Фурье ряд в комплексной форме

Представим функцию g(x) в виде ряда Фурье, записав этот ряд в комплексной форме [c.144]

Разложим закон распределения (11.138) на интервале — Л < il <СЛ в ряд Фурье, выраженный в комплексной форме [c.416]

Если ввести обозначение коэффициентов ряда Фурье, записанного в комплексной форме [c.576]

Усилия Хп, будут функциями параметра О, периодическими с периодом 2л мы будем считать их представленными рядами Фурье по os и sin nv . При заданных усилиях граничные условия будут содержать интегралы по дуге от Хп, Уд, куда войдут периодические функции в и члены, пропорциональные Представляя тригонометрические ряды в комплексной форме, запишем условия для функций Ф/ Z ) таким образом [c.158]

Более компактная запись ряда Фур >е представляется в комплексной форме [c.77]

О рядах Фурье в комплексной форме. Пусть /(0)—действительная функция, заданная на отрезке О 0 2я, При весьма общих условиях ее можно представить в виде ряда Фурье ) [c.11]

Если периодическую функцию Ф(л ), входящую в (2.26), разложить в ряд Фурье, записав его в комплексной форме, то одно из частных решений фундаментальной системы принимает вид [c.60]

В некоторых случаях удобно представлять основной тригонометрический ряд Фурье (с периодом в комплексной форме [c.264]

Ряд Фурье в комплексной форме имеет вид [c.307]

Ряд Фурье можно представить в комплексной форме. Учитывая формулу Эйлера е = os а + t sin а, i =Y— 1. придем к следующим соотношениям [c.172]

Последнее равенство выражает ряд Фурье в комплексной форме. Разумеется, величина со имеет физический смысл круговой частоты колебаний только при положительных значениях распространение интегрирования на область отрицательных w является удобным математическим приемом симметризации . Если изменить во втором интеграле равенства (25.32) обозначение переменной интегрирования, что не влияет на величину интеграла, то можно записать [c.174]

Вывод соотношения (25.60) аналогичен переходу от обычного ряда Фурье к ряду Фурье в комплексной форме. Круговая частота со в равенстве (25.60) пробегает не только положительные, но и отрицательные значения. Последние имеют чисто математический смысл и появляются в результате зеркального отображения процесса в область отрицательных значений со. Можно показать, что в связи с этим спектральная плотность при комплексном представлении уменьшается вдвое (рис. 46) [c.180]

Коэффициенты разложения в комплексной форме этих профилей в ряд Фурье просто связаны друг с другом f —С (48). По- [c.141]

Для периодической функции тригонометрический ряд (ряд Фурье) в комплексной форме имеет вид [c.352]

Ряд Фурье 2л-периодической функции (г) и-мерного аргумента z всюду будем записывать в комплексной форме [5, G] [c.10]

Правая часть граничного условия (8.166) соответствует контурной нагрузке и представляется в виде разложения в ряд Фурье в комплексной форме на плоскость единичного круга [c.244]

Ряд Фурье в комплексной форме [c.135]

Часто ряд Фурье в комплексной форме записывают в виде [c.27]

Пусть задана функция яркости (рис. 1.5). Представим ее в виде двухмерного ряда Фурье в комплексной форме [c.19]

Спектральное представление почти периодических колебаний. Большинство почти периодических колебаний можно представить в виде ряда Фурье. Запишем комплексную форму этого ряда [c.27]

Представим комплексную форму ряда Фурье в таком виде [c.519]

Комплексная форма удобна и при анализе действия произвольной периодической вынуждающей силы, которую можно представить в виде разложения в ряд Фурье (5.23). В данном случае к комплексной форме удобно перейти несколько иначе, чем это было сделано выше. В каждый член ряда (5.23) подставим [c.135]

Это — так называемая комплексная форма ряда Фурье. Физический смысл (8. 1) состоит в том, что периодическая функция представляется как сумма синусоидальных колебаний с частотами, кратными основной частоте [c.279]

Теперь мы представим без доказательств ряд формул для одномерных и двумерных фурье-образов. Везде в этом приложении д и Ь представляют собой функции (вообще говоря, комплексные) одной или двух переменных, а О и Н — их фурье-образы, определяемые в соответствии с (А.1) или (А.2). Во всех случаях символ означает оператор преобразования Фурье в одном или двух измерениях. Размерность должна быть ясной из контекста. Если приводится только одна форма соотношения, то это значит, что она пригодна как для одномерного, так и для двумерного случая. [c.500]

Нахождение спектра амплитуд и фаз из рядов Фурье в комплексной форме. Для вещественной функции /(i) в (8.3) выполняется равенство с =с . Преобразуя (8.3) к виду (8.1) и сравнивая коэффициенты при os oi и sin oi находим [c.57]

Помимо рядов Фурье в действительной форме в теории колебаний используются комплексные ряды Фурье. Комплексный ряд Фурье для действительной периодической функции u(t) с nei- юдом Т = 2л/(й имеет вид [c.22]

Один из подходов для решения таких задач имеет своим истоком работу А. Б. Бассета. Представим себе, что все прочие граничные условия, кроме условий на свободной поверхности, допускают представление решения в виде агрегата, зависящего от некоторого количества параметров. Например, как следует из работы Бассета, колебание жидкости конечной постоянной глубины может быть описано некоторой комбинацией тригонометрических и гиперболических функций. Условие отсутствия нормальных напряжений на свободной границе дает некоторое трансцендентное уравнение, связывающее параметры волн и комплексное число оз. Определив корни этого трансцендентного уравнения, мы получаем возможность полностью рассчитать движение жидкости. Подобная схема используется в ряде работ. В качестве наиболее типичной для этого направления укажем работу И. П. Оборотова (1960), в которой исследуются стоячие волны на поверхности жидкости конечной глубины. Близкие по своему смыслу идеи лежат в основе работ А. К. Никитина и его учеников Р. А. Грунтфеста и С. А. Подрезова (1964). В последних работах решаются некоторые задачи типа Коши — Пуассона и вместо агрегата, зависящего от нескольких параметров, используется представление Фурье. Решение удается записать в явном виде в форме кратных интегралов Фурье, содержащих параметры. К этому же кругу идей относятся и многочисленные работы Л. В. Черкесова (1962 и др.), посвященные также проблеме возбуждения поверхностных волн. Итак, эта концепция, именуемая часто точной теорией волн в вязкой жидкости, сводит тем или иным способом задачу о линейных волнах к исследованию трансцендентных уравнений с комплексными корнями или вычислению кратных интегралов в комплексной области. По существу, имеет место некоторая переформулировка задачи, ибо непосредственно никакой информации из точного решения в форме интегралов для понимания физического содержания явления извлечь нельзя. Дальнейшее исследование, использующее найденные выражения, можно представить себе в двух [c.70]

Однако теория возмущений не всегда применима. В таких случаях пользуются др. методами, в к-рых центр, роль играют рассмотрение М. р. в целом и изучение общих свойств её матричных элементов, прямо описывающих амплитуды процессов рассеяния и рождения. Гейзенберговы локальные операторы могут быть тогда выражены через расширенную за поверхность энергии М. р. и играют важную роль, поскольку через них накладывается центральное в 5-матричном подходе условие причинности Боголюбова. Это условие приводит к обращению в нуль матричных элементов М. р. в определ. пространственно-временных областях. С др. стороны, условие унитарности в комбинации с положительностью масс всех состояний полной системы (условием спектральности) приводит к обращению в нуль фурье-образов тех же матричных элементов в определ. импульсных областях. Из этих двух свойств можно вывести, что для каждого заданного числа и сорта частиц амплитуды всех возможных реакций суть граничные значения одной аналитической функции многих комплексных переменных, фактически зависящей лишь от их лоренц-инвариантных комбинаций. Из этих свойств голоморфности можно вывести ряд непосредственно связывающих опытные факты физ. следствий. Так, в простых случаях двухчастичного рассеяния, напр. для рассеяния пионов на нуклонах, выписываются дисперсионные соотношения, выражающие вещественную часть амплитуды рассеяния через интеграл от её мнимой части (см. Дисперсионных соотношений метод). На этом пути приходят и к др. важным модельно независимым результатам, не опирающимся на конкретную форму взаимодействия, таким, как перекрёстная симметрия, правила сумм, асимптотические теоремы, результаты относительно асимптотич. автоиодельно- [c.72]

Сформулированная задача приведена к отысканию двух неизвестных функций, вводимых иа двух (из имеющихся трех) границах контакта, из построенной для них системы сингулярных тштегральных уравнений, решение которой ищется в форме комплексных рядов Фурье. Для определения неизвестных коэффициентов Фурье составлены две бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. [c.431]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...