Модель вязкоупругого Максвелла

Указанные модели вязкоупругого тела становятся весьма наглядными, если их представить в зиде комбинации простейших элементов —упругого и вязкого. Упругий элемент имеет вид пружины (см. рис. 7.4, а) с линейной характеристикой, т. е. о = Ее. Вязкий элемент представляет собой цилиндр (рис. 7.4, б) с вязкой жидкостью, в котором перемещается поршень с отверстием или с зазором вдоль стенки цилиндра, благодаря чему жидкость может перетекать из одной части цилиндра в другую. При постоянной силе поршень перемещается с постоянной скоростью, или, иначе говоря, а = В модели Максвелла деформации в упругом и вязком элементах суммируются, а напряжения одинаковы. Это соответствует последовательному соединению элементов (рис. 7.5, а). В модели Фойгта суммируются напряжения в элементах, а их деформации одинаковы. Такая картина получится, если элементы соединить параллельно (рис. 7.5, б). [c.757]

Среди всевозможных линейных моделей вязкоупругих сред основными являются тела Максвелла и Фойгта — Кельвина. [c.5]

Как моделируется релаксация напряжений Нарисуйте механическую модель вязкоупругой релаксирующей среды Максвелла и запишите ее уравнение состояния. Что такое время релаксации Выведите формулы (VII.10) и (VII.11). [c.178]

Модель вязкоупругого слоя. В предположении, что толщина h вязкоупругого слоя много меньше ширины (а 4- 6) площадки контакта, будем моделировать его нормальную и тангенциальную податливость, используя одномерную модель Максвелла, а именно [c.248]

В данной работе на базе реологической модели (1) исследуются продольные нестационарные колебания стержня конечной длины, процесс соударения стержня с жесткой преградой и волны напряжений, распространяющиеся в полубесконечном стержне. Показано, что данная модель может описывать как диффузионные, так и волновые явления, возникающие в вязко-упругих материалах. Все зависит от порядков дробных производных, стоящих в левой и правой частях реологического уравнения. Так, если (3 > а, то материал не обладает мгновенной упругостью, и реологическая модель описывает диффузионные явления (модель типа Кельвина-Фойгта). Если параметры дробности равны, то материал обладает мгновенной упругостью, и реологическая модель описывает волновые явления (модель типа Максвелла). Если /3 > а, то такая реологическая модель не имеет физического смысла. Здесь имеет место полная аналогия с вязкоупругими реологическими уравнениями, содержащими в левой и правой частях производные целого порядка [15. [c.282]

При малых значениях параметра //(2Я) наблюдается различие в результатах, полученных с использованием моделей Максвелла и Кельвина. Результаты, основанные на модели Кельвина, предсказывают уменьшение ширины области контакта и ее смещения при уменьшении расстояния между неровностями (см. рис. 5). Этот эффект обусловлен влиянием друг на друга соседних неровностей индентора и связан, в частности, с тем, что в рассматриваемой модели вязкоупругого слоя учитывается восстановление его формы после снятия нагрузки. Действительно, из соотношений (18) и (19) следует, что смещения граничных точек слоя на ненагруженном участке —1/2 + 6, //2 — а), если пренебречь упругими свойствами [c.286]

Для простейших моделей вязкоупругого тела (модели Максвелла и Кельвина — Фойгта) вязкоупругие функции имеют следующий вид [c.25]

Однако реальные тела обладают вязкоупругими свойствами в процессе деформирования происходит рассеяние энергии. В механике имеется несколько различных моделей вязкоупругого поведения материалов (модели Кельвина — Фойгта, Максвелла к др, , В простейшей из них — модели Кельвина — Фойгта — сила сопротивления р имеет вид —2кх—сх, где к я с — некоторые положительные постоянные, характеризующие физические свойства среды, заполняющей область х>0. [c.39]

Рис. 6.20. Простейшие модели вязкоупругих материалов, обладающих свойствами (а) запаздывающей упругости (последействия) (Ь) установившейся ползучести (модель Максвелла).

Уравнение (1.52) эквивалентно уравнениям распространения продольных или поперечных волн в вязкоупругой среде, удовлетворяющей модели Максвелла. [c.16]

При га=1 формула (2.64) переходит в точную формулу для V в случае сплошной вязкоупругой среды, удовлетворяющей модели Максвелла, при этом а = Tf С2 = 0. [c.32]

Для вязкоупругой полуплоскости, удовлетворяющей модели Максвелла, формулы (4.271) и (4.272) дают точное решение задачи. [c.127]

На рис. 31 приведено изменение напряжения в точке г/, =40 см с течением времени t при т = 0 и т=10 2 мм для материала, удовлетворяющего модели Максвелла при времени релаксации т=102 мкс. Пунктиром показано изменение напряжения в случае упругой задачи, а сплошной линией — в случае вязкоупругой задачи, а = 2000 м/с. [c.171]

Рис. 3.1. Релаксация напряжения в вязкоупругой модели Максвелла (линейная шкала времени, т = 1 с).

Подробнее с линейной и нелинейной теорией вязкоупругости можно ознакомиться, например, по книгам [38, 66, 92]. Методы решения нелинейной вязкоупругости изложены в работе [78]. Вопросы определения комплексных вязкоупругих характеристик достаточно полно изложены в книге [112]. Доказательство исключительности модели Максвелла дано в [114]. [c.46]

На рис. 5.8 и 5.9 представлены результаты расчётов, полученные с использованием модели Максвелла. Более подробный анализ этой модели приведён в [176]. Результаты показывают, что наличие вязкоупругого поверхностного слоя приводит к несимметричному распределению давлений на площадке контакта (см. рис. 5.8). Контактные давления отнесены к максимальному давлению, рассчитанному по теории Герца при отсутствии вязкоупругого слоя, т.е. ро = ч/ /тг. Наибольшее влияние на распределение давлений (его несимметрию) оказывает параметр /3 /а . Несимметрия возрастает при малых значениях этого параметра. Параметр / влияет, главным образом, на значение максимальных контактных давлений. [c.272]

Если длина (/ — а — 6) участка между площадками контакта достаточно мала, слой не успевает восстановить свою форму за время (l — a — b)/V, поскольку в этом случае l — a — b)/V и, следовательно, ьз 1/2 — а) к ьз —1/2 -Ь 6) это приводит к уменьшению размера области контакта и её сдвига. Эффект уменьшения ширины области контакта при малых значениях 1/ 2R) возникает также и за счёт упругих свойств основания, на котором лежит вязкоупругий слой, и проявляется как в модели Кельвина, так и в модели Максвелла (см. рис. 5.9,а). Заметное влияние расстояния между соседними неровностями индентора на контактные характеристики начинает проявляться лишь при достаточ- [c.274]

В работе [63] для выяснения влияния вязкоупругости на устойчивость конвективного течения в плоском вертикальном слое используется простейшая реологическая модель Максвелла [c.155]

При моделировании слоя телом Кельвина его свойства описывались параметрами 0 и (см. (21)). Параметр представляет собой отношение времени запаздывания ко времени релаксации материала поверхностного слоя, причем случай агр = 1 соответствует упругому слою с модулем упругости, равным длительному модулю Е[ . Параметр Со зависит от времени запаздывания и скорости V скольжения индентора и представляет собой отношение времени, за которое элемент проходит расстояние, равное полуширине (а + 6)/2 области контакта, ко времени запаздывания вязкоупругого материала. Параметр характеризует относительную толщину и относительный модуль упругости слоя и имеет такой же смысл, как и параметр Рп в модели Максвелла. Случай 3 —> +оо соответствует [c.284]

На рис. 2, 3 представлены результаты расчетов, полученные с использованием модели Максвелла. Более подробный анализ этой модели приведен в [15]. Результаты показывают, что наличие вязкоупругого поверхностного слоя приводит к несимметричному распределению давлений на площадке контакта 4 р( ) Ро (см. рис. 2). Контактные давления отнесены к максимальному давлению, рассчитанному по теории Герца при отсутствии вязкоупругого слоя, т. е. ро = [c.285]

Всякое тело, твердое или жидкое, можно рассматривать как обладающее упругостью и вязкостью. Механической аналогией вязкоупругого материала является известная модель Максвелла — система, состоящая из последовательно соединенных пружины и гидравлического демпфера (поршня в цилиндре) с вязкой жидкостью. Пружина характеризует упругость, демпфер — текучесть (вязкость) материала. [c.103]

Простейшая модель вязкоупругой среды Максвелла представляет собой комбинацию упругого элемента J и демпфера 2, соединенных последовательно (рис. 13.1, в). Другой простейшей моделью является модель вязкоупругой среды Фойхта, в которой эти два элемента 1 и 2 соединены параллельно (рис. 13.1, г). Для модели Максвелла имеем [c.291]

Если рассмотреть с,плотную среду, обладающую свойствами вязкой жидкости и yupyi O Tn, то получим модели вязкоупругости, которые были предложены Максвеллом, Фойгтом и Кельваиом — 1 связи с изучением свойств густых раство- [c.138]

Это уравнение получается из следующих соображений. Как и ранее, при рассмотрении упругого материала, представим себе конструкционный элемент машины или соорун<ения, состоящий из множества малых единичных кубиков, плотно прилегающих друг к другу. Внутри каждого кубика можно представить себе два соединенных последовательно элемента один элемент обладает упругим сопротивлением, другой — вязким (рис. 22.1). В качестве упругого элемента обычно изображают пружину, в качестве вязкого — цилиндр, заполненный вязкой жидкостью, внутри которого с некоторым зазором может двигаться поршень. Вязкое сопротивление при движении поршня относительно цилиндра возникает вследствие перетекания жидкости через зазор из одной полости в другую. Единичный кубик с описанным здесь внутренним устройством принято называть моделью вязкоупругого материала Максвелла. [c.395]

Максвелла, Кельвина ), Фойхта ). Здесь следует указать на простейгпие модели вязкоупругой среды Максвелла (рис. 9.3) и Фойхта (рис. 9.4), представляюгцие вязко-упругое тело в виде комбинаций упругих и вязких элементов. Упругий элемент имеет вид пружины с линейной характеристикой, Рис. 9.3 т. е. сг = Ее. Вязкий элемент представля- [c.212]

Таким образом, предлагаемые Максвеллом и Фойхтом модели вязкоупругого тела только косвенно отражают стороны сложных мроцессов деформирования материалов во времени. [c.330]

Поведение полимерных материалов при умеренных напряжениях, оторые обычно допускаются в конструкциях из этих материалов, как оказывается, вполне удовлетворительно описывается теорией линейной вязкоупругости, притом с ядрами довольно сложного вида (не такими, которые соответствуют простейшим реологическим моделям тела Максвелла или стандартного вязко-упругого тела). Предшествующие теоретические исследования дали в руки готовый аппарат для построения теории вязко-упругости полимеров, и в этой области за короткое время были достигнуты значительные успехи. Большой объем исследований был выполнен научными коллективами при участии А. А. Ильюшина, [c.123]

Рис. 8.4. Механические модели вязкоупругих сред а - тело Гука (упругое) б - тело Ньютона (вязкая жидкость) в-тело Максвелла (вязкоупругое) г- тело Фойгхта (вязкоупругое)

Современная теория ползучести стареющих материалов, основанная-на фундаментальных концепциях Больцмана и Вольтерра и на теории вязкоупругих реологических моделей восходящей к Дж. Максвеллу [605, 606], В. Фойхту [640, 641], Дж. Томсону [633], получила большое развитие за последнюю четверть столетия, благодаря ее широким приложениям в различных областях техники. [c.7]

Кроме того, в данной главе приводятся основные соотношения и уравнения, описывающие динамику поведения двухкомпонентных линейных вязкоупругих сред. В последнем разделе главы показана эквивалентность уравнений, описывающих распространение электромагнитных волн в средах с конечной проводимостью, уравнениям распространения вязкоупругих волн в средах, удовлетворяюших модели Максвелла. [c.4]

Вязкоупругая редаксирующая среда Максвелла. Механическая модель — последовательно соединенные упругий и вязкий элементы (рис. 74, о). Суммарная деформация состоит из деформации этих элементов ё — в + в . Дифференцируя по времени, получим [c.176]

Два слова о вязкоупругих моделях, простейшими среди которых являются модели Максвелла и Фохта. Схематически их можно представить как последовательную и параллельную комбпнат ию вязкого сопротивления п упругого элемента (рис. 96). Математическое описание [c.155]

Для линейных вязкоупругих моделей общего вида существование конечной сжимающей силы, при которой стержень устойчив на бесконечном интервале времени в случае ограниченной ползучести (модели типа Кельвина) и неустойчив на бесконечном интервале в случае неограниченной ползучести (мбдели типа Максвелла), было показано также в работе Розенталя и Бэра [287]., [c.249]

Для модели Максвелла свойства слоя описывались параметром /3 = = НтгЕ / 2ЯЕп), зависящим от относительной толщины слоя Ь/Я и его относительного модуля упругости Еп/Е, и параметром /5 /а = ТпУ/Я, пропорциональным скорости V скольжения индентора и времени релаксации вязкоупругого слоя. [c.284]

Модель Максвелла вязкоупругого тела является комбинацией пружины и вязкого элемента (демпфера), соединенных последовательно (рис. 9.2,й). Модель Кельвина или Фойхта представляет собой параллельное соединение тех же элементов (рис. 9.2, б) ). Соот- [c.280]

Линейная теория вязкоупругости основывается, с одной стороны, на основополагающих концёпциях Больцмана и Вольтерра, с другой стороны, на теории вязко-упругих реологических моделей, восходящей к Дж. Максвеллу и В. Фойхту. Объединяя свойства упругих тел и вязких жидкостей в более общей связи, эта теория имеет дело с линейными дифференциальными или интегро-дифференциальными уравнениями, поэтому в ней открывается широкий простор для приложения эффективных математических методов. Интерес к этой теории существовал все время, но отсутствие реальных технических приложений не стимулировало ее интенсивную"разработку. Ранние исследования в этой области (А. Ю. Ишлинский, А. Н. Герасимов, А. Р. Ржаницын, Ю. Н. Работнов и др.), по существу, не имели виду решение определенных технических задач, а были направлены скорее на извлечение некоторых математических следствий из принятых моделей. [c.122]

Реологические модели и дифференциальные соотношения. В ранних работах по вязкоупругости за основу принимались дифференциальные соотношения типа (2.23), откуда, в частности, получаются известные модели Максвелла и Фойхта. А. Н. Герасимов (1938) дал обобщение уравнений Максвелла на трехмерный случай и получил уравнение типа (2.25) с экспоненциальным ядром. В другой работе А. И. Герасимова (1939) рассмотрен вопрос о малых колебаниях вязко-упругих мембран. А. Ю. Ишлинский (1940) рассматривал модель, которая получила название модели стандартного вязко-упругого тела, для которого связь между напряжениями и деформациями дается уравнением (5.2). Были рассмотрены продольные колебания стержня. В других работах А. Ю. Ишлинского к модели (5.2) добавлялись элементы сухого трения, изучались статистические модели, сконструированные из большого числа вязко-упругих элементов с некоторым распределением параметров. В. 1945 г. А. Ю. Ишлинский предложил обобщение уравнения (5.2) на пространственный случай. [c.149]

Некоторые приложения теории вязкоупругости. Многочисленные приложения теории вязкоупругости относятся к стержням, пластинам и оболочкам, при этом, кроме общих соотношений вязкоупругости, исследовались и существенно более простые модели типа модели Фойхта или Максвелла. Так, в задачах устойчивости при ползучести основной качественный эффект связан с геометрической нелинейностью, вследствие которой возникает возможность упругого хлопка при рассмотрении отдельных примеров применение линейных соотношений вязкоупругости вместо нелинейного закона ползучести существенно упрощает технику, не меняя. [c.153]

Первыми работами по линейной теории вязкоупругости являются работы Больцмана (1876 г.) и Вольтерры (1913 г.), в которых сформулирован один из основополагающих принципов этой теории — принцип суперпозиции. С другой стороны, теория вязкоупругости основывается на теории реологических моделей, восходящих к Максвеллу и Фойхту (1867 г.). Интенсивное развитие теории вязкоупругости, вызванное производством полимерных материалов, началось с 50-х годов двадцатого столетия. Основные уравнения теории формулировались заново, исходя из аксиоматического [204, 213] и термодинамического подходов, а также из анализа механических моделей, представляющих собой наборы пружин и вязких элементов [13, 106] или молекулярных моделей [3, 13, 147, 148, 185]. [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...