по X при фиксированном у. Отметим, что матрица A(x-j ), рассматриваемая как функция аргумента является фундаментальным решением сопряженного оператора Q (V) = Q(-V). Используя известное [71] представление функции Макдональда K (z) в форме степенного ряда, можно показать, что при х у ядра j x - j ) имеют следуюш ий характер полярностей [c.158]

Входящий в формулы (1.128), (1.130) символ V обозначает операцию ковариантного дифференцирования на поверхности S. Для тензора а п-то ранга, имеющего р ковариантных и q контравариантных индексов (р + 9 = п), ковариантное дифференцирование сводится к операции [c.45]

Ковариантное дифференцирование повышает ранг тензора на единицу. [c.76]

Следствие. Метрический тензор можно вносить и выносить из под знака ковариантного дифференцирования. [c.76]

Сказанное относится и к ковариантному дифференцированию произведения составляющих тензоров. Например, [c.788]

Отсюда следует, что составляющие метрического тензора ведут себя при ковариантном дифференцировании как постоянные величины их можно вносить под знак и выносить из-под знака Это видно, например, из формул (П. 5) [c.789]

Таким образом, объекты = дА> /дд ") и = (дА /дд ) не являются тензорами. Для того чтобы правильно определить операцию ковариантного дифференцирования, воспользуемся принципом эквивалентности тензор, определенный в геодезических координатах, является тензором в любых других координатах. Обозначим ковариантную [c.131]

Операцию ковариантного дифференцирования часто обозначают точкой с запятой У А = Обычную частную производную обозначают символом дь>А =дА /дд или А =дА /дд . Если и д)—векторное поле, то свертку ковариантной производной тензора " и вектора называют производной тензора по направлению и УцТ = -. [c.132]

Нетрудно показать, что метрический тензор ведет себя по отношению к ковариантному дифференцированию как константа [c.132]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

Для ковариантнон производной справедливы те же правила дифференцирования суммы, произведения и т. д., что н для обычной производной. Ковариантные производные от компонентов метрического и дискриминантиого тензоров равны нулю, так что эти компоненты при ковариантном дифференцировании должны рассматриваться как постоянные. [c.212]

Отмстим, что операция ковариантного дифференцирования введена для компонент вектора и тензоров. Салт же тензоры (векторы) являются инвариантными (не зависящими от выбора системы координат) величинами (без индексов). Для них ковариантная производная совпадает с обычной частной производной. Поэтому [c.178]

Таким образом, координатные векторы, компоненты метрического и дискриминантного тензоров при ковариантном дифференцировании можно считать постоянньпли. Заметим, что операция ко-вариантного дифференцирования введена для компонент векторов и тензоров. Сами же тензоры (векторы) являются инвариантными (не зависящими от выбора системы координат) величинами (без индексов). Для них ковариантная производная совпадает с обычной производной. [c.14]

Таким образом, координатные векторы, компоненты метрического и дискриминантного тензоров при ковариантном дифференцировании можно считать постоянными. Кроме того, как нетрудно видеть, на ковариантное дифференцирование распространяется правило обычного дифференцирования произведения. Отметим, что операция ковариантного диф( ренцирования введена для компонент вектора и тензоров. Сами же векторы и тензоры являются ин- [c.87]

Зависимости (2.1.1), (3.2.8), (3.3.4), (3.3.7), (3.3.8) составляют полную систему уравнений задачи устойчивости, составленную для того случая, когда пренебрега-ется как нелинейностью основного равновесного состояния, так и докритическими деформациями. Для оболочек тонкостенных пологих и для теряющих устойчивость с образованием большого числа выпучин, в пределах каждой из которых оболочку можно рассматривать как пологую, эти уравнения допускают дальнейшие упрощения. В этом случае можно отождествить метрику на поверхности приведения с евклидовой метрикой (Л = = 1), принять приближенные равенства (3.2.21), отождествить компоненты тензоров поверхности с их физическими составляющими, а оператор ковариантного дифференцирования с оператором частного дифференцирования д . Соответствующая данному приближению система линейных дифференциальных уравнений устойчивости слоистых пологих оболочек включает в себя следующие группы зависимостей [c.62]

Здесь V — оператор ковариантного дифференцирования в трехмерном пространстве а ", — компоненты пространственного тензора докритических напря- [c.151]

Знание элемента дуги любой линии на поверхности, которое дои стигается измерениями, производимыми на самой поверхности т доступными двумерным суш.ествам, на ней обитаюш.им , определяе-первую квадратичную форму поверхности и с нею внутреннюю геометрию поверхности к внутренней геометрии принадлежат составляю-ш,ие метрического тензора и все величины, определяемые по ним, т. е. элемент площади, символы Кристоффеля первого и второго рода, геодезическая кривизна линии на поверхности. Задачи разыскания геодезических линий, определения операций ковариантного дифференцирования и параллельного переноса вектора на поверхности также относятся к внутренней геометрии. При изгибании поверхности, не сопровождаемом изменением длин линий на ней, перечисленные величины остаются неизменными — они представляют инварианты изгибания. Нормальная кривизна не является, конечно, инвариантом изгибания. Этим объясняется, что коэффициенты второй квадратичной формы принципиально не могут быть вычислены при задании только метрического тензора. Их определение было связано с введением вектора нормали т поверхности. [c.799]

Тензор кривизны. Операции ковариантного дифференцирования неперестановочны. Для векторного поля [q) имеем [c.133]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...